Theorem zlmval 14934

Description: Augment an abelian group with vector space operations to turn it into a ZZ-module. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmval.w	|- W = ( ZMod ` G )
zlmval.m	|- .x. = (.g ` G )

Assertion

Ref	Expression
zlmval	|- ( G e. V -> W = ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , .x. >. ) )

Proof of Theorem zlmval

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmval.w	. 2 |- W = ( ZMod ` G )
2		df-zlm 14922	. . 3 |- ZMod = ( g e. _V |-> ( ( g sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , (.g ` g ) >. ) )
3		oveq1 6082	. . . 4 |- ( g = G -> ( g sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) = ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) )
4		fveq2 5690	. . . . . 6 |- ( g = G -> (.g ` g ) = (.g ` G ) )
5		zlmval.m	. . . . . 6 |- .x. = (.g ` G )
6	4, 5	eqtr4di 2289	. . . . 5 |- ( g = G -> (.g ` g ) = .x. )
7	6	opeq2d 3906	. . . 4 |- ( g = G -> <. ( .s ` ndx ) , (.g ` g ) >. = <. ( .s ` ndx ) , .x. >. )
8	3, 7	oveq12d 6093	. . 3 |- ( g = G -> ( ( g sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , (.g ` g ) >. ) = ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , .x. >. ) )
9		elex 2833	. . 3 |- ( G e. V -> G e. _V )
10		scaslid 13484	. . . . . 6 |- (Scalar = Slot (Scalar ` ndx ) /\ (Scalar ` ndx ) e. NN )
11	10	simpri 113	. . . . 5 |- (Scalar ` ndx ) e. NN
12		zringring 14900	. . . . 5 |- ℤring e. Ring
13		setsex 13362	. . . . 5 |- ( ( G e. V /\ (Scalar ` ndx ) e. NN /\ ℤring e. Ring ) -> ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) e. _V )
14	11, 12, 13	mp3an23 1370	. . . 4 |- ( G e. V -> ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) e. _V )
15		vscaslid 13494	. . . . . 6 |- ( .s = Slot ( .s ` ndx ) /\ ( .s ` ndx ) e. NN )
16	15	simpri 113	. . . . 5 |- ( .s ` ndx ) e. NN
17	16	a1i 9	. . . 4 |- ( G e. V -> ( .s ` ndx ) e. NN )
18		mulgex 13903	. . . . 5 |- ( G e. V -> (.g ` G ) e. _V )
19	5, 18	eqeltrid 2325	. . . 4 |- ( G e. V -> .x. e. _V )
20		setsex 13362	. . . 4 |- ( ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) e. _V /\ ( .s ` ndx ) e. NN /\ .x. e. _V ) -> ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , .x. >. ) e. _V )
21	14, 17, 19, 20	syl3anc 1278	. . 3 |- ( G e. V -> ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , .x. >. ) e. _V )
22	2, 8, 9, 21	fvmptd3 5793	. 2 |- ( G e. V -> ( ZMod ` G ) = ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , .x. >. ) )
23	1, 22	eqtrid 2283	1 |- ( G e. V -> W = ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , .x. >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   <.cop 3708   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   NNcn 9283   ndxcnx 13327   sSet csts 13328  Slot cslot 13329  Scalarcsca 13411   .scvsca 13412  ._gcmg 13899   Ringcrg 14274  ℤ_ringczring 14897   ZModczlm 14919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-addf 8291  ax-mulf 8292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-tp 3713  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-n0 9543  df-z 9624  df-dec 9757  df-uz 9901  df-rp 10034  df-fz 10391  df-seqfrec 10863  df-cj 11585  df-abs 11743  df-struct 13332  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-sets 13337  df-iress 13338  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-starv 13423  df-sca 13424  df-vsca 13425  df-tset 13427  df-ple 13428  df-ds 13430  df-unif 13431  df-0g 13589  df-topgen 13591  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-grp 13785  df-minusg 13786  df-mulg 13900  df-subg 13950  df-cmn 14066  df-mgp 14195  df-ur 14238  df-ring 14276  df-cring 14277  df-subrg 14500  df-bl 14855  df-mopn 14856  df-fg 14858  df-metu 14859  df-cnfld 14866  df-zring 14898  df-zlm 14922

This theorem is referenced by:  zlmlemg  14935  zlmsca  14939  zlmvscag  14940