Theorem oddge22np1 12408

Description: An integer greater than one is odd iff it is one plus twice a positive integer. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
oddge22np1	|- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( -. 2 || N <-> E. n e. NN ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )

Distinct variable group:   n, N

Proof of Theorem oddge22np1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2292	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
2		nn0z 9477	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> n e. ZZ )
3	2	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN0 ) -> n e. ZZ )
4		eluz2 9739	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ZZ /\ 2 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) )
5		2re 9191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. RR
6	5	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 -> 2 e. RR )
7		1red 8172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 -> 1 e. RR )
8		2nn0 9397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. NN0
9	8	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN0 -> 2 e. NN0 )
10		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN0 -> n e. NN0 )
11	9, 10	nn0mulcld 9438	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. NN0 -> ( 2 x. n ) e. NN0 )
12	11	nn0red 9434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 -> ( 2 x. n ) e. RR )
13	6, 7, 12	lesubaddd 8700	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN0 -> ( ( 2 - 1 ) <_ ( 2 x. n ) <-> 2 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) )
14		2m1e1 9239	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 - 1 ) = 1
15	14	breq1i 4090	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 - 1 ) <_ ( 2 x. n ) <-> 1 <_ ( 2 x. n ) )
16		nn0re 9389	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN0 -> n e. RR )
17		2pos 9212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 0 < 2
18	5, 17	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
19	18	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN0 -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
20		ledivmul 9035	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 1 e. RR /\ n e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 1 / 2 ) <_ n <-> 1 <_ ( 2 x. n ) ) )
21	7, 16, 19, 20	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. NN0 -> ( ( 1 / 2 ) <_ n <-> 1 <_ ( 2 x. n ) ) )
22		halfgt0 9337	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 < ( 1 / 2 )
23		0red 8158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. NN0 -> 0 e. RR )
24		halfre 9335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1 / 2 ) e. RR
25	24	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. NN0 -> ( 1 / 2 ) e. RR )
26		ltletr 8247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 0 e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR /\ n e. RR ) -> ( ( 0 < ( 1 / 2 ) /\ ( 1 / 2 ) <_ n ) -> 0 < n ) )
27	23, 25, 16, 26	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN0 -> ( ( 0 < ( 1 / 2 ) /\ ( 1 / 2 ) <_ n ) -> 0 < n ) )
28	22, 27	mpani 430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. NN0 -> ( ( 1 / 2 ) <_ n -> 0 < n ) )
29	21, 28	sylbird 170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 -> ( 1 <_ ( 2 x. n ) -> 0 < n ) )
30	15, 29	biimtrid 152	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN0 -> ( ( 2 - 1 ) <_ ( 2 x. n ) -> 0 < n ) )
31	13, 30	sylbird 170	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN0 -> ( 2 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) -> 0 < n ) )
32	31	com12 30	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) -> ( n e. NN0 -> 0 < n ) )
33	32	3ad2ant3 1044	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ZZ /\ 2 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) -> ( n e. NN0 -> 0 < n ) )
34	4, 33	sylbi 121	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( n e. NN0 -> 0 < n ) )
35	34	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN0 ) -> 0 < n )
36		elnnz 9467	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN <-> ( n e. ZZ /\ 0 < n ) )
37	3, 35, 36	sylanbrc 417	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN0 ) -> n e. NN )
38	37	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( n e. NN0 -> n e. NN ) )
39	1, 38	biimtrrdi 164	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( n e. NN0 -> n e. NN ) ) )
40	39	com13 80	. . . . . 6 |- ( n e. NN0 -> ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> n e. NN ) ) )
41	40	impcom 125	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> n e. NN ) )
42	41	pm4.71rd 394	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N <-> ( n e. NN /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) ) )
43	42	bicomd 141	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( n e. NN /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) <-> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
44	43	rexbidva 2527	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( E. n e. NN0 ( n e. NN /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) <-> E. n e. NN0 ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
45		nnssnn0 9383	. . 3 |- NN C_ NN0
46		rexss 3291	. . 3 |- ( NN C_ NN0 -> ( E. n e. NN ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N <-> E. n e. NN0 ( n e. NN /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) ) )
47	45, 46	mp1i 10	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( E. n e. NN ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N <-> E. n e. NN0 ( n e. NN /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) ) )
48		eluzge2nn0 9776	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. NN0 )
49		oddnn02np1 12407	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( -. 2 || N <-> E. n e. NN0 ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
50	48, 49	syl 14	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( -. 2 || N <-> E. n e. NN0 ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
51	44, 47, 50	3bitr4rd 221	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( -. 2 || N <-> E. n e. NN ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   E.wrex 2509   C_ wss 3197   class class class wbr 4083   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   RRcr 8009   0cc0 8010   1c1 8011   + caddc 8013   x. cmul 8015   < clt 8192   <_ cle 8193   - cmin 8328   / cdiv 8830   NNcn 9121   2c2 9172   NN0cn0 9380   ZZcz 9457   ZZ>=cuz 9733   || cdvds 12314

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-dvds 12315

This theorem is referenced by: (None)