Theorem zlmval 13916

Description: Augment an abelian group with vector space operations to turn it into a ZZ-module. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmval.w	|- W = ( ZMod ` G )
zlmval.m	|- .x. = (.g ` G )

Assertion

Ref	Expression
zlmval	|- ( G e. V -> W = ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , .x. >. ) )

Proof of Theorem zlmval

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmval.w	. 2 |- W = ( ZMod ` G )
2		df-zlm 13906	. . 3 |- ZMod = ( g e. _V |-> ( ( g sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , (.g ` g ) >. ) )
3		oveq1 5899	. . . 4 |- ( g = G -> ( g sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) = ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) )
4		fveq2 5531	. . . . . 6 |- ( g = G -> (.g ` g ) = (.g ` G ) )
5		zlmval.m	. . . . . 6 |- .x. = (.g ` G )
6	4, 5	eqtr4di 2240	. . . . 5 |- ( g = G -> (.g ` g ) = .x. )
7	6	opeq2d 3800	. . . 4 |- ( g = G -> <. ( .s ` ndx ) , (.g ` g ) >. = <. ( .s ` ndx ) , .x. >. )
8	3, 7	oveq12d 5910	. . 3 |- ( g = G -> ( ( g sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , (.g ` g ) >. ) = ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , .x. >. ) )
9		elex 2763	. . 3 |- ( G e. V -> G e. _V )
10		scaslid 12657	. . . . . 6 |- (Scalar = Slot (Scalar ` ndx ) /\ (Scalar ` ndx ) e. NN )
11	10	simpri 113	. . . . 5 |- (Scalar ` ndx ) e. NN
12		zringring 13885	. . . . 5 |- ℤring e. Ring
13		setsex 12539	. . . . 5 |- ( ( G e. V /\ (Scalar ` ndx ) e. NN /\ ℤring e. Ring ) -> ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) e. _V )
14	11, 12, 13	mp3an23 1340	. . . 4 |- ( G e. V -> ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) e. _V )
15		vscaslid 12667	. . . . . 6 |- ( .s = Slot ( .s ` ndx ) /\ ( .s ` ndx ) e. NN )
16	15	simpri 113	. . . . 5 |- ( .s ` ndx ) e. NN
17	16	a1i 9	. . . 4 |- ( G e. V -> ( .s ` ndx ) e. NN )
18		mulgex 13058	. . . . 5 |- ( G e. V -> (.g ` G ) e. _V )
19	5, 18	eqeltrid 2276	. . . 4 |- ( G e. V -> .x. e. _V )
20		setsex 12539	. . . 4 |- ( ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) e. _V /\ ( .s ` ndx ) e. NN /\ .x. e. _V ) -> ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , .x. >. ) e. _V )
21	14, 17, 19, 20	syl3anc 1249	. . 3 |- ( G e. V -> ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , .x. >. ) e. _V )
22	2, 8, 9, 21	fvmptd3 5626	. 2 |- ( G e. V -> ( ZMod ` G ) = ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , .x. >. ) )
23	1, 22	eqtrid 2234	1 |- ( G e. V -> W = ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , .x. >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2160   _Vcvv 2752   <.cop 3610   ` cfv 5232  (class class class)co 5892   NNcn 8944   ndxcnx 12504   sSet csts 12505  Slot cslot 12506  Scalarcsca 12585   .scvsca 12586  ._gcmg 13054   Ringcrg 13343  ℤ_ringczring 13882   ZModczlm 13903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1cn 7929  ax-1re 7930  ax-icn 7931  ax-addcl 7932  ax-addrcl 7933  ax-mulcl 7934  ax-mulrcl 7935  ax-addcom 7936  ax-mulcom 7937  ax-addass 7938  ax-mulass 7939  ax-distr 7940  ax-i2m1 7941  ax-0lt1 7942  ax-1rid 7943  ax-0id 7944  ax-rnegex 7945  ax-precex 7946  ax-cnre 7947  ax-pre-ltirr 7948  ax-pre-ltwlin 7949  ax-pre-lttrn 7950  ax-pre-apti 7951  ax-pre-ltadd 7952  ax-pre-mulgt0 7953  ax-addf 7958  ax-mulf 7959

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-tp 3615  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-recs 6325  df-frec 6411  df-pnf 8019  df-mnf 8020  df-xr 8021  df-ltxr 8022  df-le 8023  df-sub 8155  df-neg 8156  df-reap 8557  df-inn 8945  df-2 9003  df-3 9004  df-4 9005  df-5 9006  df-6 9007  df-7 9008  df-8 9009  df-9 9010  df-n0 9202  df-z 9279  df-dec 9410  df-uz 9554  df-fz 10034  df-seqfrec 10472  df-cj 10878  df-struct 12509  df-ndx 12510  df-slot 12511  df-base 12513  df-sets 12514  df-iress 12515  df-plusg 12595  df-mulr 12596  df-starv 12597  df-sca 12598  df-vsca 12599  df-0g 12756  df-mgm 12825  df-sgrp 12858  df-mnd 12871  df-grp 12941  df-minusg 12942  df-mulg 13055  df-subg 13102  df-cmn 13218  df-mgp 13268  df-ur 13307  df-ring 13345  df-cring 13346  df-subrg 13559  df-icnfld 13858  df-zring 13883  df-zlm 13906

This theorem is referenced by:  zlmlemg  13917  zlmsca  13921  zlmvscag  13922