Theorem mulgex 13928

Description: Existence of the group multiple operation. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
mulgex	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (.g‘𝐺) ∈ V)

Proof of Theorem mulgex

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2238	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2238	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4		eqid 2238	. . 3 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
5		eqid 2238	. . 3 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
6	1, 2, 3, 4, 5	mulgfvalg 13926	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (.g‘𝐺) = (𝑛 ∈ ℤ, 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ if(𝑛 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑛, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘𝑛), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛))))))
7		zex 9655	. . 3 ⊢ ℤ ∈ V
8		basfn 13413	. . . 4 ⊢ Base Fn V
9		elex 2833	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
10		funfvex 5712	. . . . 5 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝐺 ∈ dom Base) → (Base‘𝐺) ∈ V)
11	10	funfni 5483	. . . 4 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝐺 ∈ V) → (Base‘𝐺) ∈ V)
12	8, 9, 11	sylancr 418	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐺) ∈ V)
13		mpoexga 6448	. . 3 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ (Base‘𝐺) ∈ V) → (𝑛 ∈ ℤ, 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ if(𝑛 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑛, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘𝑛), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛))))) ∈ V)
14	7, 12, 13	sylancr 418	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝑛 ∈ ℤ, 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ if(𝑛 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑛, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘𝑛), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛))))) ∈ V)
15	6, 14	eqeltrd 2315	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (.g‘𝐺) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ifcif 3638  {csn 3709   class class class wbr 4130   × cxp 4772   Fn wfn 5372  ‘cfv 5377   ∈ cmpo 6087  0cc0 8179  1c1 8180   < clt 8360  -cneg 8498  ℕcn 9305  ℤcz 9646  seqcseq 10886  Basecbs 13354  +_gcplusg 13433  0_gc0g 13612  inv_gcminusg 13808  ._gcmg 13924

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-neg 8500  df-inn 9306  df-z 9647  df-seqfrec 10887  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-mulg 13925

This theorem is used by:  zlmval  14964  zlmlemg  14965  zlmsca  14969  zlmvscag  14970