ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lssvnegcl GIF version
Theorem lssvnegcl 13469
Description: Closure of negative vectors in a subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssvnegcl.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lssvnegcl.n 𝑁 = (invgβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lssvnegcl ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)
Proof of Theorem lssvnegcl
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 eqid 2177 . . . 4 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
3 lssvnegcl.s . . . 4 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
42, 3lsselg 13454 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
5 lssvnegcl.n . . . 4 𝑁 = (invgβ€˜π‘Š)
6 eqid 2177 . . . 4 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
7 eqid 2177 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
8 eqid 2177 . . . 4 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
9 eqid 2177 . . . 4 (invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
102, 5, 6, 7, 8, 9lmodvneg1 13426 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) = (π‘β€˜π‘‹))
111, 4, 10syl2anc 411 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) = (π‘β€˜π‘‹))
12 simp2 998 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
136lmodring 13391 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Ring)
14133ad2ant1 1018 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Ring)
1514ringgrpd 13194 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Grp)
16 eqid 2177 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
1716, 8ringidcl 13209 . . . . 5 ((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Ring β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
1814, 17syl 14 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
1916, 9grpinvcl 12927 . . . 4 (((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Grp ∧ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2015, 18, 19syl2anc 411 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
21 simp3 999 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
226, 7, 16, 3lssvscl 13468 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ)) β†’ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ π‘ˆ)
231, 12, 20, 21, 22syl22anc 1239 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ π‘ˆ)
2411, 23eqeltrrd 2255 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5878  Basecbs 12465  Scalarcsca 12542   ·𝑠 cvsca 12543  Grpcgrp 12883  invgcminusg 12884  1rcur 13148  Ringcrg 13185  LModclmod 13383  LSubSpclss 13448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltadd 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-ltxr 8000  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-5 8984  df-6 8985  df-ndx 12468  df-slot 12469  df-base 12471  df-sets 12472  df-plusg 12552  df-mulr 12553  df-sca 12555  df-vsca 12556  df-0g 12713  df-mgm 12781  df-sgrp 12814  df-mnd 12824  df-grp 12886  df-minusg 12887  df-sbg 12888  df-mgp 13137  df-ur 13149  df-ring 13187  df-lmod 13385  df-lssm 13449
This theorem is referenced by:  lsssubg  13470  lidlnegcl  13570
  Copyright terms: Public domain W3C validator