Theorem mgptopng 13932

Description: Topology of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpbas.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgptopn.2	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgptopng	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝐽 = (TopOpen‘𝑀))

Proof of Theorem mgptopng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgptopn.2	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
2		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (TopSet‘𝑅) = (TopSet‘𝑅)
4	2, 3	topnvalg 13324	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((TopSet‘𝑅) ↾t (Base‘𝑅)) = (TopOpen‘𝑅))
5		mgpbas.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
6	5	mgptsetg 13931	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (TopSet‘𝑅) = (TopSet‘𝑀))
7	5, 2	mgpbasg 13929	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀))
8	6, 7	oveq12d 6031	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((TopSet‘𝑅) ↾t (Base‘𝑅)) = ((TopSet‘𝑀) ↾t (Base‘𝑀)))
9	4, 8	eqtr3d 2264	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (TopOpen‘𝑅) = ((TopSet‘𝑀) ↾t (Base‘𝑀)))
10	1, 9	eqtrid 2274	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝐽 = ((TopSet‘𝑀) ↾t (Base‘𝑀)))
11		fnmgp 13925	. . . . 5 ⊢ mulGrp Fn V
12		elex 2812	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
13		funfvex 5652	. . . . . 6 ⊢ ((Fun mulGrp ∧ 𝑅 ∈ dom mulGrp) → (mulGrp‘𝑅) ∈ V)
14	13	funfni 5429	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (mulGrp‘𝑅) ∈ V)
15	11, 12, 14	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (mulGrp‘𝑅) ∈ V)
16	5, 15	eqeltrid 2316	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ V)
17		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
18		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (TopSet‘𝑀) = (TopSet‘𝑀)
19	17, 18	topnvalg 13324	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ V → ((TopSet‘𝑀) ↾t (Base‘𝑀)) = (TopOpen‘𝑀))
20	16, 19	syl 14	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((TopSet‘𝑀) ↾t (Base‘𝑀)) = (TopOpen‘𝑀))
21	10, 20	eqtrd 2262	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝐽 = (TopOpen‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2800   Fn wfn 5319  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  Basecbs 13072  TopSetcts 13156   ↾_t crest 13312  TopOpenctopn 13313  mulGrpcmgp 13923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-ltxr 8209  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-5 9195  df-6 9196  df-7 9197  df-8 9198  df-9 9199  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-sets 13079  df-plusg 13163  df-mulr 13164  df-tset 13169  df-rest 13314  df-topn 13315  df-mgp 13924

This theorem is referenced by: (None)