Theorem zlmvscag 14781

Description: Scalar multiplication operation of a ZZ-module. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmbas.w	|- W = ( ZMod ` G )
zlmvsca.2	|- .x. = (.g ` G )

Assertion

Ref	Expression
zlmvscag	|- ( G e. V -> .x. = ( .s ` W ) )

Proof of Theorem zlmvscag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scaslid 13366	. . . . 5 |- (Scalar = Slot (Scalar ` ndx ) /\ (Scalar ` ndx ) e. NN )
2	1	simpri 113	. . . 4 |- (Scalar ` ndx ) e. NN
3		zringring 14741	. . . 4 |- ℤring e. Ring
4		setsex 13244	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ (Scalar ` ndx ) e. NN /\ ℤring e. Ring ) -> ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) e. _V )
5	2, 3, 4	mp3an23 1366	. . 3 |- ( G e. V -> ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) e. _V )
6		zlmvsca.2	. . . 4 |- .x. = (.g ` G )
7		mulgex 13840	. . . 4 |- ( G e. V -> (.g ` G ) e. _V )
8	6, 7	eqeltrid 2319	. . 3 |- ( G e. V -> .x. e. _V )
9		vscaslid 13376	. . . 4 |- ( .s = Slot ( .s ` ndx ) /\ ( .s ` ndx ) e. NN )
10	9	setsslid 13263	. . 3 |- ( ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) e. _V /\ .x. e. _V ) -> .x. = ( .s ` ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , .x. >. ) ) )
11	5, 8, 10	syl2anc 411	. 2 |- ( G e. V -> .x. = ( .s ` ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , .x. >. ) ) )
12		zlmbas.w	. . . 4 |- W = ( ZMod ` G )
13	12, 6	zlmval 14775	. . 3 |- ( G e. V -> W = ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , .x. >. ) )
14	13	fveq2d 5674	. 2 |- ( G e. V -> ( .s ` W ) = ( .s ` ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , .x. >. ) ) )
15	11, 14	eqtr4d 2268	1 |- ( G e. V -> .x. = ( .s ` W ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   _Vcvv 2813   <.cop 3692   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   NNcn 9237   ndxcnx 13209   sSet csts 13210  Slot cslot 13211  Scalarcsca 13293   .scvsca 13294  ._gcmg 13836   Ringcrg 14140  ℤ_ringczring 14738   ZModczlm 14760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-addf 8249  ax-mulf 8250

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-tp 3697  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-n0 9497  df-z 9578  df-dec 9710  df-uz 9854  df-rp 9987  df-fz 10343  df-seqfrec 10810  df-cj 11527  df-abs 11684  df-struct 13214  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-sets 13219  df-iress 13220  df-plusg 13303  df-mulr 13304  df-starv 13305  df-sca 13306  df-vsca 13307  df-tset 13309  df-ple 13310  df-ds 13312  df-unif 13313  df-0g 13471  df-topgen 13473  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-mnd 13630  df-grp 13716  df-minusg 13717  df-mulg 13837  df-subg 13887  df-cmn 14003  df-mgp 14065  df-ur 14104  df-ring 14142  df-cring 14143  df-subrg 14364  df-bl 14694  df-mopn 14695  df-fg 14697  df-metu 14698  df-cnfld 14705  df-zring 14739  df-zlm 14763

This theorem is referenced by: (None)