Theorem oddge22np1 12025

Description: An integer greater than one is odd iff it is one plus twice a positive integer. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
oddge22np1	|- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( -. 2 || N <-> E. n e. NN ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )

Distinct variable group:   n, N

Proof of Theorem oddge22np1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2256	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
2		nn0z 9340	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> n e. ZZ )
3	2	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN0 ) -> n e. ZZ )
4		eluz2 9601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ZZ /\ 2 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) )
5		2re 9054	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. RR
6	5	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 -> 2 e. RR )
7		1red 8036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 -> 1 e. RR )
8		2nn0 9260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. NN0
9	8	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN0 -> 2 e. NN0 )
10		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN0 -> n e. NN0 )
11	9, 10	nn0mulcld 9301	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. NN0 -> ( 2 x. n ) e. NN0 )
12	11	nn0red 9297	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 -> ( 2 x. n ) e. RR )
13	6, 7, 12	lesubaddd 8563	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN0 -> ( ( 2 - 1 ) <_ ( 2 x. n ) <-> 2 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) )
14		2m1e1 9102	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 - 1 ) = 1
15	14	breq1i 4037	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 - 1 ) <_ ( 2 x. n ) <-> 1 <_ ( 2 x. n ) )
16		nn0re 9252	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN0 -> n e. RR )
17		2pos 9075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 0 < 2
18	5, 17	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
19	18	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN0 -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
20		ledivmul 8898	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 1 e. RR /\ n e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 1 / 2 ) <_ n <-> 1 <_ ( 2 x. n ) ) )
21	7, 16, 19, 20	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. NN0 -> ( ( 1 / 2 ) <_ n <-> 1 <_ ( 2 x. n ) ) )
22		halfgt0 9200	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 < ( 1 / 2 )
23		0red 8022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. NN0 -> 0 e. RR )
24		halfre 9198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1 / 2 ) e. RR
25	24	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. NN0 -> ( 1 / 2 ) e. RR )
26		ltletr 8111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 0 e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR /\ n e. RR ) -> ( ( 0 < ( 1 / 2 ) /\ ( 1 / 2 ) <_ n ) -> 0 < n ) )
27	23, 25, 16, 26	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN0 -> ( ( 0 < ( 1 / 2 ) /\ ( 1 / 2 ) <_ n ) -> 0 < n ) )
28	22, 27	mpani 430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. NN0 -> ( ( 1 / 2 ) <_ n -> 0 < n ) )
29	21, 28	sylbird 170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 -> ( 1 <_ ( 2 x. n ) -> 0 < n ) )
30	15, 29	biimtrid 152	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN0 -> ( ( 2 - 1 ) <_ ( 2 x. n ) -> 0 < n ) )
31	13, 30	sylbird 170	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN0 -> ( 2 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) -> 0 < n ) )
32	31	com12 30	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) -> ( n e. NN0 -> 0 < n ) )
33	32	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ZZ /\ 2 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) -> ( n e. NN0 -> 0 < n ) )
34	4, 33	sylbi 121	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( n e. NN0 -> 0 < n ) )
35	34	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN0 ) -> 0 < n )
36		elnnz 9330	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN <-> ( n e. ZZ /\ 0 < n ) )
37	3, 35, 36	sylanbrc 417	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN0 ) -> n e. NN )
38	37	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( n e. NN0 -> n e. NN ) )
39	1, 38	biimtrrdi 164	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( n e. NN0 -> n e. NN ) ) )
40	39	com13 80	. . . . . 6 |- ( n e. NN0 -> ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> n e. NN ) ) )
41	40	impcom 125	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> n e. NN ) )
42	41	pm4.71rd 394	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N <-> ( n e. NN /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) ) )
43	42	bicomd 141	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( n e. NN /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) <-> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
44	43	rexbidva 2491	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( E. n e. NN0 ( n e. NN /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) <-> E. n e. NN0 ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
45		nnssnn0 9246	. . 3 |- NN C_ NN0
46		rexss 3247	. . 3 |- ( NN C_ NN0 -> ( E. n e. NN ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N <-> E. n e. NN0 ( n e. NN /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) ) )
47	45, 46	mp1i 10	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( E. n e. NN ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N <-> E. n e. NN0 ( n e. NN /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) ) )
48		eluzge2nn0 9637	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. NN0 )
49		oddnn02np1 12024	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( -. 2 || N <-> E. n e. NN0 ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
50	48, 49	syl 14	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( -. 2 || N <-> E. n e. NN0 ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
51	44, 47, 50	3bitr4rd 221	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( -. 2 || N <-> E. n e. NN ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   E.wrex 2473   C_ wss 3154   class class class wbr 4030   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   RRcr 7873   0cc0 7874   1c1 7875   + caddc 7877   x. cmul 7879   < clt 8056   <_ cle 8057   - cmin 8192   / cdiv 8693   NNcn 8984   2c2 9035   NN0cn0 9243   ZZcz 9320   ZZ>=cuz 9595   || cdvds 11933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-dvds 11934

This theorem is referenced by: (None)