Theorem mulgex 13697

Description: Existence of the group multiple operation. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
mulgex	|- ( G e. V -> (.g ` G ) e. _V )

Proof of Theorem mulgex

Dummy variables n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		eqid 2229	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		eqid 2229	. . 3 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
4		eqid 2229	. . 3 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
5		eqid 2229	. . 3 |- (.g ` G ) = (.g ` G )
6	1, 2, 3, 4, 5	mulgfvalg 13695	. 2 |- ( G e. V -> (.g ` G ) = ( n e. ZZ , x e. ( Base ` G ) |-> if ( n = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) ) ) )
7		zex 9476	. . 3 |- ZZ e. _V
8		basfn 13128	. . . 4 |- Base Fn _V
9		elex 2812	. . . 4 |- ( G e. V -> G e. _V )
10		funfvex 5650	. . . . 5 |- ( ( Fun Base /\ G e. dom Base ) -> ( Base ` G ) e. _V )
11	10	funfni 5427	. . . 4 |- ( ( Base Fn _V /\ G e. _V ) -> ( Base ` G ) e. _V )
12	8, 9, 11	sylancr 414	. . 3 |- ( G e. V -> ( Base ` G ) e. _V )
13		mpoexga 6370	. . 3 |- ( ( ZZ e. _V /\ ( Base ` G ) e. _V ) -> ( n e. ZZ , x e. ( Base ` G ) |-> if ( n = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) ) ) e. _V )
14	7, 12, 13	sylancr 414	. 2 |- ( G e. V -> ( n e. ZZ , x e. ( Base ` G ) |-> if ( n = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) ) ) e. _V )
15	6, 14	eqeltrd 2306	1 |- ( G e. V -> (.g ` G ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2800   ifcif 3603   {csn 3667   class class class wbr 4084   X. cxp 4719   Fn wfn 5317   ` cfv 5322   e. cmpo 6013   0cc0 8020   1c1 8021   < clt 8202   -ucneg 8339   NNcn 9131   ZZcz 9467   seqcseq 10697   Basecbs 13069   +g cplusg 13147   0gc0g 13326   invgcminusg 13571  ._gcmg 13693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4200  ax-sep 4203  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-setind 4631  ax-iinf 4682  ax-cnex 8111  ax-resscn 8112  ax-1re 8114  ax-addrcl 8117

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-int 3925  df-iun 3968  df-br 4085  df-opab 4147  df-mpt 4148  df-tr 4184  df-id 4386  df-iord 4459  df-on 4461  df-iom 4685  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-rn 4732  df-res 4733  df-ima 4734  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fn 5325  df-f 5326  df-f1 5327  df-fo 5328  df-f1o 5329  df-fv 5330  df-ov 6014  df-oprab 6015  df-mpo 6016  df-1st 6296  df-2nd 6297  df-recs 6464  df-frec 6550  df-neg 8341  df-inn 9132  df-z 9468  df-seqfrec 10698  df-ndx 13072  df-slot 13073  df-base 13075  df-mulg 13694

This theorem is referenced by:  zlmval  14628  zlmlemg  14629  zlmsca  14633  zlmvscag  14634