ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashnncl Unicode version

Theorem hashnncl 10200
Description: Positive natural closure of the hash function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashnncl  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( `  A )  e.  NN  <->  A  =/=  (/) ) )

Proof of Theorem hashnncl
StepHypRef Expression
1 simpr 108 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( `  A )  e.  NN )  ->  ( `  A )  e.  NN )
2 nnne0 8448 . . . . 5  |-  ( ( `  A )  e.  NN  ->  ( `  A )  =/=  0 )
32adantl 271 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( `  A )  e.  NN )  ->  ( `  A )  =/=  0
)
4 fihasheq0 10198 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( `  A )  =  0  <->  A  =  (/) ) )
54necon3bid 2296 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( `  A )  =/=  0  <->  A  =/=  (/) ) )
65adantr 270 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( `  A )  e.  NN )  ->  (
( `  A )  =/=  0  <->  A  =/=  (/) ) )
73, 6mpbid 145 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( `  A )  e.  NN )  ->  A  =/=  (/) )
81, 72thd 173 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( `  A )  e.  NN )  ->  (
( `  A )  e.  NN  <->  A  =/=  (/) ) )
92necon2bi 2310 . . . 4  |-  ( ( `  A )  =  0  ->  -.  ( `  A
)  e.  NN )
109adantl 271 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( `  A )  =  0 )  ->  -.  ( `  A )  e.  NN )
114biimpa 290 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( `  A )  =  0 )  ->  A  =  (/) )
12 nner 2259 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  -.  A  =/=  (/) )
1311, 12syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( `  A )  =  0 )  ->  -.  A  =/=  (/) )
1410, 132falsed 653 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( `  A )  =  0 )  ->  (
( `  A )  e.  NN  <->  A  =/=  (/) ) )
15 hashcl 10185 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( `  A )  e.  NN0 )
16 elnn0 8673 . . 3  |-  ( ( `  A )  e.  NN0  <->  (
( `  A )  e.  NN  \/  ( `  A
)  =  0 ) )
1715, 16sylib 120 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( `  A )  e.  NN  \/  ( `  A
)  =  0 ) )
188, 14, 17mpjaodan 747 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( `  A )  e.  NN  <->  A  =/=  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664    = wceq 1289    e. wcel 1438    =/= wne 2255   (/)c0 3286   ` cfv 5015   Fincfn 6455   0cc0 7348   NNcn 8420   NN0cn0 8671  ♯chash 10179
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-addcom 7443  ax-addass 7445  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-recs 6070  df-frec 6156  df-1o 6181  df-er 6290  df-en 6456  df-dom 6457  df-fin 6458  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-inn 8421  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-fz 9423  df-ihash 10180
This theorem is referenced by:  1elfz0hash  10210
  Copyright terms: Public domain W3C validator