ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mptexg GIF version

Theorem mptexg 5460
Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by FL, 6-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
mptexg (𝐴𝑉 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ V)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mptexg
StepHypRef Expression
1 funmpt 5003 . 2 Fun (𝑥𝐴𝐵)
2 eqid 2083 . . . 4 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
32dmmptss 4879 . . 3 dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
4 ssexg 3943 . . 3 ((dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ 𝐴𝐴𝑉) → dom (𝑥𝐴𝐵) ∈ V)
53, 4mpan 415 . 2 (𝐴𝑉 → dom (𝑥𝐴𝐵) ∈ V)
6 funex 5458 . 2 ((Fun (𝑥𝐴𝐵) ∧ dom (𝑥𝐴𝐵) ∈ V) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ V)
71, 5, 6sylancr 405 1 (𝐴𝑉 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1434  Vcvv 2612  wss 2984  cmpt 3865  dom cdm 4399  Fun wfun 4961
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 3999
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4083  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-res 4411  df-ima 4412  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-f1 4972  df-fo 4973  df-f1o 4974  df-fv 4975
This theorem is referenced by:  mptex  5461  offval  5796  abrexexg  5822  xpexgALT  5837  offval3  5838  iunon  5979  updjud  6678  negfi  10482  climmpt  10511
  Copyright terms: Public domain W3C validator