Theorem wrdfin 11239

Description: A word is a finite set. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2015.) (Proof shortened by AV, 18-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
wrdfin	|- ( W e. Word S -> W e. Fin )

Proof of Theorem wrdfin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfn 11235	. 2 |- ( W e. Word S -> W Fn ( 0..^ (♯ ` W ) ) )
2		0z 9587	. . 3 |- 0 e. ZZ
3		lencl 11224	. . . 4 |- ( W e. Word S -> (♯ ` W ) e. NN0 )
4	3	nn0zd 9697	. . 3 |- ( W e. Word S -> (♯ ` W ) e. ZZ )
5		fzofig 10793	. . 3 |- ( ( 0 e. ZZ /\ (♯ ` W ) e. ZZ ) -> ( 0..^ (♯ ` W ) ) e. Fin )
6	2, 4, 5	sylancr 414	. 2 |- ( W e. Word S -> ( 0..^ (♯ ` W ) ) e. Fin )
7		fnfi 7202	. 2 |- ( ( W Fn ( 0..^ (♯ ` W ) ) /\ ( 0..^ (♯ ` W ) ) e. Fin ) -> W e. Fin )
8	1, 6, 7	syl2anc 411	1 |- ( W e. Word S -> W e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2203   Fn wfn 5346   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   Fincfn 6974   0cc0 8126   ZZcz 9576  ..^cfzo 10475  ♯chash 11136  Word cword 11220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-addass 8228  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-1o 6646  df-er 6766  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-inn 9237  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-fz 10342  df-fzo 10476  df-ihash 11137  df-word 11221

This theorem is referenced by:  lennncl  11240  wrdlenge1n0  11254  lswex  11272  lswlgt0cl  11273  ccatcl  11277  ccatlen  11279  ccat0  11280  ccatval1  11281  ccatval2  11282  ccatvalfn  11285  ccatalpha  11297  ccat1st1st  11325  swrdlsw  11357  pfxtrcfv  11381  pfxsuff1eqwrdeq  11387  pfxlswccat  11401  ccats1pfxeq  11402  ccats1pfxeqrex  11403  wrdeqs1cat  11408  wrdind  11410  wrd2ind  11411  swrdccat3blem  11427  gsumwsubmcl  13701  gsumwmhm  13703  vdegp1aid  16301  clwwlkccat  16388  umgrclwwlkge2  16389  clwwlkext2edg  16409