Theorem mgptopng 13852

Description: Topology of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpbas.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgptopn.2	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgptopng	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝐽 = (TopOpen‘𝑀))

Proof of Theorem mgptopng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgptopn.2	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
2		eqid 2207	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2207	. . . . 5 ⊢ (TopSet‘𝑅) = (TopSet‘𝑅)
4	2, 3	topnvalg 13244	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((TopSet‘𝑅) ↾t (Base‘𝑅)) = (TopOpen‘𝑅))
5		mgpbas.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
6	5	mgptsetg 13851	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (TopSet‘𝑅) = (TopSet‘𝑀))
7	5, 2	mgpbasg 13849	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀))
8	6, 7	oveq12d 5987	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((TopSet‘𝑅) ↾t (Base‘𝑅)) = ((TopSet‘𝑀) ↾t (Base‘𝑀)))
9	4, 8	eqtr3d 2242	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (TopOpen‘𝑅) = ((TopSet‘𝑀) ↾t (Base‘𝑀)))
10	1, 9	eqtrid 2252	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝐽 = ((TopSet‘𝑀) ↾t (Base‘𝑀)))
11		fnmgp 13845	. . . . 5 ⊢ mulGrp Fn V
12		elex 2789	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
13		funfvex 5617	. . . . . 6 ⊢ ((Fun mulGrp ∧ 𝑅 ∈ dom mulGrp) → (mulGrp‘𝑅) ∈ V)
14	13	funfni 5396	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (mulGrp‘𝑅) ∈ V)
15	11, 12, 14	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (mulGrp‘𝑅) ∈ V)
16	5, 15	eqeltrid 2294	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ V)
17		eqid 2207	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
18		eqid 2207	. . . 4 ⊢ (TopSet‘𝑀) = (TopSet‘𝑀)
19	17, 18	topnvalg 13244	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ V → ((TopSet‘𝑀) ↾t (Base‘𝑀)) = (TopOpen‘𝑀))
20	16, 19	syl 14	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((TopSet‘𝑀) ↾t (Base‘𝑀)) = (TopOpen‘𝑀))
21	10, 20	eqtrd 2240	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝐽 = (TopOpen‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  Vcvv 2777   Fn wfn 5286  ‘cfv 5291  (class class class)co 5969  Basecbs 12993  TopSetcts 13076   ↾_t crest 13232  TopOpenctopn 13233  mulGrpcmgp 13843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4176  ax-sep 4179  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499  ax-setind 4604  ax-cnex 8053  ax-resscn 8054  ax-1cn 8055  ax-1re 8056  ax-icn 8057  ax-addcl 8058  ax-addrcl 8059  ax-mulcl 8060  ax-addcom 8062  ax-addass 8064  ax-i2m1 8067  ax-0lt1 8068  ax-0id 8070  ax-rnegex 8071  ax-pre-ltirr 8074  ax-pre-lttrn 8076  ax-pre-ltadd 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2779  df-sbc 3007  df-csb 3103  df-dif 3177  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-nul 3470  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-int 3901  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-id 4359  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-rn 4705  df-res 4706  df-ima 4707  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fn 5294  df-f 5295  df-f1 5296  df-fo 5297  df-f1o 5298  df-fv 5299  df-ov 5972  df-oprab 5973  df-mpo 5974  df-1st 6251  df-2nd 6252  df-pnf 8146  df-mnf 8147  df-ltxr 8149  df-inn 9074  df-2 9132  df-3 9133  df-4 9134  df-5 9135  df-6 9136  df-7 9137  df-8 9138  df-9 9139  df-ndx 12996  df-slot 12997  df-base 12999  df-sets 13000  df-plusg 13083  df-mulr 13084  df-tset 13089  df-rest 13234  df-topn 13235  df-mgp 13844

This theorem is referenced by: (None)