ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltrnqi GIF version

Theorem ltrnqi 6882
Description: Ordering property of reciprocal for positive fractions. For the converse, see ltrnqg 6881. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltrnqi (𝐴 <Q 𝐵 → (*Q𝐵) <Q (*Q𝐴))

Proof of Theorem ltrnqi
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 6826 . . . 4 <Q ⊆ (Q × Q)
21brel 4447 . . 3 (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴Q𝐵Q))
3 ltrnqg 6881 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (*Q𝐵) <Q (*Q𝐴)))
42, 3syl 14 . 2 (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ (*Q𝐵) <Q (*Q𝐴)))
54ibi 174 1 (𝐴 <Q 𝐵 → (*Q𝐵) <Q (*Q𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wcel 1434   class class class wbr 3811  cfv 4968  Qcnq 6741  *Qcrq 6745   <Q cltq 6746
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-iinf 4365
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-eprel 4079  df-id 4083  df-iord 4156  df-on 4158  df-suc 4161  df-iom 4368  df-xp 4406  df-rel 4407  df-cnv 4408  df-co 4409  df-dm 4410  df-rn 4411  df-res 4412  df-ima 4413  df-iota 4933  df-fun 4970  df-fn 4971  df-f 4972  df-f1 4973  df-fo 4974  df-f1o 4975  df-fv 4976  df-ov 5593  df-oprab 5594  df-mpt2 5595  df-1st 5845  df-2nd 5846  df-recs 6001  df-irdg 6066  df-1o 6112  df-oadd 6116  df-omul 6117  df-er 6221  df-ec 6223  df-qs 6227  df-ni 6765  df-mi 6767  df-lti 6768  df-mpq 6806  df-enq 6808  df-nqqs 6809  df-mqqs 6811  df-1nqqs 6812  df-rq 6813  df-ltnqqs 6814
This theorem is referenced by:  addnqprllem  6988  addnqprulem  6989  recexprlemdisj  7091  recexprlemloc  7092  recexprlem1ssl  7094  recexprlem1ssu  7095  caucvgprlemk  7126  caucvgprprlemk  7144
  Copyright terms: Public domain W3C validator