Theorem mulgex 13712

Description: Existence of the group multiple operation. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
mulgex	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (.g‘𝐺) ∈ V)

Proof of Theorem mulgex

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2231	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2231	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4		eqid 2231	. . 3 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
5		eqid 2231	. . 3 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
6	1, 2, 3, 4, 5	mulgfvalg 13710	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (.g‘𝐺) = (𝑛 ∈ ℤ, 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ if(𝑛 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑛, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘𝑛), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛))))))
7		zex 9488	. . 3 ⊢ ℤ ∈ V
8		basfn 13143	. . . 4 ⊢ Base Fn V
9		elex 2814	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
10		funfvex 5656	. . . . 5 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝐺 ∈ dom Base) → (Base‘𝐺) ∈ V)
11	10	funfni 5432	. . . 4 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝐺 ∈ V) → (Base‘𝐺) ∈ V)
12	8, 9, 11	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐺) ∈ V)
13		mpoexga 6377	. . 3 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ (Base‘𝐺) ∈ V) → (𝑛 ∈ ℤ, 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ if(𝑛 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑛, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘𝑛), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛))))) ∈ V)
14	7, 12, 13	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝑛 ∈ ℤ, 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ if(𝑛 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑛, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘𝑛), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛))))) ∈ V)
15	6, 14	eqeltrd 2308	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (.g‘𝐺) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802  ifcif 3605  {csn 3669   class class class wbr 4088   × cxp 4723   Fn wfn 5321  ‘cfv 5326   ∈ cmpo 6020  0cc0 8032  1c1 8033   < clt 8214  -cneg 8351  ℕcn 9143  ℤcz 9479  seqcseq 10710  Basecbs 13084  +_gcplusg 13162  0_gc0g 13341  inv_gcminusg 13586  ._gcmg 13708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-neg 8353  df-inn 9144  df-z 9480  df-seqfrec 10711  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-mulg 13709

This theorem is referenced by:  zlmval  14644  zlmlemg  14645  zlmsca  14649  zlmvscag  14650