Theorem mulgex 13709

Description: Existence of the group multiple operation. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
mulgex	|- ( G e. V -> (.g ` G ) e. _V )

Proof of Theorem mulgex

Dummy variables n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		eqid 2231	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		eqid 2231	. . 3 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
4		eqid 2231	. . 3 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
5		eqid 2231	. . 3 |- (.g ` G ) = (.g ` G )
6	1, 2, 3, 4, 5	mulgfvalg 13707	. 2 |- ( G e. V -> (.g ` G ) = ( n e. ZZ , x e. ( Base ` G ) |-> if ( n = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) ) ) )
7		zex 9487	. . 3 |- ZZ e. _V
8		basfn 13140	. . . 4 |- Base Fn _V
9		elex 2814	. . . 4 |- ( G e. V -> G e. _V )
10		funfvex 5656	. . . . 5 |- ( ( Fun Base /\ G e. dom Base ) -> ( Base ` G ) e. _V )
11	10	funfni 5432	. . . 4 |- ( ( Base Fn _V /\ G e. _V ) -> ( Base ` G ) e. _V )
12	8, 9, 11	sylancr 414	. . 3 |- ( G e. V -> ( Base ` G ) e. _V )
13		mpoexga 6376	. . 3 |- ( ( ZZ e. _V /\ ( Base ` G ) e. _V ) -> ( n e. ZZ , x e. ( Base ` G ) |-> if ( n = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) ) ) e. _V )
14	7, 12, 13	sylancr 414	. 2 |- ( G e. V -> ( n e. ZZ , x e. ( Base ` G ) |-> if ( n = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) ) ) e. _V )
15	6, 14	eqeltrd 2308	1 |- ( G e. V -> (.g ` G ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   ifcif 3605   {csn 3669   class class class wbr 4088   X. cxp 4723   Fn wfn 5321   ` cfv 5326   e. cmpo 6019   0cc0 8031   1c1 8032   < clt 8213   -ucneg 8350   NNcn 9142   ZZcz 9478   seqcseq 10708   Basecbs 13081   +g cplusg 13159   0gc0g 13338   invgcminusg 13583  ._gcmg 13705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-neg 8352  df-inn 9143  df-z 9479  df-seqfrec 10709  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-mulg 13706

This theorem is referenced by:  zlmval  14640  zlmlemg  14641  zlmsca  14645  zlmvscag  14646