Theorem lswex 11136

Description: Existence of the last symbol. The last symbol of a word is a set. See lsw0g 11133 or lswcl 11135 if you want more specific results for empty or nonempty words, respectively. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
lswex	|- ( W e. Word V -> (lastS ` W ) e. _V )

Proof of Theorem lswex

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5629	. . . 4 |- ( W = (/) -> (lastS ` W ) = (lastS ` (/) ) )
2		lsw0g 11133	. . . . 5 |- (lastS ` (/) ) = (/)
3		0ex 4211	. . . . 5 |- (/) e. _V
4	2, 3	eqeltri 2302	. . . 4 |- (lastS ` (/) ) e. _V
5	1, 4	eqeltrdi 2320	. . 3 |- ( W = (/) -> (lastS ` W ) e. _V )
6	5	adantl 277	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ W = (/) ) -> (lastS ` W ) e. _V )
7		lswcl 11135	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ W =/= (/) ) -> (lastS ` W ) e. V )
8	7	elexd 2813	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ W =/= (/) ) -> (lastS ` W ) e. _V )
9		wrdfin 11103	. . 3 |- ( W e. Word V -> W e. Fin )
10		fin0or 7056	. . 3 |- ( W e. Fin -> ( W = (/) \/ E. x x e. W ) )
11		n0r 3505	. . . 4 |- ( E. x x e. W -> W =/= (/) )
12	11	orim2i 766	. . 3 |- ( ( W = (/) \/ E. x x e. W ) -> ( W = (/) \/ W =/= (/) ) )
13	9, 10, 12	3syl 17	. 2 |- ( W e. Word V -> ( W = (/) \/ W =/= (/) ) )
14	6, 8, 13	mpjaodan 803	1 |- ( W e. Word V -> (lastS ` W ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   =/= wne 2400   _Vcvv 2799   (/)c0 3491   ` cfv 5318   Fincfn 6895  Word cword 11084  lastSclsw 11129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-1o 6568  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-fz 10217  df-fzo 10351  df-ihash 11010  df-word 11085  df-lsw 11130

This theorem is referenced by:  pfxsuff1eqwrdeq  11247