Theorem zlmval 15071

Description: Augment an abelian group with vector space operations to turn it into a ZZ-module. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmval.w	|- W = ( ZMod ` G )
zlmval.m	|- .x. = (.g ` G )

Assertion

Ref	Expression
zlmval	|- ( G e. V -> W = ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , .x. >. ) )

Proof of Theorem zlmval

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmval.w	. 2 |- W = ( ZMod ` G )
2		df-zlm 15059	. . 3 |- ZMod = ( g e. _V |-> ( ( g sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , (.g ` g ) >. ) )
3		oveq1 6095	. . . 4 |- ( g = G -> ( g sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) = ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) )
4		fveq2 5698	. . . . . 6 |- ( g = G -> (.g ` g ) = (.g ` G ) )
5		zlmval.m	. . . . . 6 |- .x. = (.g ` G )
6	4, 5	eqtr4di 2289	. . . . 5 |- ( g = G -> (.g ` g ) = .x. )
7	6	opeq2d 3911	. . . 4 |- ( g = G -> <. ( .s ` ndx ) , (.g ` g ) >. = <. ( .s ` ndx ) , .x. >. )
8	3, 7	oveq12d 6106	. . 3 |- ( g = G -> ( ( g sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , (.g ` g ) >. ) = ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , .x. >. ) )
9		elex 2833	. . 3 |- ( G e. V -> G e. _V )
10		scaslid 13566	. . . . . 6 |- (Scalar = Slot (Scalar ` ndx ) /\ (Scalar ` ndx ) e. NN )
11	10	simpri 113	. . . . 5 |- (Scalar ` ndx ) e. NN
12		zringring 15037	. . . . 5 |- ℤring e. Ring
13		setsex 13442	. . . . 5 |- ( ( G e. V /\ (Scalar ` ndx ) e. NN /\ ℤring e. Ring ) -> ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) e. _V )
14	11, 12, 13	mp3an23 1370	. . . 4 |- ( G e. V -> ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) e. _V )
15		vscaslid 13576	. . . . . 6 |- ( .s = Slot ( .s ` ndx ) /\ ( .s ` ndx ) e. NN )
16	15	simpri 113	. . . . 5 |- ( .s ` ndx ) e. NN
17	16	a1i 9	. . . 4 |- ( G e. V -> ( .s ` ndx ) e. NN )
18		mulgex 13985	. . . . 5 |- ( G e. V -> (.g ` G ) e. _V )
19	5, 18	eqeltrid 2325	. . . 4 |- ( G e. V -> .x. e. _V )
20		setsex 13442	. . . 4 |- ( ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) e. _V /\ ( .s ` ndx ) e. NN /\ .x. e. _V ) -> ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , .x. >. ) e. _V )
21	14, 17, 19, 20	syl3anc 1278	. . 3 |- ( G e. V -> ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , .x. >. ) e. _V )
22	2, 8, 9, 21	fvmptd3 5802	. 2 |- ( G e. V -> ( ZMod ` G ) = ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , .x. >. ) )
23	1, 22	eqtrid 2283	1 |- ( G e. V -> W = ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , .x. >. ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   <.cop 3712   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   NNcn 9313   ndxcnx 13407   sSet csts 13408  Slot cslot 13409  Scalarcsca 13493   .scvsca 13494  ._gcmg 13981   Ringcrg 14407  ℤ_ringczring 15034   ZModczlm 15056

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-addf 8307  ax-mulf 8308

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-dec 9789  df-uz 9938  df-rp 10072  df-fz 10429  df-seqfrec 10906  df-cj 11629  df-abs 11787  df-struct 13412  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-iress 13418  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-starv 13505  df-sca 13506  df-vsca 13507  df-tset 13509  df-ple 13510  df-ds 13512  df-unif 13513  df-0g 13671  df-topgen 13673  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-grp 13867  df-minusg 13868  df-mulg 13982  df-subg 14032  df-cmn 14179  df-mgp 14325  df-ur 14370  df-ring 14409  df-cring 14410  df-subrg 14636  df-bl 14992  df-mopn 14993  df-fg 14995  df-metu 14996  df-cnfld 15003  df-zring 15035  df-zlm 15059

This theorem is used by:  zlmlemg  15072  zlmsca  15076  zlmvscag  15077