Theorem mvridfi 15213

Description: The X i-th coefficient of the term X i is 1. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvridfi.v	|- V = ( I mVar R )
mvridfi.d	|- D = { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin }
mvridfi.z	|- .0. = ( 0g ` R )
mvridfi.o	|- .1. = ( 1r ` R )
mvridfi.i	|- ( ph -> I e. Fin )
mvridfi.r	|- ( ph -> R e. Y )
mvridfi.x	|- ( ph -> X e. I )

Assertion

Ref	Expression
mvridfi	|- ( ph -> ( ( V ` X ) ` ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = .1. )

Distinct variable groups:   y, D   h, I, y   h, X, y

Allowed substitution hints:   ph( y, h)   D( h)   R( y, h)   .1. ( y, h)   V( y, h)   Y( y, h)   .0. ( y, h)

Proof of Theorem mvridfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvridfi.v	. . 3 |- V = ( I mVar R )
2		mvridfi.d	. . 3 |- D = { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin }
3		mvridfi.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` R )
4		mvridfi.o	. . 3 |- .1. = ( 1r ` R )
5		mvridfi.i	. . 3 |- ( ph -> I e. Fin )
6		mvridfi.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Y )
7		mvridfi.x	. . 3 |- ( ph -> X e. I )
8		1nn0 9591	. . . . 5 |- 1 e. NN0
9	8	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. NN0 )
10	2	snifpsrbagfi 15170	. . . 4 |- ( ( I e. Fin /\ 1 e. NN0 /\ X e. I ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. D )
11	5, 9, 7, 10	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ph -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. D )
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11	mvrval2 15212	. 2 |- ( ph -> ( ( V ` X ) ` ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = if ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) , .1. , .0. ) )
13		eqid 2238	. . 3 |- ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) )
14	13	iftruei 3646	. 2 |- if ( ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) = ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) , .1. , .0. ) = .1.
15	12, 14	eqtrdi 2287	1 |- ( ph -> ( ( V ` X ) ` ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) = .1. )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   ifcif 3638   |-> cmpt 4193   `'ccnv 4775   "cima 4779   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   ^m cmap 6926   Fincfn 7027   0cc0 8186   1c1 8187   NNcn 9314   NN0cn0 9575   0gc0g 13670   1rcur 14370   mVar cmvr 15156

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-1o 6691  df-er 6811  df-map 6928  df-en 7028  df-fin 7030  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-sets 13418  df-plusg 13504  df-mulr 13505  df-0g 13672  df-mgp 14326  df-ur 14371  df-mvr 15159

This theorem is used by:  mvrf1fi  15215