Theorem lswlgt0cl 11068

Description: The last symbol of a nonempty word is an element of the alphabet for the word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 29-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lswlgt0cl	|- ( ( N e. NN /\ ( W e. Word V /\ (♯ ` W ) = N ) ) -> (lastS ` W ) e. V )

Proof of Theorem lswlgt0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 529	. 2 |- ( ( N e. NN /\ ( W e. Word V /\ (♯ ` W ) = N ) ) -> W e. Word V )
2		eleq1 2269	. . . . . 6 |- ( N = (♯ ` W ) -> ( N e. NN <-> (♯ ` W ) e. NN ) )
3	2	eqcoms 2209	. . . . 5 |- ( (♯ ` W ) = N -> ( N e. NN <-> (♯ ` W ) e. NN ) )
4	3	adantl 277	. . . 4 |- ( ( W e. Word V /\ (♯ ` W ) = N ) -> ( N e. NN <-> (♯ ` W ) e. NN ) )
5		wrdfin 11035	. . . . . . 7 |- ( W e. Word V -> W e. Fin )
6		hashnncl 10962	. . . . . . 7 |- ( W e. Fin -> ( (♯ ` W ) e. NN <-> W =/= (/) ) )
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 |- ( W e. Word V -> ( (♯ ` W ) e. NN <-> W =/= (/) ) )
8	7	biimpd 144	. . . . 5 |- ( W e. Word V -> ( (♯ ` W ) e. NN -> W =/= (/) ) )
9	8	adantr 276	. . . 4 |- ( ( W e. Word V /\ (♯ ` W ) = N ) -> ( (♯ ` W ) e. NN -> W =/= (/) ) )
10	4, 9	sylbid 150	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ (♯ ` W ) = N ) -> ( N e. NN -> W =/= (/) ) )
11	10	impcom 125	. 2 |- ( ( N e. NN /\ ( W e. Word V /\ (♯ ` W ) = N ) ) -> W =/= (/) )
12		lswcl 11066	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ W =/= (/) ) -> (lastS ` W ) e. V )
13	1, 11, 12	syl2anc 411	1 |- ( ( N e. NN /\ ( W e. Word V /\ (♯ ` W ) = N ) ) -> (lastS ` W ) e. V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2177   =/= wne 2377   (/)c0 3464   ` cfv 5280   Fincfn 6840   NNcn 9056  ♯chash 10942  Word cword 11016  lastSclsw 11060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-frec 6490  df-1o 6515  df-er 6633  df-en 6841  df-dom 6842  df-fin 6843  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-fz 10151  df-fzo 10285  df-ihash 10943  df-word 11017  df-lsw 11061

This theorem is referenced by: (None)