Theorem mgptopng 12933

Description: Topology of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpbas.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgptopn.2	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgptopng	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝐽 = (TopOpen‘𝑀))

Proof of Theorem mgptopng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgptopn.2	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑅)
2		eqid 2175	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2175	. . . . 5 ⊢ (TopSet‘𝑅) = (TopSet‘𝑅)
4	2, 3	topnvalg 12621	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((TopSet‘𝑅) ↾t (Base‘𝑅)) = (TopOpen‘𝑅))
5		mgpbas.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
6	5	mgptsetg 12932	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (TopSet‘𝑅) = (TopSet‘𝑀))
7	5, 2	mgpbasg 12930	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀))
8	6, 7	oveq12d 5883	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((TopSet‘𝑅) ↾t (Base‘𝑅)) = ((TopSet‘𝑀) ↾t (Base‘𝑀)))
9	4, 8	eqtr3d 2210	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (TopOpen‘𝑅) = ((TopSet‘𝑀) ↾t (Base‘𝑀)))
10	1, 9	eqtrid 2220	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝐽 = ((TopSet‘𝑀) ↾t (Base‘𝑀)))
11		fnmgp 12927	. . . . 5 ⊢ mulGrp Fn V
12		elex 2746	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
13		funfvex 5524	. . . . . 6 ⊢ ((Fun mulGrp ∧ 𝑅 ∈ dom mulGrp) → (mulGrp‘𝑅) ∈ V)
14	13	funfni 5308	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (mulGrp‘𝑅) ∈ V)
15	11, 12, 14	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (mulGrp‘𝑅) ∈ V)
16	5, 15	eqeltrid 2262	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ V)
17		eqid 2175	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
18		eqid 2175	. . . 4 ⊢ (TopSet‘𝑀) = (TopSet‘𝑀)
19	17, 18	topnvalg 12621	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ V → ((TopSet‘𝑀) ↾t (Base‘𝑀)) = (TopOpen‘𝑀))
20	16, 19	syl 14	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((TopSet‘𝑀) ↾t (Base‘𝑀)) = (TopOpen‘𝑀))
21	10, 20	eqtrd 2208	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝐽 = (TopOpen‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2146  Vcvv 2735   Fn wfn 5203  ‘cfv 5208  (class class class)co 5865  Basecbs 12428  TopSetcts 12498   ↾_t crest 12609  TopOpenctopn 12610  mulGrpcmgp 12925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-ltadd 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-ltxr 7971  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-5 8952  df-6 8953  df-7 8954  df-8 8955  df-9 8956  df-ndx 12431  df-slot 12432  df-base 12434  df-sets 12435  df-plusg 12505  df-mulr 12506  df-tset 12511  df-rest 12611  df-topn 12612  df-mgp 12926

This theorem is referenced by: (None)