Theorem mulgex 13253

Description: Existence of the group multiple operation. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
mulgex	|- ( G e. V -> (.g ` G ) e. _V )

Proof of Theorem mulgex

Dummy variables n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		eqid 2196	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		eqid 2196	. . 3 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
4		eqid 2196	. . 3 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
5		eqid 2196	. . 3 |- (.g ` G ) = (.g ` G )
6	1, 2, 3, 4, 5	mulgfvalg 13251	. 2 |- ( G e. V -> (.g ` G ) = ( n e. ZZ , x e. ( Base ` G ) |-> if ( n = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) ) ) )
7		zex 9335	. . 3 |- ZZ e. _V
8		basfn 12736	. . . 4 |- Base Fn _V
9		elex 2774	. . . 4 |- ( G e. V -> G e. _V )
10		funfvex 5575	. . . . 5 |- ( ( Fun Base /\ G e. dom Base ) -> ( Base ` G ) e. _V )
11	10	funfni 5358	. . . 4 |- ( ( Base Fn _V /\ G e. _V ) -> ( Base ` G ) e. _V )
12	8, 9, 11	sylancr 414	. . 3 |- ( G e. V -> ( Base ` G ) e. _V )
13		mpoexga 6270	. . 3 |- ( ( ZZ e. _V /\ ( Base ` G ) e. _V ) -> ( n e. ZZ , x e. ( Base ` G ) |-> if ( n = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) ) ) e. _V )
14	7, 12, 13	sylancr 414	. 2 |- ( G e. V -> ( n e. ZZ , x e. ( Base ` G ) |-> if ( n = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) ) ) e. _V )
15	6, 14	eqeltrd 2273	1 |- ( G e. V -> (.g ` G ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   ifcif 3561   {csn 3622   class class class wbr 4033   X. cxp 4661   Fn wfn 5253   ` cfv 5258   e. cmpo 5924   0cc0 7879   1c1 7880   < clt 8061   -ucneg 8198   NNcn 8990   ZZcz 9326   seqcseq 10539   Basecbs 12678   +g cplusg 12755   0gc0g 12927   invgcminusg 13133  ._gcmg 13249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-neg 8200  df-inn 8991  df-z 9327  df-seqfrec 10540  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-mulg 13250

This theorem is referenced by:  zlmval  14183  zlmlemg  14184  zlmsca  14188  zlmvscag  14189