Theorem oddge22np1 11903

Description: An integer greater than one is odd iff it is one plus twice a positive integer. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
oddge22np1	|- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( -. 2 || N <-> E. n e. NN ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )

Distinct variable group:   n, N

Proof of Theorem oddge22np1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2251	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
2		nn0z 9290	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> n e. ZZ )
3	2	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN0 ) -> n e. ZZ )
4		eluz2 9551	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ZZ /\ 2 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) )
5		2re 9006	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. RR
6	5	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 -> 2 e. RR )
7		1red 7989	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 -> 1 e. RR )
8		2nn0 9210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. NN0
9	8	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN0 -> 2 e. NN0 )
10		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN0 -> n e. NN0 )
11	9, 10	nn0mulcld 9251	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. NN0 -> ( 2 x. n ) e. NN0 )
12	11	nn0red 9247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 -> ( 2 x. n ) e. RR )
13	6, 7, 12	lesubaddd 8516	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN0 -> ( ( 2 - 1 ) <_ ( 2 x. n ) <-> 2 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) )
14		2m1e1 9054	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 - 1 ) = 1
15	14	breq1i 4024	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 - 1 ) <_ ( 2 x. n ) <-> 1 <_ ( 2 x. n ) )
16		nn0re 9202	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN0 -> n e. RR )
17		2pos 9027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 0 < 2
18	5, 17	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
19	18	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN0 -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
20		ledivmul 8851	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 1 e. RR /\ n e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 1 / 2 ) <_ n <-> 1 <_ ( 2 x. n ) ) )
21	7, 16, 19, 20	syl3anc 1248	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. NN0 -> ( ( 1 / 2 ) <_ n <-> 1 <_ ( 2 x. n ) ) )
22		halfgt0 9151	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 < ( 1 / 2 )
23		0red 7975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. NN0 -> 0 e. RR )
24		halfre 9149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1 / 2 ) e. RR
25	24	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. NN0 -> ( 1 / 2 ) e. RR )
26		ltletr 8064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 0 e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR /\ n e. RR ) -> ( ( 0 < ( 1 / 2 ) /\ ( 1 / 2 ) <_ n ) -> 0 < n ) )
27	23, 25, 16, 26	syl3anc 1248	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN0 -> ( ( 0 < ( 1 / 2 ) /\ ( 1 / 2 ) <_ n ) -> 0 < n ) )
28	22, 27	mpani 430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. NN0 -> ( ( 1 / 2 ) <_ n -> 0 < n ) )
29	21, 28	sylbird 170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 -> ( 1 <_ ( 2 x. n ) -> 0 < n ) )
30	15, 29	biimtrid 152	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN0 -> ( ( 2 - 1 ) <_ ( 2 x. n ) -> 0 < n ) )
31	13, 30	sylbird 170	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN0 -> ( 2 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) -> 0 < n ) )
32	31	com12 30	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) -> ( n e. NN0 -> 0 < n ) )
33	32	3ad2ant3 1021	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ZZ /\ 2 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) -> ( n e. NN0 -> 0 < n ) )
34	4, 33	sylbi 121	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( n e. NN0 -> 0 < n ) )
35	34	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN0 ) -> 0 < n )
36		elnnz 9280	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN <-> ( n e. ZZ /\ 0 < n ) )
37	3, 35, 36	sylanbrc 417	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN0 ) -> n e. NN )
38	37	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( n e. NN0 -> n e. NN ) )
39	1, 38	syl6bir 164	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( n e. NN0 -> n e. NN ) ) )
40	39	com13 80	. . . . . 6 |- ( n e. NN0 -> ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> n e. NN ) ) )
41	40	impcom 125	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> n e. NN ) )
42	41	pm4.71rd 394	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N <-> ( n e. NN /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) ) )
43	42	bicomd 141	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( n e. NN /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) <-> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
44	43	rexbidva 2486	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( E. n e. NN0 ( n e. NN /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) <-> E. n e. NN0 ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
45		nnssnn0 9196	. . 3 |- NN C_ NN0
46		rexss 3236	. . 3 |- ( NN C_ NN0 -> ( E. n e. NN ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N <-> E. n e. NN0 ( n e. NN /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) ) )
47	45, 46	mp1i 10	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( E. n e. NN ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N <-> E. n e. NN0 ( n e. NN /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) ) )
48		eluzge2nn0 9586	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. NN0 )
49		oddnn02np1 11902	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( -. 2 || N <-> E. n e. NN0 ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
50	48, 49	syl 14	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( -. 2 || N <-> E. n e. NN0 ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
51	44, 47, 50	3bitr4rd 221	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( -. 2 || N <-> E. n e. NN ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 979   = wceq 1363   e. wcel 2159   E.wrex 2468   C_ wss 3143   class class class wbr 4017   ` cfv 5230  (class class class)co 5890   RRcr 7827   0cc0 7828   1c1 7829   + caddc 7831   x. cmul 7833   < clt 8009   <_ cle 8010   - cmin 8145   / cdiv 8646   NNcn 8936   2c2 8987   NN0cn0 9193   ZZcz 9270   ZZ>=cuz 9545   || cdvds 11811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-1re 7922  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-mulrcl 7927  ax-addcom 7928  ax-mulcom 7929  ax-addass 7930  ax-mulass 7931  ax-distr 7932  ax-i2m1 7933  ax-0lt1 7934  ax-1rid 7935  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-precex 7938  ax-cnre 7939  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-ltwlin 7941  ax-pre-lttrn 7942  ax-pre-apti 7943  ax-pre-ltadd 7944  ax-pre-mulgt0 7945  ax-pre-mulext 7946

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-xor 1386  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rmo 2475  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4307  df-po 4310  df-iso 4311  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-fv 5238  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-xr 8013  df-ltxr 8014  df-le 8015  df-sub 8147  df-neg 8148  df-reap 8549  df-ap 8556  df-div 8647  df-inn 8937  df-2 8995  df-n0 9194  df-z 9271  df-uz 9546  df-dvds 11812

This theorem is referenced by: (None)