Theorem zlmlemg 14963

Description: Lemma for zlmbasg 14964 and zlmplusgg 14965. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmbas.w	|- W = ( ZMod ` G )
zlmlem.2	|- E = Slot ( E ` ndx )
zlmlem.nn	|- ( E ` ndx ) e. NN
zlmlem.3	|- ( E ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx )
zlmlem.4	|- ( E ` ndx ) =/= ( .s ` ndx )

Assertion

Ref	Expression
zlmlemg	|- ( G e. V -> ( E ` G ) = ( E ` W ) )

Proof of Theorem zlmlemg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scaslid 13507	. . . . 5 |- (Scalar = Slot (Scalar ` ndx ) /\ (Scalar ` ndx ) e. NN )
2	1	simpri 113	. . . 4 |- (Scalar ` ndx ) e. NN
3		zringring 14928	. . . 4 |- ℤring e. Ring
4		setsex 13384	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ (Scalar ` ndx ) e. NN /\ ℤring e. Ring ) -> ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) e. _V )
5	2, 3, 4	mp3an23 1370	. . 3 |- ( G e. V -> ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) e. _V )
6		mulgex 13926	. . 3 |- ( G e. V -> (.g ` G ) e. _V )
7		zlmlem.2	. . . . 5 |- E = Slot ( E ` ndx )
8		zlmlem.nn	. . . . 5 |- ( E ` ndx ) e. NN
9	7, 8	ndxslid 13377	. . . 4 |- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
10		zlmlem.4	. . . 4 |- ( E ` ndx ) =/= ( .s ` ndx )
11		vscaslid 13517	. . . . 5 |- ( .s = Slot ( .s ` ndx ) /\ ( .s ` ndx ) e. NN )
12	11	simpri 113	. . . 4 |- ( .s ` ndx ) e. NN
13	9, 10, 12	setsslnid 13404	. . 3 |- ( ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) e. _V /\ (.g ` G ) e. _V ) -> ( E ` ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) ) = ( E ` ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , (.g ` G ) >. ) ) )
14	5, 6, 13	syl2anc 415	. 2 |- ( G e. V -> ( E ` ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) ) = ( E ` ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , (.g ` G ) >. ) ) )
15		zlmlem.3	. . . 4 |- ( E ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx )
16	9, 15, 2	setsslnid 13404	. . 3 |- ( ( G e. V /\ ℤring e. Ring ) -> ( E ` G ) = ( E ` ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) ) )
17	3, 16	mpan2 429	. 2 |- ( G e. V -> ( E ` G ) = ( E ` ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) ) )
18		zlmbas.w	. . . 4 |- W = ( ZMod ` G )
19		eqid 2238	. . . 4 |- (.g ` G ) = (.g ` G )
20	18, 19	zlmval 14962	. . 3 |- ( G e. V -> W = ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , (.g ` G ) >. ) )
21	20	fveq2d 5699	. 2 |- ( G e. V -> ( E ` W ) = ( E ` ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , (.g ` G ) >. ) ) )
22	14, 17, 21	3eqtr4d 2281	1 |- ( G e. V -> ( E ` G ) = ( E ` W ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   _Vcvv 2821   <.cop 3712   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   NNcn 9304   ndxcnx 13349   sSet csts 13350  Slot cslot 13351  Scalarcsca 13434   .scvsca 13435  ._gcmg 13922   Ringcrg 14300  ℤ_ringczring 14925   ZModczlm 14947

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-addf 8301  ax-mulf 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370  df-n0 9564  df-z 9645  df-dec 9778  df-uz 9922  df-rp 10055  df-fz 10412  df-seqfrec 10885  df-cj 11607  df-abs 11765  df-struct 13354  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-sets 13359  df-iress 13360  df-plusg 13444  df-mulr 13445  df-starv 13446  df-sca 13447  df-vsca 13448  df-tset 13450  df-ple 13451  df-ds 13453  df-unif 13454  df-0g 13612  df-topgen 13614  df-mgm 13676  df-sgrp 13717  df-mnd 13730  df-grp 13808  df-minusg 13809  df-mulg 13923  df-subg 13973  df-cmn 14089  df-mgp 14218  df-ur 14263  df-ring 14302  df-cring 14303  df-subrg 14527  df-bl 14883  df-mopn 14884  df-fg 14886  df-metu 14887  df-cnfld 14894  df-zring 14926  df-zlm 14950

This theorem is used by:  zlmbasg  14964  zlmplusgg  14965  zlmmulrg  14966