Theorem mgptopng 13766

Description: Topology of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpbas.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgptopn.2	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgptopng	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝐽 = (TopOpen‘𝑀))

Proof of Theorem mgptopng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgptopn.2	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
2		eqid 2206	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2206	. . . . 5 ⊢ (TopSet‘𝑅) = (TopSet‘𝑅)
4	2, 3	topnvalg 13158	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((TopSet‘𝑅) ↾t (Base‘𝑅)) = (TopOpen‘𝑅))
5		mgpbas.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
6	5	mgptsetg 13765	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (TopSet‘𝑅) = (TopSet‘𝑀))
7	5, 2	mgpbasg 13763	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀))
8	6, 7	oveq12d 5975	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((TopSet‘𝑅) ↾t (Base‘𝑅)) = ((TopSet‘𝑀) ↾t (Base‘𝑀)))
9	4, 8	eqtr3d 2241	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (TopOpen‘𝑅) = ((TopSet‘𝑀) ↾t (Base‘𝑀)))
10	1, 9	eqtrid 2251	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝐽 = ((TopSet‘𝑀) ↾t (Base‘𝑀)))
11		fnmgp 13759	. . . . 5 ⊢ mulGrp Fn V
12		elex 2785	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
13		funfvex 5606	. . . . . 6 ⊢ ((Fun mulGrp ∧ 𝑅 ∈ dom mulGrp) → (mulGrp‘𝑅) ∈ V)
14	13	funfni 5385	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (mulGrp‘𝑅) ∈ V)
15	11, 12, 14	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (mulGrp‘𝑅) ∈ V)
16	5, 15	eqeltrid 2293	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ V)
17		eqid 2206	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
18		eqid 2206	. . . 4 ⊢ (TopSet‘𝑀) = (TopSet‘𝑀)
19	17, 18	topnvalg 13158	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ V → ((TopSet‘𝑀) ↾t (Base‘𝑀)) = (TopOpen‘𝑀))
20	16, 19	syl 14	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((TopSet‘𝑀) ↾t (Base‘𝑀)) = (TopOpen‘𝑀))
21	10, 20	eqtrd 2239	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝐽 = (TopOpen‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773   Fn wfn 5275  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957  Basecbs 12907  TopSetcts 12990   ↾_t crest 13146  TopOpenctopn 13147  mulGrpcmgp 13757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-ltxr 8132  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-5 9118  df-6 9119  df-7 9120  df-8 9121  df-9 9122  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-sets 12914  df-plusg 12997  df-mulr 12998  df-tset 13003  df-rest 13148  df-topn 13149  df-mgp 13758

This theorem is referenced by: (None)