Theorem mgptopng 14073

Description: Topology of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpbas.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgptopn.2	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgptopng	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝐽 = (TopOpen‘𝑀))

Proof of Theorem mgptopng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgptopn.2	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
2		eqid 2232	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2232	. . . . 5 ⊢ (TopSet‘𝑅) = (TopSet‘𝑅)
4	2, 3	topnvalg 13464	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((TopSet‘𝑅) ↾t (Base‘𝑅)) = (TopOpen‘𝑅))
5		mgpbas.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
6	5	mgptsetg 14072	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (TopSet‘𝑅) = (TopSet‘𝑀))
7	5, 2	mgpbasg 14070	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀))
8	6, 7	oveq12d 6068	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((TopSet‘𝑅) ↾t (Base‘𝑅)) = ((TopSet‘𝑀) ↾t (Base‘𝑀)))
9	4, 8	eqtr3d 2267	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (TopOpen‘𝑅) = ((TopSet‘𝑀) ↾t (Base‘𝑀)))
10	1, 9	eqtrid 2277	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝐽 = ((TopSet‘𝑀) ↾t (Base‘𝑀)))
11		fnmgp 14066	. . . . 5 ⊢ mulGrp Fn V
12		elex 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
13		funfvex 5687	. . . . . 6 ⊢ ((Fun mulGrp ∧ 𝑅 ∈ dom mulGrp) → (mulGrp‘𝑅) ∈ V)
14	13	funfni 5458	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (mulGrp‘𝑅) ∈ V)
15	11, 12, 14	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (mulGrp‘𝑅) ∈ V)
16	5, 15	eqeltrid 2319	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ V)
17		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
18		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (TopSet‘𝑀) = (TopSet‘𝑀)
19	17, 18	topnvalg 13464	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ V → ((TopSet‘𝑀) ↾t (Base‘𝑀)) = (TopOpen‘𝑀))
20	16, 19	syl 14	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((TopSet‘𝑀) ↾t (Base‘𝑀)) = (TopOpen‘𝑀))
21	10, 20	eqtrd 2265	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝐽 = (TopOpen‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2813   Fn wfn 5347  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  Basecbs 13212  TopSetcts 13296   ↾_t crest 13452  TopOpenctopn 13453  mulGrpcmgp 14064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-sets 13219  df-plusg 13303  df-mulr 13304  df-tset 13309  df-rest 13454  df-topn 13455  df-mgp 14065

This theorem is referenced by: (None)