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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > distrlem4pru | Unicode version |
Description: Lemma for distributive law for positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Dec-2019.) |
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distrlem4pru |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | ltmnqg 7429 |
. . . . . . 7
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2 | 1 | adantl 277 |
. . . . . 6
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3 | simp1 999 |
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4 | simpll 527 |
. . . . . . 7
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5 | prop 7503 |
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6 | elprnqu 7510 |
. . . . . . . 8
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7 | 5, 6 | sylan 283 |
. . . . . . 7
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8 | 3, 4, 7 | syl2an 289 |
. . . . . 6
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9 | simprl 529 |
. . . . . . 7
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10 | elprnqu 7510 |
. . . . . . . 8
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11 | 5, 10 | sylan 283 |
. . . . . . 7
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12 | 3, 9, 11 | syl2an 289 |
. . . . . 6
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13 | simpl3 1004 |
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14 | simprrr 540 |
. . . . . . 7
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15 | prop 7503 |
. . . . . . . 8
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16 | elprnqu 7510 |
. . . . . . . 8
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17 | 15, 16 | sylan 283 |
. . . . . . 7
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18 | 13, 14, 17 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
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19 | mulcomnqg 7411 |
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20 | 19 | adantl 277 |
. . . . . 6
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21 | 2, 8, 12, 18, 20 | caovord2d 6065 |
. . . . 5
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22 | mulclnq 7404 |
. . . . . . 7
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23 | 8, 18, 22 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
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24 | mulclnq 7404 |
. . . . . . 7
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25 | 12, 18, 24 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
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26 | simpl2 1003 |
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27 | simprlr 538 |
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28 | prop 7503 |
. . . . . . . . 9
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29 | elprnqu 7510 |
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30 | 28, 29 | sylan 283 |
. . . . . . . 8
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31 | 26, 27, 30 | syl2anc 411 |
. . . . . . 7
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32 | mulclnq 7404 |
. . . . . . 7
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33 | 8, 31, 32 | syl2anc 411 |
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34 | ltanqg 7428 |
. . . . . 6
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35 | 23, 25, 33, 34 | syl3anc 1249 |
. . . . 5
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36 | 21, 35 | bitrd 188 |
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37 | simpl1 1002 |
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38 | addclpr 7565 |
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40 | 39 | adantr 276 |
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41 | mulclpr 7600 |
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42 | 37, 40, 41 | syl2anc 411 |
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43 | distrnqg 7415 |
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44 | 8, 31, 18, 43 | syl3anc 1249 |
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79 | 57, 78 | sylan 283 |
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80 | 42, 77, 79 | syl2anc 411 |
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81 | 70, 80 | sylbid 150 |
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82 | 61, 81 | jaod 718 |
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83 | ltsonq 7426 |
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84 | nqtri3or 7424 |
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85 | 83, 84 | sotritrieq 4343 |
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86 | 8, 12, 85 | syl2anc 411 |
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87 | oveq1 5902 |
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88 | 87 | oveq2d 5911 |
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89 | 44, 88 | sylan9eq 2242 |
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90 | 55 | adantr 276 |
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91 | 89, 90 | eqeltrrd 2267 |
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92 | 91 | ex 115 |
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93 | 86, 92 | sylbird 170 |
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94 | ltdcnq 7425 |
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95 | ltdcnq 7425 |
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96 | 95 | ancoms 268 |
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97 | dcor 937 |
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98 | 94, 96, 97 | sylc 62 |
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99 | 8, 12, 98 | syl2anc 411 |
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100 | df-dc 836 |
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101 | 99, 100 | sylib 122 |
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102 | 82, 93, 101 | mpjaod 719 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4133 ax-sep 4136 ax-nul 4144 ax-pow 4192 ax-pr 4227 ax-un 4451 ax-setind 4554 ax-iinf 4605 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-nul 3438 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-iun 3903 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-tr 4117 df-eprel 4307 df-id 4311 df-po 4314 df-iso 4315 df-iord 4384 df-on 4386 df-suc 4389 df-iom 4608 df-xp 4650 df-rel 4651 df-cnv 4652 df-co 4653 df-dm 4654 df-rn 4655 df-res 4656 df-ima 4657 df-iota 5196 df-fun 5237 df-fn 5238 df-f 5239 df-f1 5240 df-fo 5241 df-f1o 5242 df-fv 5243 df-ov 5898 df-oprab 5899 df-mpo 5900 df-1st 6164 df-2nd 6165 df-recs 6329 df-irdg 6394 df-1o 6440 df-2o 6441 df-oadd 6444 df-omul 6445 df-er 6558 df-ec 6560 df-qs 6564 df-ni 7332 df-pli 7333 df-mi 7334 df-lti 7335 df-plpq 7372 df-mpq 7373 df-enq 7375 df-nqqs 7376 df-plqqs 7377 df-mqqs 7378 df-1nqqs 7379 df-rq 7380 df-ltnqqs 7381 df-enq0 7452 df-nq0 7453 df-0nq0 7454 df-plq0 7455 df-mq0 7456 df-inp 7494 df-iplp 7496 df-imp 7497 |
This theorem is referenced by: distrlem5pru 7615 |
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