Theorem zlmsca 13925

Description: Scalar ring of a ZZ-module. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 2-Nov-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
zlmbas.w	|- W = ( ZMod ` G )

Assertion

Ref	Expression
zlmsca	|- ( G e. V -> ℤring = (Scalar ` W ) )

Proof of Theorem zlmsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scaslid 12661	. . . . 5 |- (Scalar = Slot (Scalar ` ndx ) /\ (Scalar ` ndx ) e. NN )
2	1	simpri 113	. . . 4 |- (Scalar ` ndx ) e. NN
3		zringring 13889	. . . 4 |- ℤring e. Ring
4		setsex 12543	. . . 4 |- ( ( G e. V /\ (Scalar ` ndx ) e. NN /\ ℤring e. Ring ) -> ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) e. _V )
5	2, 3, 4	mp3an23 1340	. . 3 |- ( G e. V -> ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) e. _V )
6		mulgex 13062	. . 3 |- ( G e. V -> (.g ` G ) e. _V )
7		vscandxnscandx 12670	. . . . 5 |- ( .s ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx )
8	7	necomi 2445	. . . 4 |- (Scalar ` ndx ) =/= ( .s ` ndx )
9		vscaslid 12671	. . . . 5 |- ( .s = Slot ( .s ` ndx ) /\ ( .s ` ndx ) e. NN )
10	9	simpri 113	. . . 4 |- ( .s ` ndx ) e. NN
11	1, 8, 10	setsslnid 12563	. . 3 |- ( ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) e. _V /\ (.g ` G ) e. _V ) -> (Scalar ` ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) ) = (Scalar ` ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , (.g ` G ) >. ) ) )
12	5, 6, 11	syl2anc 411	. 2 |- ( G e. V -> (Scalar ` ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) ) = (Scalar ` ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , (.g ` G ) >. ) ) )
13	1	setsslid 12562	. . 3 |- ( ( G e. V /\ ℤring e. Ring ) -> ℤring = (Scalar ` ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) ) )
14	3, 13	mpan2 425	. 2 |- ( G e. V -> ℤring = (Scalar ` ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) ) )
15		zlmbas.w	. . . 4 |- W = ( ZMod ` G )
16		eqid 2189	. . . 4 |- (.g ` G ) = (.g ` G )
17	15, 16	zlmval 13920	. . 3 |- ( G e. V -> W = ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , (.g ` G ) >. ) )
18	17	fveq2d 5538	. 2 |- ( G e. V -> (Scalar ` W ) = (Scalar ` ( ( G sSet <. (Scalar ` ndx ) , ℤring >. ) sSet <. ( .s ` ndx ) , (.g ` G ) >. ) ) )
19	12, 14, 18	3eqtr4d 2232	1 |- ( G e. V -> ℤring = (Scalar ` W ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2160   _Vcvv 2752   <.cop 3610   ` cfv 5235  (class class class)co 5895   NNcn 8948   ndxcnx 12508   sSet csts 12509  Slot cslot 12510  Scalarcsca 12589   .scvsca 12590  ._gcmg 13058   Ringcrg 13347  ℤ_ringczring 13886   ZModczlm 13907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-mulrcl 7939  ax-addcom 7940  ax-mulcom 7941  ax-addass 7942  ax-mulass 7943  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-1rid 7947  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-precex 7950  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-apti 7955  ax-pre-ltadd 7956  ax-pre-mulgt0 7957  ax-addf 7962  ax-mulf 7963

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-tp 3615  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-recs 6329  df-frec 6415  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160  df-reap 8561  df-inn 8949  df-2 9007  df-3 9008  df-4 9009  df-5 9010  df-6 9011  df-7 9012  df-8 9013  df-9 9014  df-n0 9206  df-z 9283  df-dec 9414  df-uz 9558  df-fz 10038  df-seqfrec 10476  df-cj 10882  df-struct 12513  df-ndx 12514  df-slot 12515  df-base 12517  df-sets 12518  df-iress 12519  df-plusg 12599  df-mulr 12600  df-starv 12601  df-sca 12602  df-vsca 12603  df-0g 12760  df-mgm 12829  df-sgrp 12862  df-mnd 12875  df-grp 12945  df-minusg 12946  df-mulg 13059  df-subg 13106  df-cmn 13222  df-mgp 13272  df-ur 13311  df-ring 13349  df-cring 13350  df-subrg 13563  df-icnfld 13862  df-zring 13887  df-zlm 13910

This theorem is referenced by: (None)