Theorem zlmlemg 14260

Description: Lemma for zlmbasg 14261 and zlmplusgg 14262. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmbas.w	|- W = ( ZMod ` G )
zlmlem.2	|- E = Slot ( E ` ndx )
zlmlem.nn	|- ( E ` ndx ) e. NN
zlmlem.3	|- ( E ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx )
zlmlem.4	|- ( E ` ndx ) =/= ( .s ` ndx )

Assertion

Ref	Expression
zlmlemg	|- ( G e. V -> ( E ` G ) = ( E ` W ) )

Proof of Theorem zlmlemg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scaslid 12855	. . . . 5 |- (Scalar = Slot (Scalar ` ndx ) /\ (Scalar ` ndx ) e. NN )
2	1	simpri 113	. . . 4 |- (Scalar ` ndx ) e. NN
3		zringring 14225	. . . 4 |- ℤring e. Ring
4		setsex 12735	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ (Scalar ` ndx ) e. NN /\ ℤring e. Ring ) -> ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) e. _V )
5	2, 3, 4	mp3an23 1340	. . 3 |- ( G e. V -> ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) e. _V )
6		mulgex 13329	. . 3 |- ( G e. V -> (.g ` G ) e. _V )
7		zlmlem.2	. . . . 5 |- E = Slot ( E ` ndx )
8		zlmlem.nn	. . . . 5 |- ( E ` ndx ) e. NN
9	7, 8	ndxslid 12728	. . . 4 |- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
10		zlmlem.4	. . . 4 |- ( E ` ndx ) =/= ( .s ` ndx )
11		vscaslid 12865	. . . . 5 |- ( .s = Slot ( .s ` ndx ) /\ ( .s ` ndx ) e. NN )
12	11	simpri 113	. . . 4 |- ( .s ` ndx ) e. NN
13	9, 10, 12	setsslnid 12755	. . 3 |- ( ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) e. _V /\ (.g ` G ) e. _V ) -> ( E ` ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) ) = ( E ` ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , (.g ` G ) >. ) ) )
14	5, 6, 13	syl2anc 411	. 2 |- ( G e. V -> ( E ` ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) ) = ( E ` ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , (.g ` G ) >. ) ) )
15		zlmlem.3	. . . 4 |- ( E ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx )
16	9, 15, 2	setsslnid 12755	. . 3 |- ( ( G e. V /\ ℤring e. Ring ) -> ( E ` G ) = ( E ` ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) ) )
17	3, 16	mpan2 425	. 2 |- ( G e. V -> ( E ` G ) = ( E ` ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) ) )
18		zlmbas.w	. . . 4 |- W = ( ZMod ` G )
19		eqid 2196	. . . 4 |- (.g ` G ) = (.g ` G )
20	18, 19	zlmval 14259	. . 3 |- ( G e. V -> W = ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , (.g ` G ) >. ) )
21	20	fveq2d 5565	. 2 |- ( G e. V -> ( E ` W ) = ( E ` ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , (.g ` G ) >. ) ) )
22	14, 17, 21	3eqtr4d 2239	1 |- ( G e. V -> ( E ` G ) = ( E ` W ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   _Vcvv 2763   <.cop 3626   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   NNcn 9007   ndxcnx 12700   sSet csts 12701  Slot cslot 12702  Scalarcsca 12783   .scvsca 12784  ._gcmg 13325   Ringcrg 13628  ℤ_ringczring 14222   ZModczlm 14244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-addf 8018  ax-mulf 8019

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-7 9071  df-8 9072  df-9 9073  df-n0 9267  df-z 9344  df-dec 9475  df-uz 9619  df-rp 9746  df-fz 10101  df-seqfrec 10557  df-cj 11024  df-abs 11181  df-struct 12705  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-sets 12710  df-iress 12711  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-starv 12795  df-sca 12796  df-vsca 12797  df-tset 12799  df-ple 12800  df-ds 12802  df-unif 12803  df-0g 12960  df-topgen 12962  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-grp 13205  df-minusg 13206  df-mulg 13326  df-subg 13376  df-cmn 13492  df-mgp 13553  df-ur 13592  df-ring 13630  df-cring 13631  df-subrg 13851  df-bl 14178  df-mopn 14179  df-fg 14181  df-metu 14182  df-cnfld 14189  df-zring 14223  df-zlm 14247

This theorem is referenced by:  zlmbasg  14261  zlmplusgg  14262  zlmmulrg  14263