Theorem hashnncl 11017

Description: Positive natural closure of the hash function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashnncl	|- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) e. NN <-> A =/= (/) ) )

Proof of Theorem hashnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ (♯ ` A ) e. NN ) -> (♯ ` A ) e. NN )
2		nnne0 9138	. . . . 5 |- ( (♯ ` A ) e. NN -> (♯ ` A ) =/= 0 )
3	2	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ (♯ ` A ) e. NN ) -> (♯ ` A ) =/= 0 )
4		fihasheq0 11015	. . . . . 6 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) = 0 <-> A = (/) ) )
5	4	necon3bid 2441	. . . . 5 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) =/= 0 <-> A =/= (/) ) )
6	5	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ (♯ ` A ) e. NN ) -> ( (♯ ` A ) =/= 0 <-> A =/= (/) ) )
7	3, 6	mpbid 147	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ (♯ ` A ) e. NN ) -> A =/= (/) )
8	1, 7	2thd 175	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ (♯ ` A ) e. NN ) -> ( (♯ ` A ) e. NN <-> A =/= (/) ) )
9	2	necon2bi 2455	. . . 4 |- ( (♯ ` A ) = 0 -> -. (♯ ` A ) e. NN )
10	9	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ (♯ ` A ) = 0 ) -> -. (♯ ` A ) e. NN )
11	4	biimpa 296	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ (♯ ` A ) = 0 ) -> A = (/) )
12		nner 2404	. . . 4 |- ( A = (/) -> -. A =/= (/) )
13	11, 12	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ (♯ ` A ) = 0 ) -> -. A =/= (/) )
14	10, 13	2falsed 707	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ (♯ ` A ) = 0 ) -> ( (♯ ` A ) e. NN <-> A =/= (/) ) )
15		hashcl 11003	. . 3 |- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. NN0 )
16		elnn0 9371	. . 3 |- ( (♯ ` A ) e. NN0 <-> ( (♯ ` A ) e. NN \/ (♯ ` A ) = 0 ) )
17	15, 16	sylib 122	. 2 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) e. NN \/ (♯ ` A ) = 0 ) )
18	8, 14, 17	mpjaodan 803	1 |- ( A e. Fin -> ( (♯ ` A ) e. NN <-> A =/= (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   (/)c0 3491   ` cfv 5318   Fincfn 6887   0cc0 7999   NNcn 9110   NN0cn0 9369  ♯chash 10997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-recs 6451  df-frec 6537  df-1o 6562  df-er 6680  df-en 6888  df-dom 6889  df-fin 6890  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-fz 10205  df-ihash 10998

This theorem is referenced by:  1elfz0hash  11028  lennncl  11091  lswlgt0cl  11124  wrdind  11254  wrd2ind  11255  gsumwmhm  13531