Theorem mulgex 13829

Description: Existence of the group multiple operation. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
mulgex	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (.g‘𝐺) ∈ V)

Proof of Theorem mulgex

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2232	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2232	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2232	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4		eqid 2232	. . 3 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
5		eqid 2232	. . 3 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
6	1, 2, 3, 4, 5	mulgfvalg 13827	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (.g‘𝐺) = (𝑛 ∈ ℤ, 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ if(𝑛 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑛, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘𝑛), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛))))))
7		zex 9582	. . 3 ⊢ ℤ ∈ V
8		basfn 13260	. . . 4 ⊢ Base Fn V
9		elex 2824	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
10		funfvex 5686	. . . . 5 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝐺 ∈ dom Base) → (Base‘𝐺) ∈ V)
11	10	funfni 5457	. . . 4 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝐺 ∈ V) → (Base‘𝐺) ∈ V)
12	8, 9, 11	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐺) ∈ V)
13		mpoexga 6407	. . 3 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ (Base‘𝐺) ∈ V) → (𝑛 ∈ ℤ, 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ if(𝑛 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑛, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘𝑛), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛))))) ∈ V)
14	7, 12, 13	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝑛 ∈ ℤ, 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ if(𝑛 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑛, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘𝑛), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛))))) ∈ V)
15	6, 14	eqeltrd 2309	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (.g‘𝐺) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2812  ifcif 3619  {csn 3688   class class class wbr 4108   × cxp 4746   Fn wfn 5346  ‘cfv 5351   ∈ cmpo 6051  0cc0 8123  1c1 8124   < clt 8304  -cneg 8441  ℕcn 9233  ℤcz 9573  seqcseq 10805  Basecbs 13201  +_gcplusg 13279  0_gc0g 13458  inv_gcminusg 13703  ._gcmg 13825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1re 8217  ax-addrcl 8220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-neg 8443  df-inn 9234  df-z 9574  df-seqfrec 10806  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-mulg 13826

This theorem is referenced by:  zlmval  14762  zlmlemg  14763  zlmsca  14767  zlmvscag  14768