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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > distrlem4prl | Unicode version |
Description: Lemma for distributive law for positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Dec-2019.) |
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distrlem4prl |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | ltmnqg 7400 |
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2 | 1 | adantl 277 |
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3 | simp1 997 |
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4 | simpll 527 |
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5 | prop 7474 |
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6 | elprnql 7480 |
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7 | 5, 6 | sylan 283 |
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8 | 3, 4, 7 | syl2an 289 |
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9 | simprl 529 |
. . . . . . 7
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10 | elprnql 7480 |
. . . . . . . 8
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11 | 5, 10 | sylan 283 |
. . . . . . 7
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12 | 3, 9, 11 | syl2an 289 |
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13 | simpl2 1001 |
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14 | simprlr 538 |
. . . . . . 7
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15 | prop 7474 |
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16 | elprnql 7480 |
. . . . . . . 8
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17 | 15, 16 | sylan 283 |
. . . . . . 7
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18 | 13, 14, 17 | syl2anc 411 |
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19 | mulcomnqg 7382 |
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20 | 19 | adantl 277 |
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21 | 2, 8, 12, 18, 20 | caovord2d 6044 |
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23 | 22 | adantl 277 |
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25 | 8, 18, 24 | syl2anc 411 |
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29 | simprrr 540 |
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32 | 30, 31 | sylan 283 |
. . . . . . . 8
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38 | 23, 25, 27, 35, 37 | caovord2d 6044 |
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79 | 60, 78 | sylan 283 |
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80 | 45, 77, 79 | syl2anc 411 |
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81 | 70, 80 | sylbid 150 |
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82 | 64, 81 | jaod 717 |
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83 | ltsonq 7397 |
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84 | nqtri3or 7395 |
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85 | 83, 84 | sotritrieq 4326 |
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86 | 8, 12, 85 | syl2anc 411 |
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87 | oveq1 5882 |
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88 | 87 | oveq2d 5891 |
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89 | 72, 88 | sylan9eq 2230 |
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90 | 76 | adantr 276 |
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91 | 89, 90 | eqeltrrd 2255 |
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92 | 91 | ex 115 |
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93 | 86, 92 | sylbird 170 |
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94 | ltdcnq 7396 |
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95 | ltdcnq 7396 |
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96 | 95 | ancoms 268 |
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97 | dcor 935 |
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98 | 94, 96, 97 | sylc 62 |
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99 | 8, 12, 98 | syl2anc 411 |
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100 | df-dc 835 |
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101 | 99, 100 | sylib 122 |
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102 | 82, 93, 101 | mpjaod 718 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4119 ax-sep 4122 ax-nul 4130 ax-pow 4175 ax-pr 4210 ax-un 4434 ax-setind 4537 ax-iinf 4588 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rab 2464 df-v 2740 df-sbc 2964 df-csb 3059 df-dif 3132 df-un 3134 df-in 3136 df-ss 3143 df-nul 3424 df-pw 3578 df-sn 3599 df-pr 3600 df-op 3602 df-uni 3811 df-int 3846 df-iun 3889 df-br 4005 df-opab 4066 df-mpt 4067 df-tr 4103 df-eprel 4290 df-id 4294 df-po 4297 df-iso 4298 df-iord 4367 df-on 4369 df-suc 4372 df-iom 4591 df-xp 4633 df-rel 4634 df-cnv 4635 df-co 4636 df-dm 4637 df-rn 4638 df-res 4639 df-ima 4640 df-iota 5179 df-fun 5219 df-fn 5220 df-f 5221 df-f1 5222 df-fo 5223 df-f1o 5224 df-fv 5225 df-ov 5878 df-oprab 5879 df-mpo 5880 df-1st 6141 df-2nd 6142 df-recs 6306 df-irdg 6371 df-1o 6417 df-2o 6418 df-oadd 6421 df-omul 6422 df-er 6535 df-ec 6537 df-qs 6541 df-ni 7303 df-pli 7304 df-mi 7305 df-lti 7306 df-plpq 7343 df-mpq 7344 df-enq 7346 df-nqqs 7347 df-plqqs 7348 df-mqqs 7349 df-1nqqs 7350 df-rq 7351 df-ltnqqs 7352 df-enq0 7423 df-nq0 7424 df-0nq0 7425 df-plq0 7426 df-mq0 7427 df-inp 7465 df-iplp 7467 df-imp 7468 |
This theorem is referenced by: distrlem5prl 7585 |
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