Theorem zlmsca 14728

Description: Scalar ring of a ZZ-module. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 2-Nov-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
zlmbas.w	|- W = ( ZMod ` G )

Assertion

Ref	Expression
zlmsca	|- ( G e. V -> ℤring = (Scalar ` W ) )

Proof of Theorem zlmsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scaslid 13316	. . . . 5 |- (Scalar = Slot (Scalar ` ndx ) /\ (Scalar ` ndx ) e. NN )
2	1	simpri 113	. . . 4 |- (Scalar ` ndx ) e. NN
3		zringring 14689	. . . 4 |- ℤring e. Ring
4		setsex 13194	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ (Scalar ` ndx ) e. NN /\ ℤring e. Ring ) -> ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) e. _V )
5	2, 3, 4	mp3an23 1366	. . 3 |- ( G e. V -> ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) e. _V )
6		mulgex 13790	. . 3 |- ( G e. V -> (.g ` G ) e. _V )
7		vscandxnscandx 13325	. . . . 5 |- ( .s ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx )
8	7	necomi 2488	. . . 4 |- (Scalar ` ndx ) =/= ( .s ` ndx )
9		vscaslid 13326	. . . . 5 |- ( .s = Slot ( .s ` ndx ) /\ ( .s ` ndx ) e. NN )
10	9	simpri 113	. . . 4 |- ( .s ` ndx ) e. NN
11	1, 8, 10	setsslnid 13214	. . 3 |- ( ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) e. _V /\ (.g ` G ) e. _V ) -> (Scalar ` ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) ) = (Scalar ` ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , (.g ` G ) >. ) ) )
12	5, 6, 11	syl2anc 411	. 2 |- ( G e. V -> (Scalar ` ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) ) = (Scalar ` ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , (.g ` G ) >. ) ) )
13	1	setsslid 13213	. . 3 |- ( ( G e. V /\ ℤring e. Ring ) -> ℤring = (Scalar ` ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) ) )
14	3, 13	mpan2 425	. 2 |- ( G e. V -> ℤring = (Scalar ` ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) ) )
15		zlmbas.w	. . . 4 |- W = ( ZMod ` G )
16		eqid 2231	. . . 4 |- (.g ` G ) = (.g ` G )
17	15, 16	zlmval 14723	. . 3 |- ( G e. V -> W = ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , (.g ` G ) >. ) )
18	17	fveq2d 5652	. 2 |- ( G e. V -> (Scalar ` W ) = (Scalar ` ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , (.g ` G ) >. ) ) )
19	12, 14, 18	3eqtr4d 2274	1 |- ( G e. V -> ℤring = (Scalar ` W ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   <.cop 3676   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   NNcn 9202   ndxcnx 13159   sSet csts 13160  Slot cslot 13161  Scalarcsca 13243   .scvsca 13244  ._gcmg 13786   Ringcrg 14090  ℤ_ringczring 14686   ZModczlm 14708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-addf 8214  ax-mulf 8215

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-5 9264  df-6 9265  df-7 9266  df-8 9267  df-9 9268  df-n0 9462  df-z 9541  df-dec 9673  df-uz 9817  df-rp 9950  df-fz 10306  df-seqfrec 10773  df-cj 11482  df-abs 11639  df-struct 13164  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-sets 13169  df-iress 13170  df-plusg 13253  df-mulr 13254  df-starv 13255  df-sca 13256  df-vsca 13257  df-tset 13259  df-ple 13260  df-ds 13262  df-unif 13263  df-0g 13421  df-topgen 13423  df-mgm 13519  df-sgrp 13565  df-mnd 13580  df-grp 13666  df-minusg 13667  df-mulg 13787  df-subg 13837  df-cmn 13953  df-mgp 14015  df-ur 14054  df-ring 14092  df-cring 14093  df-subrg 14314  df-bl 14642  df-mopn 14643  df-fg 14645  df-metu 14646  df-cnfld 14653  df-zring 14687  df-zlm 14711

This theorem is referenced by: (None)