Theorem mulgex 13876

Description: Existence of the group multiple operation. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
mulgex	|- ( G e. V -> (.g ` G ) e. _V )

Proof of Theorem mulgex

Dummy variables n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		eqid 2234	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		eqid 2234	. . 3 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
4		eqid 2234	. . 3 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
5		eqid 2234	. . 3 |- (.g ` G ) = (.g ` G )
6	1, 2, 3, 4, 5	mulgfvalg 13874	. 2 |- ( G e. V -> (.g ` G ) = ( n e. ZZ , x e. ( Base ` G ) |-> if ( n = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) ) ) )
7		zex 9603	. . 3 |- ZZ e. _V
8		basfn 13355	. . . 4 |- Base Fn _V
9		elex 2827	. . . 4 |- ( G e. V -> G e. _V )
10		funfvex 5692	. . . . 5 |- ( ( Fun Base /\ G e. dom Base ) -> ( Base ` G ) e. _V )
11	10	funfni 5463	. . . 4 |- ( ( Base Fn _V /\ G e. _V ) -> ( Base ` G ) e. _V )
12	8, 9, 11	sylancr 414	. . 3 |- ( G e. V -> ( Base ` G ) e. _V )
13		mpoexga 6421	. . 3 |- ( ( ZZ e. _V /\ ( Base ` G ) e. _V ) -> ( n e. ZZ , x e. ( Base ` G ) |-> if ( n = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) ) ) e. _V )
14	7, 12, 13	sylancr 414	. 2 |- ( G e. V -> ( n e. ZZ , x e. ( Base ` G ) |-> if ( n = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) ) ) e. _V )
15	6, 14	eqeltrd 2311	1 |- ( G e. V -> (.g ` G ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   ifcif 3624   {csn 3694   class class class wbr 4114   X. cxp 4752   Fn wfn 5352   ` cfv 5357   e. cmpo 6060   0cc0 8143   1c1 8144   < clt 8324   -ucneg 8461   NNcn 9254   ZZcz 9594   seqcseq 10833   Basecbs 13296   +g cplusg 13374   0gc0g 13553   invgcminusg 13756  ._gcmg 13872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-neg 8463  df-inn 9255  df-z 9595  df-seqfrec 10834  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-mulg 13873

This theorem is referenced by:  zlmval  14901  zlmlemg  14902  zlmsca  14906  zlmvscag  14907