Theorem zlmval 14209

Description: Augment an abelian group with vector space operations to turn it into a ZZ-module. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmval.w	|- W = ( ZMod ` G )
zlmval.m	|- .x. = (.g ` G )

Assertion

Ref	Expression
zlmval	|- ( G e. V -> W = ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , .x. >. ) )

Proof of Theorem zlmval

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmval.w	. 2 |- W = ( ZMod ` G )
2		df-zlm 14197	. . 3 |- ZMod = ( g e. _V |-> ( ( g sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , (.g ` g ) >. ) )
3		oveq1 5930	. . . 4 |- ( g = G -> ( g sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) = ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) )
4		fveq2 5559	. . . . . 6 |- ( g = G -> (.g ` g ) = (.g ` G ) )
5		zlmval.m	. . . . . 6 |- .x. = (.g ` G )
6	4, 5	eqtr4di 2247	. . . . 5 |- ( g = G -> (.g ` g ) = .x. )
7	6	opeq2d 3816	. . . 4 |- ( g = G -> <. ( .s ` ndx ) , (.g ` g ) >. = <. ( .s ` ndx ) , .x. >. )
8	3, 7	oveq12d 5941	. . 3 |- ( g = G -> ( ( g sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , (.g ` g ) >. ) = ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , .x. >. ) )
9		elex 2774	. . 3 |- ( G e. V -> G e. _V )
10		scaslid 12841	. . . . . 6 |- (Scalar = Slot (Scalar ` ndx ) /\ (Scalar ` ndx ) e. NN )
11	10	simpri 113	. . . . 5 |- (Scalar ` ndx ) e. NN
12		zringring 14175	. . . . 5 |- ℤring e. Ring
13		setsex 12721	. . . . 5 |- ( ( G e. V /\ (Scalar ` ndx ) e. NN /\ ℤring e. Ring ) -> ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) e. _V )
14	11, 12, 13	mp3an23 1340	. . . 4 |- ( G e. V -> ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) e. _V )
15		vscaslid 12851	. . . . . 6 |- ( .s = Slot ( .s ` ndx ) /\ ( .s ` ndx ) e. NN )
16	15	simpri 113	. . . . 5 |- ( .s ` ndx ) e. NN
17	16	a1i 9	. . . 4 |- ( G e. V -> ( .s ` ndx ) e. NN )
18		mulgex 13279	. . . . 5 |- ( G e. V -> (.g ` G ) e. _V )
19	5, 18	eqeltrid 2283	. . . 4 |- ( G e. V -> .x. e. _V )
20		setsex 12721	. . . 4 |- ( ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) e. _V /\ ( .s ` ndx ) e. NN /\ .x. e. _V ) -> ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , .x. >. ) e. _V )
21	14, 17, 19, 20	syl3anc 1249	. . 3 |- ( G e. V -> ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , .x. >. ) e. _V )
22	2, 8, 9, 21	fvmptd3 5656	. 2 |- ( G e. V -> ( ZMod ` G ) = ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , .x. >. ) )
23	1, 22	eqtrid 2241	1 |- ( G e. V -> W = ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , .x. >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   <.cop 3626   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   NNcn 8993   ndxcnx 12686   sSet csts 12687  Slot cslot 12688  Scalarcsca 12769   .scvsca 12770  ._gcmg 13275   Ringcrg 13578  ℤ_ringczring 14172   ZModczlm 14194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7973  ax-resscn 7974  ax-1cn 7975  ax-1re 7976  ax-icn 7977  ax-addcl 7978  ax-addrcl 7979  ax-mulcl 7980  ax-mulrcl 7981  ax-addcom 7982  ax-mulcom 7983  ax-addass 7984  ax-mulass 7985  ax-distr 7986  ax-i2m1 7987  ax-0lt1 7988  ax-1rid 7989  ax-0id 7990  ax-rnegex 7991  ax-precex 7992  ax-cnre 7993  ax-pre-ltirr 7994  ax-pre-ltwlin 7995  ax-pre-lttrn 7996  ax-pre-apti 7997  ax-pre-ltadd 7998  ax-pre-mulgt0 7999  ax-addf 8004  ax-mulf 8005

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6200  df-2nd 6201  df-recs 6365  df-frec 6451  df-pnf 8066  df-mnf 8067  df-xr 8068  df-ltxr 8069  df-le 8070  df-sub 8202  df-neg 8203  df-reap 8605  df-inn 8994  df-2 9052  df-3 9053  df-4 9054  df-5 9055  df-6 9056  df-7 9057  df-8 9058  df-9 9059  df-n0 9253  df-z 9330  df-dec 9461  df-uz 9605  df-rp 9732  df-fz 10087  df-seqfrec 10543  df-cj 11010  df-abs 11167  df-struct 12691  df-ndx 12692  df-slot 12693  df-base 12695  df-sets 12696  df-iress 12697  df-plusg 12779  df-mulr 12780  df-starv 12781  df-sca 12782  df-vsca 12783  df-tset 12785  df-ple 12786  df-ds 12788  df-unif 12789  df-0g 12946  df-topgen 12948  df-mgm 13025  df-sgrp 13071  df-mnd 13084  df-grp 13161  df-minusg 13162  df-mulg 13276  df-subg 13326  df-cmn 13442  df-mgp 13503  df-ur 13542  df-ring 13580  df-cring 13581  df-subrg 13801  df-bl 14128  df-mopn 14129  df-fg 14131  df-metu 14132  df-cnfld 14139  df-zring 14173  df-zlm 14197

This theorem is referenced by:  zlmlemg  14210  zlmsca  14214  zlmvscag  14215