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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > distrlem4pru | Unicode version |
Description: Lemma for distributive law for positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Dec-2019.) |
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distrlem4pru |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | ltmnqg 7391 |
. . . . . . 7
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2 | 1 | adantl 277 |
. . . . . 6
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3 | simp1 997 |
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4 | simpll 527 |
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5 | prop 7465 |
. . . . . . . 8
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6 | elprnqu 7472 |
. . . . . . . 8
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7 | 5, 6 | sylan 283 |
. . . . . . 7
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8 | 3, 4, 7 | syl2an 289 |
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9 | simprl 529 |
. . . . . . 7
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10 | elprnqu 7472 |
. . . . . . . 8
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11 | 5, 10 | sylan 283 |
. . . . . . 7
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12 | 3, 9, 11 | syl2an 289 |
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13 | simpl3 1002 |
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14 | simprrr 540 |
. . . . . . 7
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15 | prop 7465 |
. . . . . . . 8
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16 | elprnqu 7472 |
. . . . . . . 8
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17 | 15, 16 | sylan 283 |
. . . . . . 7
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18 | 13, 14, 17 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
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19 | mulcomnqg 7373 |
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20 | 19 | adantl 277 |
. . . . . 6
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21 | 2, 8, 12, 18, 20 | caovord2d 6038 |
. . . . 5
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22 | mulclnq 7366 |
. . . . . . 7
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23 | 8, 18, 22 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
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24 | mulclnq 7366 |
. . . . . . 7
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25 | 12, 18, 24 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
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26 | simpl2 1001 |
. . . . . . . 8
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27 | simprlr 538 |
. . . . . . . 8
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28 | prop 7465 |
. . . . . . . . 9
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29 | elprnqu 7472 |
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30 | 28, 29 | sylan 283 |
. . . . . . . 8
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31 | 26, 27, 30 | syl2anc 411 |
. . . . . . 7
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32 | mulclnq 7366 |
. . . . . . 7
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33 | 8, 31, 32 | syl2anc 411 |
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34 | ltanqg 7390 |
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35 | 23, 25, 33, 34 | syl3anc 1238 |
. . . . 5
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36 | 21, 35 | bitrd 188 |
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37 | simpl1 1000 |
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38 | addclpr 7527 |
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40 | 39 | adantr 276 |
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41 | mulclpr 7562 |
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42 | 37, 40, 41 | syl2anc 411 |
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43 | distrnqg 7377 |
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44 | 8, 31, 18, 43 | syl3anc 1238 |
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79 | 57, 78 | sylan 283 |
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80 | 42, 77, 79 | syl2anc 411 |
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81 | 70, 80 | sylbid 150 |
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82 | 61, 81 | jaod 717 |
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83 | ltsonq 7388 |
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84 | nqtri3or 7386 |
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85 | 83, 84 | sotritrieq 4322 |
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86 | 8, 12, 85 | syl2anc 411 |
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87 | oveq1 5876 |
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88 | 87 | oveq2d 5885 |
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89 | 44, 88 | sylan9eq 2230 |
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90 | 55 | adantr 276 |
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91 | 89, 90 | eqeltrrd 2255 |
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92 | 91 | ex 115 |
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93 | 86, 92 | sylbird 170 |
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94 | ltdcnq 7387 |
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95 | ltdcnq 7387 |
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96 | 95 | ancoms 268 |
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97 | dcor 935 |
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98 | 94, 96, 97 | sylc 62 |
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99 | 8, 12, 98 | syl2anc 411 |
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100 | df-dc 835 |
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101 | 99, 100 | sylib 122 |
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102 | 82, 93, 101 | mpjaod 718 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4115 ax-sep 4118 ax-nul 4126 ax-pow 4171 ax-pr 4206 ax-un 4430 ax-setind 4533 ax-iinf 4584 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-iun 3886 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-tr 4099 df-eprel 4286 df-id 4290 df-po 4293 df-iso 4294 df-iord 4363 df-on 4365 df-suc 4368 df-iom 4587 df-xp 4629 df-rel 4630 df-cnv 4631 df-co 4632 df-dm 4633 df-rn 4634 df-res 4635 df-ima 4636 df-iota 5174 df-fun 5214 df-fn 5215 df-f 5216 df-f1 5217 df-fo 5218 df-f1o 5219 df-fv 5220 df-ov 5872 df-oprab 5873 df-mpo 5874 df-1st 6135 df-2nd 6136 df-recs 6300 df-irdg 6365 df-1o 6411 df-2o 6412 df-oadd 6415 df-omul 6416 df-er 6529 df-ec 6531 df-qs 6535 df-ni 7294 df-pli 7295 df-mi 7296 df-lti 7297 df-plpq 7334 df-mpq 7335 df-enq 7337 df-nqqs 7338 df-plqqs 7339 df-mqqs 7340 df-1nqqs 7341 df-rq 7342 df-ltnqqs 7343 df-enq0 7414 df-nq0 7415 df-0nq0 7416 df-plq0 7417 df-mq0 7418 df-inp 7456 df-iplp 7458 df-imp 7459 |
This theorem is referenced by: distrlem5pru 7577 |
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