Theorem zlmlemg 14793

Description: Lemma for zlmbasg 14794 and zlmplusgg 14795. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmbas.w	|- W = ( ZMod ` G )
zlmlem.2	|- E = Slot ( E ` ndx )
zlmlem.nn	|- ( E ` ndx ) e. NN
zlmlem.3	|- ( E ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx )
zlmlem.4	|- ( E ` ndx ) =/= ( .s ` ndx )

Assertion

Ref	Expression
zlmlemg	|- ( G e. V -> ( E ` G ) = ( E ` W ) )

Proof of Theorem zlmlemg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scaslid 13383	. . . . 5 |- (Scalar = Slot (Scalar ` ndx ) /\ (Scalar ` ndx ) e. NN )
2	1	simpri 113	. . . 4 |- (Scalar ` ndx ) e. NN
3		zringring 14758	. . . 4 |- ℤring e. Ring
4		setsex 13261	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ (Scalar ` ndx ) e. NN /\ ℤring e. Ring ) -> ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) e. _V )
5	2, 3, 4	mp3an23 1366	. . 3 |- ( G e. V -> ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) e. _V )
6		mulgex 13857	. . 3 |- ( G e. V -> (.g ` G ) e. _V )
7		zlmlem.2	. . . . 5 |- E = Slot ( E ` ndx )
8		zlmlem.nn	. . . . 5 |- ( E ` ndx ) e. NN
9	7, 8	ndxslid 13254	. . . 4 |- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
10		zlmlem.4	. . . 4 |- ( E ` ndx ) =/= ( .s ` ndx )
11		vscaslid 13393	. . . . 5 |- ( .s = Slot ( .s ` ndx ) /\ ( .s ` ndx ) e. NN )
12	11	simpri 113	. . . 4 |- ( .s ` ndx ) e. NN
13	9, 10, 12	setsslnid 13281	. . 3 |- ( ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) e. _V /\ (.g ` G ) e. _V ) -> ( E ` ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) ) = ( E ` ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , (.g ` G ) >. ) ) )
14	5, 6, 13	syl2anc 411	. 2 |- ( G e. V -> ( E ` ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) ) = ( E ` ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , (.g ` G ) >. ) ) )
15		zlmlem.3	. . . 4 |- ( E ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx )
16	9, 15, 2	setsslnid 13281	. . 3 |- ( ( G e. V /\ ℤring e. Ring ) -> ( E ` G ) = ( E ` ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) ) )
17	3, 16	mpan2 425	. 2 |- ( G e. V -> ( E ` G ) = ( E ` ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) ) )
18		zlmbas.w	. . . 4 |- W = ( ZMod ` G )
19		eqid 2234	. . . 4 |- (.g ` G ) = (.g ` G )
20	18, 19	zlmval 14792	. . 3 |- ( G e. V -> W = ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , (.g ` G ) >. ) )
21	20	fveq2d 5676	. 2 |- ( G e. V -> ( E ` W ) = ( E ` ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , (.g ` G ) >. ) ) )
22	14, 17, 21	3eqtr4d 2277	1 |- ( G e. V -> ( E ` G ) = ( E ` W ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   _Vcvv 2815   <.cop 3694   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   NNcn 9239   ndxcnx 13226   sSet csts 13227  Slot cslot 13228  Scalarcsca 13310   .scvsca 13311  ._gcmg 13853   Ringcrg 14157  ℤ_ringczring 14755   ZModczlm 14777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246  ax-addf 8251  ax-mulf 8252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-tp 3699  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-5 9301  df-6 9302  df-7 9303  df-8 9304  df-9 9305  df-n0 9499  df-z 9580  df-dec 9713  df-uz 9857  df-rp 9990  df-fz 10346  df-seqfrec 10814  df-cj 11531  df-abs 11688  df-struct 13231  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-sets 13236  df-iress 13237  df-plusg 13320  df-mulr 13321  df-starv 13322  df-sca 13323  df-vsca 13324  df-tset 13326  df-ple 13327  df-ds 13329  df-unif 13330  df-0g 13488  df-topgen 13490  df-mgm 13586  df-sgrp 13632  df-mnd 13647  df-grp 13733  df-minusg 13734  df-mulg 13854  df-subg 13904  df-cmn 14020  df-mgp 14082  df-ur 14121  df-ring 14159  df-cring 14160  df-subrg 14381  df-bl 14711  df-mopn 14712  df-fg 14714  df-metu 14715  df-cnfld 14722  df-zring 14756  df-zlm 14780

This theorem is referenced by:  zlmbasg  14794  zlmplusgg  14795  zlmmulrg  14796