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Theorem oddge22np1 11485
Description: An integer greater than one is odd iff it is one plus twice a positive integer. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
oddge22np1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( -.  2  ||  N  <->  E. n  e.  NN  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
Distinct variable group:    n, N

Proof of Theorem oddge22np1
StepHypRef Expression
1 eleq1 2178 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  <->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
2 nn0z 9028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
32adantl 273 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  ZZ )
4 eluz2 9284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  ZZ  /\  2  <_ 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
5 2re 8750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR
65a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  ->  2  e.  RR )
7 1red 7745 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  ->  1  e.  RR )
8 2nn0 8948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  NN0
98a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN0  ->  2  e. 
NN0 )
10 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e. 
NN0 )
119, 10nn0mulcld 8989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 2  x.  n )  e. 
NN0 )
1211nn0red 8985 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 2  x.  n )  e.  RR )
136, 7, 12lesubaddd 8267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( 2  -  1 )  <_  ( 2  x.  n )  <->  2  <_  ( ( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
14 2m1e1 8798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  -  1 )  =  1
1514breq1i 3904 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  -  1 )  <_  ( 2  x.  n )  <->  1  <_  ( 2  x.  n ) )
16 nn0re 8940 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  RR )
17 2pos 8771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  <  2
185, 17pm3.2i 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
1918a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
20 ledivmul 8595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  n  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( 1  /  2 )  <_  n 
<->  1  <_  ( 2  x.  n ) ) )
217, 16, 19, 20syl3anc 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( 1  /  2 )  <_  n  <->  1  <_  ( 2  x.  n ) ) )
22 halfgt0 8889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  <  ( 1  /  2
)
23 0red 7731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN0  ->  0  e.  RR )
24 halfre 8887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
2524a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
26 ltletr 7817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  ( ( 0  < 
( 1  /  2
)  /\  ( 1  /  2 )  <_  n )  ->  0  <  n ) )
2723, 25, 16, 26syl3anc 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( 0  <  ( 1  /  2 )  /\  ( 1  /  2
)  <_  n )  ->  0  <  n ) )
2822, 27mpani 424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( 1  /  2 )  <_  n  ->  0  <  n ) )
2921, 28sylbird 169 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 1  <_  ( 2  x.  n )  ->  0  <  n ) )
3015, 29syl5bi 151 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( 2  -  1 )  <_  ( 2  x.  n )  ->  0  <  n ) )
3113, 30sylbird 169 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 2  <_  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  ->  0  <  n ) )
3231com12 30 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  <_  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  ->  (
n  e.  NN0  ->  0  <  n ) )
33323ad2ant3 987 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  ZZ  /\  2  <_  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  -> 
( n  e.  NN0  ->  0  <  n ) )
344, 33sylbi 120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( n  e.  NN0  ->  0  <  n ) )
3534imp 123 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  0  <  n )
36 elnnz 9018 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  <->  ( n  e.  ZZ  /\  0  < 
n ) )
373, 35, 36sylanbrc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  NN )
3837ex 114 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  NN ) )
391, 38syl6bir 163 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  ->  ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  (
n  e.  NN0  ->  n  e.  NN ) ) )
4039com13 80 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  ->  n  e.  NN ) ) )
4140impcom 124 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  ->  n  e.  NN )
)
4241pm4.71rd 389 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  <->  ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) ) )
4342bicomd 140 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N )  <-> 
( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
4443rexbidva 2409 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( E. n  e.  NN0  ( n  e.  NN  /\  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N )  <->  E. n  e.  NN0  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
45 nnssnn0 8934 . . 3  |-  NN  C_  NN0
46 rexss 3132 . . 3  |-  ( NN  C_  NN0  ->  ( E. n  e.  NN  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  <->  E. n  e.  NN0  ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) ) )
4745, 46mp1i 10 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( E. n  e.  NN  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  <->  E. n  e.  NN0  ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) ) )
48 eluzge2nn0 9317 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  NN0 )
49 oddnn02np1 11484 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( -.  2  ||  N  <->  E. n  e.  NN0  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
5048, 49syl 14 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( -.  2  ||  N  <->  E. n  e.  NN0  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
5144, 47, 503bitr4rd 220 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( -.  2  ||  N  <->  E. n  e.  NN  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 945    = wceq 1314    e. wcel 1463   E.wrex 2392    C_ wss 3039   class class class wbr 3897   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   RRcr 7583   0cc0 7584   1c1 7585    + caddc 7587    x. cmul 7589    < clt 7764    <_ cle 7765    - cmin 7897    / cdiv 8395   NNcn 8680   2c2 8731   NN0cn0 8931   ZZcz 9008   ZZ>=cuz 9278    || cdvds 11400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-xor 1337  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-inn 8681  df-2 8739  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-dvds 11401
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