ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nelfzo Unicode version
Theorem nelfzo 10365
Description: An integer not being a member of a half-open finite set of integers. (Contributed by AV, 29-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
nelfzo |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e/ ( M..^ N ) <-> ( K < M \/ N <_ K ) ) )
Proof of Theorem nelfzo
StepHypRef Expression
1 df-nel 2496 . 2 |- ( K e/ ( M..^ N ) <-> -. K e. ( M..^ N ) )
2 simp2 1022 . . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. ZZ )
3 simp1 1021 . . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> K e. ZZ )
4 zdcle 9539 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> DECID M <_ K )
52, 3, 4syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID M <_ K )
6 ianordc 904 . . . 4 |- (DECID M <_ K -> ( -. ( M <_ K /\ K < N ) <-> ( -. M <_ K \/ -. K < N ) ) )
75, 6syl 14 . . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. ( M <_ K /\ K < N ) <-> ( -. M <_ K \/ -. K < N ) ) )
8 elfzo 10362 . . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M..^ N ) <-> ( M <_ K /\ K < N ) ) )
98notbid 671 . . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. K e. ( M..^ N ) <-> -. ( M <_ K /\ K < N ) ) )
10 zltnle 9508 . . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( K < M <-> -. M <_ K ) )
113, 2, 10syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < M <-> -. M <_ K ) )
12 zre 9466 . . . . . . 7 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
13 zre 9466 . . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
1412, 13anim12ci 339 . . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. RR /\ K e. RR ) )
15143adant2 1040 . . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. RR /\ K e. RR ) )
16 lenlt 8238 . . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ K e. RR ) -> ( N <_ K <-> -. K < N ) )
1715, 16syl 14 . . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N <_ K <-> -. K < N ) )
1811, 17orbi12d 798 . . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K < M \/ N <_ K ) <-> ( -. M <_ K \/ -. K < N ) ) )
197, 9, 183bitr4d 220 . 2 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. K e. ( M..^ N ) <-> ( K < M \/ N <_ K ) ) )
201, 19bitrid 192 1 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e/ ( M..^ N ) <-> ( K < M \/ N <_ K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713  DECID wdc 839   /\ w3a 1002   e. wcel 2200   e/ wnel 2495   class class class wbr 4083  (class class class)co 6010   RRcr 8014   < clt 8197   <_ cle 8198   ZZcz 9462  ..^cfzo 10355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-ltadd 8131
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-inn 9127  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-fz 10222  df-fzo 10356
This theorem is referenced by:  wrdsymb0  11122
  Copyright terms: Public domain W3C validator