Theorem mulgex 13681

Description: Existence of the group multiple operation. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
mulgex	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (.g‘𝐺) ∈ V)

Proof of Theorem mulgex

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2229	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2229	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4		eqid 2229	. . 3 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
5		eqid 2229	. . 3 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
6	1, 2, 3, 4, 5	mulgfvalg 13679	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (.g‘𝐺) = (𝑛 ∈ ℤ, 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ if(𝑛 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑛, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘𝑛), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛))))))
7		zex 9471	. . 3 ⊢ ℤ ∈ V
8		basfn 13112	. . . 4 ⊢ Base Fn V
9		elex 2811	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
10		funfvex 5649	. . . . 5 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝐺 ∈ dom Base) → (Base‘𝐺) ∈ V)
11	10	funfni 5426	. . . 4 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝐺 ∈ V) → (Base‘𝐺) ∈ V)
12	8, 9, 11	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐺) ∈ V)
13		mpoexga 6369	. . 3 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ (Base‘𝐺) ∈ V) → (𝑛 ∈ ℤ, 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ if(𝑛 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑛, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘𝑛), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛))))) ∈ V)
14	7, 12, 13	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝑛 ∈ ℤ, 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ if(𝑛 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑛, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘𝑛), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛))))) ∈ V)
15	6, 14	eqeltrd 2306	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (.g‘𝐺) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799  ifcif 3602  {csn 3666   class class class wbr 4083   × cxp 4718   Fn wfn 5316  ‘cfv 5321   ∈ cmpo 6012  0cc0 8015  1c1 8016   < clt 8197  -cneg 8334  ℕcn 9126  ℤcz 9462  seqcseq 10686  Basecbs 13053  +_gcplusg 13131  0_gc0g 13310  inv_gcminusg 13555  ._gcmg 13677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1re 8109  ax-addrcl 8112

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-iord 4458  df-on 4460  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-neg 8336  df-inn 9127  df-z 9463  df-seqfrec 10687  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-mulg 13678

This theorem is referenced by:  zlmval  14612  zlmlemg  14613  zlmsca  14617  zlmvscag  14618