Theorem zlmvscag 13929

Description: Scalar multiplication operation of a ZZ-module. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmbas.w	|- W = ( ZMod ` G )
zlmvsca.2	|- .x. = (.g ` G )

Assertion

Ref	Expression
zlmvscag	|- ( G e. V -> .x. = ( .s ` W ) )

Proof of Theorem zlmvscag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scaslid 12664	. . . . 5 |- (Scalar = Slot (Scalar ` ndx ) /\ (Scalar ` ndx ) e. NN )
2	1	simpri 113	. . . 4 |- (Scalar ` ndx ) e. NN
3		zringring 13892	. . . 4 |- ℤring e. Ring
4		setsex 12544	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ (Scalar ` ndx ) e. NN /\ ℤring e. Ring ) -> ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) e. _V )
5	2, 3, 4	mp3an23 1340	. . 3 |- ( G e. V -> ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) e. _V )
6		zlmvsca.2	. . . 4 |- .x. = (.g ` G )
7		mulgex 13065	. . . 4 |- ( G e. V -> (.g ` G ) e. _V )
8	6, 7	eqeltrid 2276	. . 3 |- ( G e. V -> .x. e. _V )
9		vscaslid 12674	. . . 4 |- ( .s = Slot ( .s ` ndx ) /\ ( .s ` ndx ) e. NN )
10	9	setsslid 12563	. . 3 |- ( ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) e. _V /\ .x. e. _V ) -> .x. = ( .s ` ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , .x. >. ) ) )
11	5, 8, 10	syl2anc 411	. 2 |- ( G e. V -> .x. = ( .s ` ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , .x. >. ) ) )
12		zlmbas.w	. . . 4 |- W = ( ZMod ` G )
13	12, 6	zlmval 13923	. . 3 |- ( G e. V -> W = ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , .x. >. ) )
14	13	fveq2d 5538	. 2 |- ( G e. V -> ( .s ` W ) = ( .s ` ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , .x. >. ) ) )
15	11, 14	eqtr4d 2225	1 |- ( G e. V -> .x. = ( .s ` W ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2160   _Vcvv 2752   <.cop 3610   ` cfv 5235  (class class class)co 5896   NNcn 8949   ndxcnx 12509   sSet csts 12510  Slot cslot 12511  Scalarcsca 12592   .scvsca 12593  ._gcmg 13061   Ringcrg 13350  ℤ_ringczring 13889   ZModczlm 13910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-addf 7963  ax-mulf 7964

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-tp 3615  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-frec 6416  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-5 9011  df-6 9012  df-7 9013  df-8 9014  df-9 9015  df-n0 9207  df-z 9284  df-dec 9415  df-uz 9559  df-fz 10039  df-seqfrec 10477  df-cj 10883  df-struct 12514  df-ndx 12515  df-slot 12516  df-base 12518  df-sets 12519  df-iress 12520  df-plusg 12602  df-mulr 12603  df-starv 12604  df-sca 12605  df-vsca 12606  df-0g 12763  df-mgm 12832  df-sgrp 12865  df-mnd 12878  df-grp 12948  df-minusg 12949  df-mulg 13062  df-subg 13109  df-cmn 13225  df-mgp 13275  df-ur 13314  df-ring 13352  df-cring 13353  df-subrg 13566  df-icnfld 13865  df-zring 13890  df-zlm 13913

This theorem is referenced by: (None)