ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oddge22np1 Unicode version

Theorem oddge22np1 10974
Description: An integer greater than one is odd iff it is one plus twice a positive integer. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
oddge22np1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( -.  2  ||  N  <->  E. n  e.  NN  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
Distinct variable group:    n, N

Proof of Theorem oddge22np1
StepHypRef Expression
1 eleq1 2150 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  <->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
2 nn0z 8740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
32adantl 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  ZZ )
4 eluz2 8994 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  ZZ  /\  2  <_ 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
5 2re 8463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR
65a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  ->  2  e.  RR )
7 1red 7482 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  ->  1  e.  RR )
8 2nn0 8660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  NN0
98a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN0  ->  2  e. 
NN0 )
10 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e. 
NN0 )
119, 10nn0mulcld 8701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 2  x.  n )  e. 
NN0 )
1211nn0red 8697 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 2  x.  n )  e.  RR )
136, 7, 12lesubaddd 7995 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( 2  -  1 )  <_  ( 2  x.  n )  <->  2  <_  ( ( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
14 2m1e1 8510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  -  1 )  =  1
1514breq1i 3844 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  -  1 )  <_  ( 2  x.  n )  <->  1  <_  ( 2  x.  n ) )
16 nn0re 8652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  RR )
17 2pos 8484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  <  2
185, 17pm3.2i 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
1918a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
20 ledivmul 8310 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  n  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( 1  /  2 )  <_  n 
<->  1  <_  ( 2  x.  n ) ) )
217, 16, 19, 20syl3anc 1174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( 1  /  2 )  <_  n  <->  1  <_  ( 2  x.  n ) ) )
22 halfgt0 8601 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  <  ( 1  /  2
)
23 0red 7468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN0  ->  0  e.  RR )
24 halfre 8599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
2524a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
26 ltletr 7553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  ( ( 0  < 
( 1  /  2
)  /\  ( 1  /  2 )  <_  n )  ->  0  <  n ) )
2723, 25, 16, 26syl3anc 1174 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( 0  <  ( 1  /  2 )  /\  ( 1  /  2
)  <_  n )  ->  0  <  n ) )
2822, 27mpani 421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( 1  /  2 )  <_  n  ->  0  <  n ) )
2921, 28sylbird 168 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 1  <_  ( 2  x.  n )  ->  0  <  n ) )
3015, 29syl5bi 150 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( 2  -  1 )  <_  ( 2  x.  n )  ->  0  <  n ) )
3113, 30sylbird 168 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 2  <_  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  ->  0  <  n ) )
3231com12 30 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  <_  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  ->  (
n  e.  NN0  ->  0  <  n ) )
33323ad2ant3 966 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  ZZ  /\  2  <_  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  -> 
( n  e.  NN0  ->  0  <  n ) )
344, 33sylbi 119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( n  e.  NN0  ->  0  <  n ) )
3534imp 122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  0  <  n )
36 elnnz 8730 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  <->  ( n  e.  ZZ  /\  0  < 
n ) )
373, 35, 36sylanbrc 408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  NN )
3837ex 113 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  NN ) )
391, 38syl6bir 162 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  ->  ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  (
n  e.  NN0  ->  n  e.  NN ) ) )
4039com13 79 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  ->  n  e.  NN ) ) )
4140impcom 123 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  ->  n  e.  NN )
)
4241pm4.71rd 386 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  <->  ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) ) )
4342bicomd 139 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N )  <-> 
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
4443rexbidva 2377 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( E. n  e.  NN0  ( n  e.  NN  /\  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N )  <->  E. n  e.  NN0  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
45 nnssnn0 8646 . . 3  |-  NN  C_  NN0
46 rexss 3086 . . 3  |-  ( NN  C_  NN0  ->  ( E. n  e.  NN  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  <->  E. n  e.  NN0  ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) ) )
4745, 46mp1i 10 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( E. n  e.  NN  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  <->  E. n  e.  NN0  ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) ) )
48 eluzge2nn0 9027 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  NN0 )
49 oddnn02np1 10973 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( -.  2  ||  N  <->  E. n  e.  NN0  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
5048, 49syl 14 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( -.  2  ||  N  <->  E. n  e.  NN0  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
5144, 47, 503bitr4rd 219 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( -.  2  ||  N  <->  E. n  e.  NN  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438   E.wrex 2360    C_ wss 2997   class class class wbr 3837   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   RRcr 7328   0cc0 7329   1c1 7330    + caddc 7332    x. cmul 7334    < clt 7501    <_ cle 7502    - cmin 7632    / cdiv 8113   NNcn 8394   2c2 8444   NN0cn0 8643   ZZcz 8720   ZZ>=cuz 8988    || cdvds 10889
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-xor 1312  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-dvds 10890
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator