Theorem oddge22np1 11840

Description: An integer greater than one is odd iff it is one plus twice a positive integer. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
oddge22np1	|- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( -. 2 || N <-> E. n e. NN ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )

Distinct variable group:   n, N

Proof of Theorem oddge22np1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2233	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
2		nn0z 9232	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> n e. ZZ )
3	2	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN0 ) -> n e. ZZ )
4		eluz2 9493	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ZZ /\ 2 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) )
5		2re 8948	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. RR
6	5	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 -> 2 e. RR )
7		1red 7935	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 -> 1 e. RR )
8		2nn0 9152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. NN0
9	8	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN0 -> 2 e. NN0 )
10		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN0 -> n e. NN0 )
11	9, 10	nn0mulcld 9193	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. NN0 -> ( 2 x. n ) e. NN0 )
12	11	nn0red 9189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 -> ( 2 x. n ) e. RR )
13	6, 7, 12	lesubaddd 8461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN0 -> ( ( 2 - 1 ) <_ ( 2 x. n ) <-> 2 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) )
14		2m1e1 8996	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 - 1 ) = 1
15	14	breq1i 3996	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 - 1 ) <_ ( 2 x. n ) <-> 1 <_ ( 2 x. n ) )
16		nn0re 9144	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN0 -> n e. RR )
17		2pos 8969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 0 < 2
18	5, 17	pm3.2i 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
19	18	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN0 -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
20		ledivmul 8793	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 1 e. RR /\ n e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 1 / 2 ) <_ n <-> 1 <_ ( 2 x. n ) ) )
21	7, 16, 19, 20	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. NN0 -> ( ( 1 / 2 ) <_ n <-> 1 <_ ( 2 x. n ) ) )
22		halfgt0 9093	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 < ( 1 / 2 )
23		0red 7921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. NN0 -> 0 e. RR )
24		halfre 9091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1 / 2 ) e. RR
25	24	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. NN0 -> ( 1 / 2 ) e. RR )
26		ltletr 8009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 0 e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR /\ n e. RR ) -> ( ( 0 < ( 1 / 2 ) /\ ( 1 / 2 ) <_ n ) -> 0 < n ) )
27	23, 25, 16, 26	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN0 -> ( ( 0 < ( 1 / 2 ) /\ ( 1 / 2 ) <_ n ) -> 0 < n ) )
28	22, 27	mpani 428	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. NN0 -> ( ( 1 / 2 ) <_ n -> 0 < n ) )
29	21, 28	sylbird 169	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 -> ( 1 <_ ( 2 x. n ) -> 0 < n ) )
30	15, 29	syl5bi 151	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN0 -> ( ( 2 - 1 ) <_ ( 2 x. n ) -> 0 < n ) )
31	13, 30	sylbird 169	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN0 -> ( 2 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) -> 0 < n ) )
32	31	com12 30	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) -> ( n e. NN0 -> 0 < n ) )
33	32	3ad2ant3 1015	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ZZ /\ 2 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) -> ( n e. NN0 -> 0 < n ) )
34	4, 33	sylbi 120	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( n e. NN0 -> 0 < n ) )
35	34	imp 123	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN0 ) -> 0 < n )
36		elnnz 9222	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN <-> ( n e. ZZ /\ 0 < n ) )
37	3, 35, 36	sylanbrc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN0 ) -> n e. NN )
38	37	ex 114	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( n e. NN0 -> n e. NN ) )
39	1, 38	syl6bir 163	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( n e. NN0 -> n e. NN ) ) )
40	39	com13 80	. . . . . 6 |- ( n e. NN0 -> ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> n e. NN ) ) )
41	40	impcom 124	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> n e. NN ) )
42	41	pm4.71rd 392	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N <-> ( n e. NN /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) ) )
43	42	bicomd 140	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( n e. NN /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) <-> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
44	43	rexbidva 2467	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( E. n e. NN0 ( n e. NN /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) <-> E. n e. NN0 ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
45		nnssnn0 9138	. . 3 |- NN C_ NN0
46		rexss 3214	. . 3 |- ( NN C_ NN0 -> ( E. n e. NN ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N <-> E. n e. NN0 ( n e. NN /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) ) )
47	45, 46	mp1i 10	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( E. n e. NN ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N <-> E. n e. NN0 ( n e. NN /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) ) )
48		eluzge2nn0 9528	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. NN0 )
49		oddnn02np1 11839	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( -. 2 || N <-> E. n e. NN0 ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
50	48, 49	syl 14	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( -. 2 || N <-> E. n e. NN0 ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
51	44, 47, 50	3bitr4rd 220	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( -. 2 || N <-> E. n e. NN ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   E.wrex 2449   C_ wss 3121   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775   + caddc 7777   x. cmul 7779   < clt 7954   <_ cle 7955   - cmin 8090   / cdiv 8589   NNcn 8878   2c2 8929   NN0cn0 9135   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   || cdvds 11749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-xor 1371  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-dvds 11750

This theorem is referenced by: (None)