Theorem lssvnegcl 14348

Description: Closure of negative vectors in a subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssvnegcl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssvnegcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssvnegcl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lssvnegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1021	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
2		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		lssvnegcl.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4	2, 3	lsselg 14333	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
5		lssvnegcl.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
6		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
7		eqid 2229	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
8		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
9		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑊)) = (invg‘(Scalar‘𝑊))
10	2, 5, 6, 7, 8, 9	lmodvneg1 14302	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = (𝑁‘𝑋))
11	1, 4, 10	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = (𝑁‘𝑋))
12		simp2 1022	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
13	6	lmodring 14267	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
14	13	3ad2ant1 1042	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
15	14	ringgrpd 13976	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
16		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
17	16, 8	ringidcl 13991	. . . . 5 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
18	14, 17	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
19	16, 9	grpinvcl 13589	. . . 4 ⊢ (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
20	15, 18, 19	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
21		simp3 1023	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
22	6, 7, 16, 3	lssvscl 14347	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑈)) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
23	1, 12, 20, 21, 22	syl22anc 1272	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
24	11, 23	eqeltrrd 2307	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  Basecbs 13040  Scalarcsca 13121   ·_𝑠 cvsca 13122  Grpcgrp 13541  inv_gcminusg 13542  1_rcur 13930  Ringcrg 13967  LModclmod 14259  LSubSpclss 14324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-addass 8109  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-ltxr 8194  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-sets 13047  df-plusg 13131  df-mulr 13132  df-sca 13134  df-vsca 13135  df-0g 13299  df-mgm 13397  df-sgrp 13443  df-mnd 13458  df-grp 13544  df-minusg 13545  df-sbg 13546  df-mgp 13892  df-ur 13931  df-ring 13969  df-lmod 14261  df-lssm 14325

This theorem is referenced by:  lsssubg  14349  lidlnegcl  14457