Theorem mulgex 13773

Description: Existence of the group multiple operation. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
mulgex	|- ( G e. V -> (.g ` G ) e. _V )

Proof of Theorem mulgex

Dummy variables n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		eqid 2231	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		eqid 2231	. . 3 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
4		eqid 2231	. . 3 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
5		eqid 2231	. . 3 |- (.g ` G ) = (.g ` G )
6	1, 2, 3, 4, 5	mulgfvalg 13771	. 2 |- ( G e. V -> (.g ` G ) = ( n e. ZZ , x e. ( Base ` G ) |-> if ( n = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) ) ) )
7		zex 9532	. . 3 |- ZZ e. _V
8		basfn 13204	. . . 4 |- Base Fn _V
9		elex 2815	. . . 4 |- ( G e. V -> G e. _V )
10		funfvex 5665	. . . . 5 |- ( ( Fun Base /\ G e. dom Base ) -> ( Base ` G ) e. _V )
11	10	funfni 5439	. . . 4 |- ( ( Base Fn _V /\ G e. _V ) -> ( Base ` G ) e. _V )
12	8, 9, 11	sylancr 414	. . 3 |- ( G e. V -> ( Base ` G ) e. _V )
13		mpoexga 6386	. . 3 |- ( ( ZZ e. _V /\ ( Base ` G ) e. _V ) -> ( n e. ZZ , x e. ( Base ` G ) |-> if ( n = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) ) ) e. _V )
14	7, 12, 13	sylancr 414	. 2 |- ( G e. V -> ( n e. ZZ , x e. ( Base ` G ) |-> if ( n = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) ) ) e. _V )
15	6, 14	eqeltrd 2308	1 |- ( G e. V -> (.g ` G ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   ifcif 3607   {csn 3673   class class class wbr 4093   X. cxp 4729   Fn wfn 5328   ` cfv 5333   e. cmpo 6030   0cc0 8075   1c1 8076   < clt 8256   -ucneg 8393   NNcn 9185   ZZcz 9523   seqcseq 10755   Basecbs 13145   +g cplusg 13223   0gc0g 13402   invgcminusg 13647  ._gcmg 13769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-neg 8395  df-inn 9186  df-z 9524  df-seqfrec 10756  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-mulg 13770

This theorem is referenced by:  zlmval  14706  zlmlemg  14707  zlmsca  14711  zlmvscag  14712