Theorem zlmsca 14942

Description: Scalar ring of a ZZ-module. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 2-Nov-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
zlmbas.w	|- W = ( ZMod ` G )

Assertion

Ref	Expression
zlmsca	|- ( G e. V -> ℤring = (Scalar ` W ) )

Proof of Theorem zlmsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scaslid 13487	. . . . 5 |- (Scalar = Slot (Scalar ` ndx ) /\ (Scalar ` ndx ) e. NN )
2	1	simpri 113	. . . 4 |- (Scalar ` ndx ) e. NN
3		zringring 14903	. . . 4 |- ℤring e. Ring
4		setsex 13365	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ (Scalar ` ndx ) e. NN /\ ℤring e. Ring ) -> ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) e. _V )
5	2, 3, 4	mp3an23 1370	. . 3 |- ( G e. V -> ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) e. _V )
6		mulgex 13906	. . 3 |- ( G e. V -> (.g ` G ) e. _V )
7		vscandxnscandx 13496	. . . . 5 |- ( .s ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx )
8	7	necomi 2505	. . . 4 |- (Scalar ` ndx ) =/= ( .s ` ndx )
9		vscaslid 13497	. . . . 5 |- ( .s = Slot ( .s ` ndx ) /\ ( .s ` ndx ) e. NN )
10	9	simpri 113	. . . 4 |- ( .s ` ndx ) e. NN
11	1, 8, 10	setsslnid 13385	. . 3 |- ( ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) e. _V /\ (.g ` G ) e. _V ) -> (Scalar ` ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) ) = (Scalar ` ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , (.g ` G ) >. ) ) )
12	5, 6, 11	syl2anc 415	. 2 |- ( G e. V -> (Scalar ` ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) ) = (Scalar ` ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , (.g ` G ) >. ) ) )
13	1	setsslid 13384	. . 3 |- ( ( G e. V /\ ℤring e. Ring ) -> ℤring = (Scalar ` ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) ) )
14	3, 13	mpan2 429	. 2 |- ( G e. V -> ℤring = (Scalar ` ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) ) )
15		zlmbas.w	. . . 4 |- W = ( ZMod ` G )
16		eqid 2238	. . . 4 |- (.g ` G ) = (.g ` G )
17	15, 16	zlmval 14937	. . 3 |- ( G e. V -> W = ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , (.g ` G ) >. ) )
18	17	fveq2d 5697	. 2 |- ( G e. V -> (Scalar ` W ) = (Scalar ` ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , (.g ` G ) >. ) ) )
19	12, 14, 18	3eqtr4d 2281	1 |- ( G e. V -> ℤring = (Scalar ` W ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   <.cop 3711   ` cfv 5375  (class class class)co 6078   NNcn 9286   ndxcnx 13330   sSet csts 13331  Slot cslot 13332  Scalarcsca 13414   .scvsca 13415  ._gcmg 13902   Ringcrg 14277  ℤ_ringczring 14900   ZModczlm 14922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-mulrcl 8271  ax-addcom 8272  ax-mulcom 8273  ax-addass 8274  ax-mulass 8275  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-1rid 8279  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-precex 8282  ax-cnre 8283  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltwlin 8285  ax-pre-lttrn 8286  ax-pre-apti 8287  ax-pre-ltadd 8288  ax-pre-mulgt0 8289  ax-addf 8294  ax-mulf 8295

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-tp 3716  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-1st 6367  df-2nd 6368  df-recs 6569  df-frec 6655  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-ltxr 8358  df-le 8359  df-sub 8492  df-neg 8493  df-reap 8896  df-inn 9287  df-2 9345  df-3 9346  df-4 9347  df-5 9348  df-6 9349  df-7 9350  df-8 9351  df-9 9352  df-n0 9546  df-z 9627  df-dec 9760  df-uz 9904  df-rp 10037  df-fz 10394  df-seqfrec 10866  df-cj 11588  df-abs 11746  df-struct 13335  df-ndx 13336  df-slot 13337  df-base 13339  df-sets 13340  df-iress 13341  df-plusg 13424  df-mulr 13425  df-starv 13426  df-sca 13427  df-vsca 13428  df-tset 13430  df-ple 13431  df-ds 13433  df-unif 13434  df-0g 13592  df-topgen 13594  df-mgm 13656  df-sgrp 13697  df-mnd 13710  df-grp 13788  df-minusg 13789  df-mulg 13903  df-subg 13953  df-cmn 14069  df-mgp 14198  df-ur 14241  df-ring 14279  df-cring 14280  df-subrg 14503  df-bl 14858  df-mopn 14859  df-fg 14861  df-metu 14862  df-cnfld 14869  df-zring 14901  df-zlm 14925

This theorem is referenced by: (None)