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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > distrlem4pru | Unicode version |
Description: Lemma for distributive law for positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Dec-2019.) |
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distrlem4pru |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | ltmnqg 7157 |
. . . . . . 7
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2 | 1 | adantl 273 |
. . . . . 6
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3 | simp1 964 |
. . . . . . 7
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4 | simpll 501 |
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5 | prop 7231 |
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6 | elprnqu 7238 |
. . . . . . . 8
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7 | 5, 6 | sylan 279 |
. . . . . . 7
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8 | 3, 4, 7 | syl2an 285 |
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9 | simprl 503 |
. . . . . . 7
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10 | elprnqu 7238 |
. . . . . . . 8
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11 | 5, 10 | sylan 279 |
. . . . . . 7
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12 | 3, 9, 11 | syl2an 285 |
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13 | simpl3 969 |
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14 | simprrr 512 |
. . . . . . 7
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15 | prop 7231 |
. . . . . . . 8
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16 | elprnqu 7238 |
. . . . . . . 8
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17 | 15, 16 | sylan 279 |
. . . . . . 7
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18 | 13, 14, 17 | syl2anc 406 |
. . . . . 6
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19 | mulcomnqg 7139 |
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20 | 19 | adantl 273 |
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21 | 2, 8, 12, 18, 20 | caovord2d 5894 |
. . . . 5
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22 | mulclnq 7132 |
. . . . . . 7
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23 | 8, 18, 22 | syl2anc 406 |
. . . . . 6
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. . . . . . 7
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25 | 12, 18, 24 | syl2anc 406 |
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26 | simpl2 968 |
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28 | prop 7231 |
. . . . . . . . 9
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29 | elprnqu 7238 |
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30 | 28, 29 | sylan 279 |
. . . . . . . 8
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32 | mulclnq 7132 |
. . . . . . 7
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34 | ltanqg 7156 |
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35 | 23, 25, 33, 34 | syl3anc 1199 |
. . . . 5
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36 | 21, 35 | bitrd 187 |
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38 | addclpr 7293 |
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40 | 39 | adantr 272 |
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41 | mulclpr 7328 |
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42 | 37, 40, 41 | syl2anc 406 |
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43 | distrnqg 7143 |
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44 | 8, 31, 18, 43 | syl3anc 1199 |
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56 | 44, 55 | eqeltrrd 2192 |
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62 | 2, 12, 8, 31, 20 | caovord2d 5894 |
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69 | 64, 66, 33, 25, 68 | caovord2d 5894 |
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72 | 12, 31, 18, 71 | syl3anc 1199 |
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80 | 42, 77, 79 | syl2anc 406 |
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83 | ltsonq 7154 |
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84 | nqtri3or 7152 |
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85 | 83, 84 | sotritrieq 4207 |
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91 | 89, 90 | eqeltrrd 2192 |
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93 | 86, 92 | sylbird 169 |
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94 | ltdcnq 7153 |
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96 | 95 | ancoms 266 |
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97 | dcor 902 |
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98 | 94, 96, 97 | sylc 62 |
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99 | 8, 12, 98 | syl2anc 406 |
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100 | df-dc 803 |
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101 | 99, 100 | sylib 121 |
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102 | 82, 93, 101 | mpjaod 690 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 586 ax-in2 587 ax-io 681 ax-5 1406 ax-7 1407 ax-gen 1408 ax-ie1 1452 ax-ie2 1453 ax-8 1465 ax-10 1466 ax-11 1467 ax-i12 1468 ax-bndl 1469 ax-4 1470 ax-13 1474 ax-14 1475 ax-17 1489 ax-i9 1493 ax-ial 1497 ax-i5r 1498 ax-ext 2097 ax-coll 4003 ax-sep 4006 ax-nul 4014 ax-pow 4058 ax-pr 4091 ax-un 4315 ax-setind 4412 ax-iinf 4462 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 803 df-3or 946 df-3an 947 df-tru 1317 df-fal 1320 df-nf 1420 df-sb 1719 df-eu 1978 df-mo 1979 df-clab 2102 df-cleq 2108 df-clel 2111 df-nfc 2244 df-ne 2283 df-ral 2395 df-rex 2396 df-reu 2397 df-rab 2399 df-v 2659 df-sbc 2879 df-csb 2972 df-dif 3039 df-un 3041 df-in 3043 df-ss 3050 df-nul 3330 df-pw 3478 df-sn 3499 df-pr 3500 df-op 3502 df-uni 3703 df-int 3738 df-iun 3781 df-br 3896 df-opab 3950 df-mpt 3951 df-tr 3987 df-eprel 4171 df-id 4175 df-po 4178 df-iso 4179 df-iord 4248 df-on 4250 df-suc 4253 df-iom 4465 df-xp 4505 df-rel 4506 df-cnv 4507 df-co 4508 df-dm 4509 df-rn 4510 df-res 4511 df-ima 4512 df-iota 5046 df-fun 5083 df-fn 5084 df-f 5085 df-f1 5086 df-fo 5087 df-f1o 5088 df-fv 5089 df-ov 5731 df-oprab 5732 df-mpo 5733 df-1st 5992 df-2nd 5993 df-recs 6156 df-irdg 6221 df-1o 6267 df-2o 6268 df-oadd 6271 df-omul 6272 df-er 6383 df-ec 6385 df-qs 6389 df-ni 7060 df-pli 7061 df-mi 7062 df-lti 7063 df-plpq 7100 df-mpq 7101 df-enq 7103 df-nqqs 7104 df-plqqs 7105 df-mqqs 7106 df-1nqqs 7107 df-rq 7108 df-ltnqqs 7109 df-enq0 7180 df-nq0 7181 df-0nq0 7182 df-plq0 7183 df-mq0 7184 df-inp 7222 df-iplp 7224 df-imp 7225 |
This theorem is referenced by: distrlem5pru 7343 |
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