Theorem zlmlemg 14460

Description: Lemma for zlmbasg 14461 and zlmplusgg 14462. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmbas.w	|- W = ( ZMod ` G )
zlmlem.2	|- E = Slot ( E ` ndx )
zlmlem.nn	|- ( E ` ndx ) e. NN
zlmlem.3	|- ( E ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx )
zlmlem.4	|- ( E ` ndx ) =/= ( .s ` ndx )

Assertion

Ref	Expression
zlmlemg	|- ( G e. V -> ( E ` G ) = ( E ` W ) )

Proof of Theorem zlmlemg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scaslid 13055	. . . . 5 |- (Scalar = Slot (Scalar ` ndx ) /\ (Scalar ` ndx ) e. NN )
2	1	simpri 113	. . . 4 |- (Scalar ` ndx ) e. NN
3		zringring 14425	. . . 4 |- ℤring e. Ring
4		setsex 12934	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ (Scalar ` ndx ) e. NN /\ ℤring e. Ring ) -> ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) e. _V )
5	2, 3, 4	mp3an23 1342	. . 3 |- ( G e. V -> ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) e. _V )
6		mulgex 13529	. . 3 |- ( G e. V -> (.g ` G ) e. _V )
7		zlmlem.2	. . . . 5 |- E = Slot ( E ` ndx )
8		zlmlem.nn	. . . . 5 |- ( E ` ndx ) e. NN
9	7, 8	ndxslid 12927	. . . 4 |- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
10		zlmlem.4	. . . 4 |- ( E ` ndx ) =/= ( .s ` ndx )
11		vscaslid 13065	. . . . 5 |- ( .s = Slot ( .s ` ndx ) /\ ( .s ` ndx ) e. NN )
12	11	simpri 113	. . . 4 |- ( .s ` ndx ) e. NN
13	9, 10, 12	setsslnid 12954	. . 3 |- ( ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) e. _V /\ (.g ` G ) e. _V ) -> ( E ` ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) ) = ( E ` ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , (.g ` G ) >. ) ) )
14	5, 6, 13	syl2anc 411	. 2 |- ( G e. V -> ( E ` ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) ) = ( E ` ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , (.g ` G ) >. ) ) )
15		zlmlem.3	. . . 4 |- ( E ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx )
16	9, 15, 2	setsslnid 12954	. . 3 |- ( ( G e. V /\ ℤring e. Ring ) -> ( E ` G ) = ( E ` ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) ) )
17	3, 16	mpan2 425	. 2 |- ( G e. V -> ( E ` G ) = ( E ` ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) ) )
18		zlmbas.w	. . . 4 |- W = ( ZMod ` G )
19		eqid 2206	. . . 4 |- (.g ` G ) = (.g ` G )
20	18, 19	zlmval 14459	. . 3 |- ( G e. V -> W = ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , (.g ` G ) >. ) )
21	20	fveq2d 5592	. 2 |- ( G e. V -> ( E ` W ) = ( E ` ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , (.g ` G ) >. ) ) )
22	14, 17, 21	3eqtr4d 2249	1 |- ( G e. V -> ( E ` G ) = ( E ` W ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2177   =/= wne 2377   _Vcvv 2773   <.cop 3640   ` cfv 5279  (class class class)co 5956   NNcn 9051   ndxcnx 12899   sSet csts 12900  Slot cslot 12901  Scalarcsca 12982   .scvsca 12983  ._gcmg 13525   Ringcrg 13828  ℤ_ringczring 14422   ZModczlm 14444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4166  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-iinf 4643  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-mulrcl 8039  ax-addcom 8040  ax-mulcom 8041  ax-addass 8042  ax-mulass 8043  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-1rid 8047  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-precex 8050  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-apti 8055  ax-pre-ltadd 8056  ax-pre-mulgt0 8057  ax-addf 8062  ax-mulf 8063

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-tp 3645  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-iun 3934  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-tr 4150  df-id 4347  df-iord 4420  df-on 4422  df-iom 4646  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-1st 6238  df-2nd 6239  df-recs 6403  df-frec 6489  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-sub 8260  df-neg 8261  df-reap 8663  df-inn 9052  df-2 9110  df-3 9111  df-4 9112  df-5 9113  df-6 9114  df-7 9115  df-8 9116  df-9 9117  df-n0 9311  df-z 9388  df-dec 9520  df-uz 9664  df-rp 9791  df-fz 10146  df-seqfrec 10610  df-cj 11223  df-abs 11380  df-struct 12904  df-ndx 12905  df-slot 12906  df-base 12908  df-sets 12909  df-iress 12910  df-plusg 12992  df-mulr 12993  df-starv 12994  df-sca 12995  df-vsca 12996  df-tset 12998  df-ple 12999  df-ds 13001  df-unif 13002  df-0g 13160  df-topgen 13162  df-mgm 13258  df-sgrp 13304  df-mnd 13319  df-grp 13405  df-minusg 13406  df-mulg 13526  df-subg 13576  df-cmn 13692  df-mgp 13753  df-ur 13792  df-ring 13830  df-cring 13831  df-subrg 14051  df-bl 14378  df-mopn 14379  df-fg 14381  df-metu 14382  df-cnfld 14389  df-zring 14423  df-zlm 14447

This theorem is referenced by:  zlmbasg  14461  zlmplusgg  14462  zlmmulrg  14463