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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > oddge22np1 | Unicode version |
Description: An integer greater than one is odd iff it is one plus twice a positive integer. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.) |
Ref | Expression |
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oddge22np1 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | eleq1 2252 |
. . . . . . . 8
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2 | nn0z 9292 |
. . . . . . . . . . 11
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3 | 2 | adantl 277 |
. . . . . . . . . 10
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4 | eluz2 9553 |
. . . . . . . . . . . 12
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5 | 2re 9008 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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6 | 5 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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7 | 1red 7991 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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8 | 2nn0 9212 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
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9 | 8 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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10 | id 19 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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11 | 9, 10 | nn0mulcld 9253 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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12 | 11 | nn0red 9249 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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13 | 6, 7, 12 | lesubaddd 8518 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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14 | 2m1e1 9056 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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15 | 14 | breq1i 4025 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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16 | nn0re 9204 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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17 | 2pos 9029 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
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18 | 5, 17 | pm3.2i 272 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
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19 | 18 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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20 | ledivmul 8853 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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21 | 7, 16, 19, 20 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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22 | halfgt0 9153 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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23 | 0red 7977 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
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24 | halfre 9151 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
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25 | 24 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
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26 | ltletr 8066 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
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27 | 23, 25, 16, 26 | syl3anc 1249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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28 | 22, 27 | mpani 430 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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29 | 21, 28 | sylbird 170 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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30 | 15, 29 | biimtrid 152 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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31 | 13, 30 | sylbird 170 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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32 | 31 | com12 30 |
. . . . . . . . . . . . 13
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33 | 32 | 3ad2ant3 1022 |
. . . . . . . . . . . 12
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34 | 4, 33 | sylbi 121 |
. . . . . . . . . . 11
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35 | 34 | imp 124 |
. . . . . . . . . 10
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36 | elnnz 9282 |
. . . . . . . . . 10
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37 | 3, 35, 36 | sylanbrc 417 |
. . . . . . . . 9
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38 | 37 | ex 115 |
. . . . . . . 8
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39 | 1, 38 | syl6bir 164 |
. . . . . . 7
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40 | 39 | com13 80 |
. . . . . 6
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41 | 40 | impcom 125 |
. . . . 5
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42 | 41 | pm4.71rd 394 |
. . . 4
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43 | 42 | bicomd 141 |
. . 3
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44 | 43 | rexbidva 2487 |
. 2
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45 | nnssnn0 9198 |
. . 3
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46 | rexss 3237 |
. . 3
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47 | 45, 46 | mp1i 10 |
. 2
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48 | eluzge2nn0 9588 |
. . 3
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49 | oddnn02np1 11904 |
. . 3
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50 | 48, 49 | syl 14 |
. 2
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51 | 44, 47, 50 | 3bitr4rd 221 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-sep 4136 ax-pow 4189 ax-pr 4224 ax-un 4448 ax-setind 4551 ax-cnex 7921 ax-resscn 7922 ax-1cn 7923 ax-1re 7924 ax-icn 7925 ax-addcl 7926 ax-addrcl 7927 ax-mulcl 7928 ax-mulrcl 7929 ax-addcom 7930 ax-mulcom 7931 ax-addass 7932 ax-mulass 7933 ax-distr 7934 ax-i2m1 7935 ax-0lt1 7936 ax-1rid 7937 ax-0id 7938 ax-rnegex 7939 ax-precex 7940 ax-cnre 7941 ax-pre-ltirr 7942 ax-pre-ltwlin 7943 ax-pre-lttrn 7944 ax-pre-apti 7945 ax-pre-ltadd 7946 ax-pre-mulgt0 7947 ax-pre-mulext 7948 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-xor 1387 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-id 4308 df-po 4311 df-iso 4312 df-xp 4647 df-rel 4648 df-cnv 4649 df-co 4650 df-dm 4651 df-rn 4652 df-res 4653 df-ima 4654 df-iota 5193 df-fun 5233 df-fn 5234 df-f 5235 df-fv 5239 df-riota 5847 df-ov 5894 df-oprab 5895 df-mpo 5896 df-pnf 8013 df-mnf 8014 df-xr 8015 df-ltxr 8016 df-le 8017 df-sub 8149 df-neg 8150 df-reap 8551 df-ap 8558 df-div 8649 df-inn 8939 df-2 8997 df-n0 9196 df-z 9273 df-uz 9548 df-dvds 11814 |
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