ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnrecgt0 Unicode version

Theorem nnrecgt0 8933
Description: The reciprocal of a positive integer is positive. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
nnrecgt0  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  ( 1  /  A
) )

Proof of Theorem nnrecgt0
StepHypRef Expression
1 nnge1 8918 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  1  <_  A )
2 0lt1 8061 . . 3  |-  0  <  1
3 nnre 8902 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
4 0re 7935 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
5 1re 7934 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
6 ltletr 8024 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  A )  ->  0  <  A
) )
74, 5, 6mp3an12 1327 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  A )  ->  0  <  A
) )
8 recgt0 8783 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
0  <  ( 1  /  A ) )
98ex 115 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  A  ->  0  <  ( 1  /  A ) ) )
107, 9syld 45 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  A )  ->  0  <  (
1  /  A ) ) )
113, 10syl 14 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  A )  ->  0  <  (
1  /  A ) ) )
122, 11mpani 430 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  (
1  <_  A  ->  0  <  ( 1  /  A ) ) )
131, 12mpd 13 1  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  ( 1  /  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    e. wcel 2148   class class class wbr 4000  (class class class)co 5868   RRcr 7788   0cc0 7789   1c1 7790    < clt 7969    <_ cle 7970    / cdiv 8605   NNcn 8895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906  ax-pre-mulext 7907
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516  df-div 8606  df-inn 8896
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator