Theorem hashnncl 10794

Description: Positive natural closure of the hash function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashnncl	|- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) e. NN <-> A =/= (/) ) )

Proof of Theorem hashnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ (♯ ` A ) e. NN ) -> (♯ ` A ) e. NN )
2		nnne0 8966	. . . . 5 |- ( (♯ ` A ) e. NN -> (♯ ` A ) =/= 0 )
3	2	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ (♯ ` A ) e. NN ) -> (♯ ` A ) =/= 0 )
4		fihasheq0 10792	. . . . . 6 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) = 0 <-> A = (/) ) )
5	4	necon3bid 2401	. . . . 5 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) =/= 0 <-> A =/= (/) ) )
6	5	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ (♯ ` A ) e. NN ) -> ( (♯ ` A ) =/= 0 <-> A =/= (/) ) )
7	3, 6	mpbid 147	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ (♯ ` A ) e. NN ) -> A =/= (/) )
8	1, 7	2thd 175	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ (♯ ` A ) e. NN ) -> ( (♯ ` A ) e. NN <-> A =/= (/) ) )
9	2	necon2bi 2415	. . . 4 |- ( (♯ ` A ) = 0 -> -. (♯ ` A ) e. NN )
10	9	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ (♯ ` A ) = 0 ) -> -. (♯ ` A ) e. NN )
11	4	biimpa 296	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ (♯ ` A ) = 0 ) -> A = (/) )
12		nner 2364	. . . 4 |- ( A = (/) -> -. A =/= (/) )
13	11, 12	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ (♯ ` A ) = 0 ) -> -. A =/= (/) )
14	10, 13	2falsed 703	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ (♯ ` A ) = 0 ) -> ( (♯ ` A ) e. NN <-> A =/= (/) ) )
15		hashcl 10780	. . 3 |- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. NN0 )
16		elnn0 9197	. . 3 |- ( (♯ ` A ) e. NN0 <-> ( (♯ ` A ) e. NN \/ (♯ ` A ) = 0 ) )
17	15, 16	sylib 122	. 2 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) e. NN \/ (♯ ` A ) = 0 ) )
18	8, 14, 17	mpjaodan 799	1 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) e. NN <-> A =/= (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2160   =/= wne 2360   (/)c0 3437   ` cfv 5231   Fincfn 6758   0cc0 7830   NNcn 8938   NN0cn0 9195  ♯chash 10774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-addcom 7930  ax-addass 7932  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-recs 6324  df-frec 6410  df-1o 6435  df-er 6553  df-en 6759  df-dom 6760  df-fin 6761  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-inn 8939  df-n0 9196  df-z 9273  df-uz 9548  df-fz 10028  df-ihash 10775

This theorem is referenced by:  1elfz0hash  10805