ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nelfzo Unicode version
Theorem nelfzo 10508
Description: An integer not being a member of a half-open finite set of integers. (Contributed by AV, 29-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
nelfzo |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e/ ( M..^ N ) <-> ( K < M \/ N <_ K ) ) )
Proof of Theorem nelfzo
StepHypRef Expression
1 df-nel 2510 . 2 |- ( K e/ ( M..^ N ) <-> -. K e. ( M..^ N ) )
2 simp2 1025 . . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. ZZ )
3 simp1 1024 . . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> K e. ZZ )
4 zdcle 9671 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> DECID M <_ K )
52, 3, 4syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID M <_ K )
6 ianordc 907 . . . 4 |- (DECID M <_ K -> ( -. ( M <_ K /\ K < N ) <-> ( -. M <_ K \/ -. K < N ) ) )
75, 6syl 14 . . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. ( M <_ K /\ K < N ) <-> ( -. M <_ K \/ -. K < N ) ) )
8 elfzo 10505 . . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M..^ N ) <-> ( M <_ K /\ K < N ) ) )
98notbid 673 . . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. K e. ( M..^ N ) <-> -. ( M <_ K /\ K < N ) ) )
10 zltnle 9640 . . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( K < M <-> -. M <_ K ) )
113, 2, 10syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < M <-> -. M <_ K ) )
12 zre 9598 . . . . . . 7 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
13 zre 9598 . . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
1412, 13anim12ci 339 . . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. RR /\ K e. RR ) )
15143adant2 1043 . . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. RR /\ K e. RR ) )
16 lenlt 8365 . . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ K e. RR ) -> ( N <_ K <-> -. K < N ) )
1715, 16syl 14 . . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N <_ K <-> -. K < N ) )
1811, 17orbi12d 801 . . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K < M \/ N <_ K ) <-> ( -. M <_ K \/ -. K < N ) ) )
197, 9, 183bitr4d 220 . 2 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. K e. ( M..^ N ) <-> ( K < M \/ N <_ K ) ) )
201, 19bitrid 192 1 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e/ ( M..^ N ) <-> ( K < M \/ N <_ K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   /\ w3a 1005   e. wcel 2205   e/ wnel 2509   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058   RRcr 8142   < clt 8324   <_ cle 8325   ZZcz 9594  ..^cfzo 10498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499
This theorem is referenced by:  wrdsymb0  11282
  Copyright terms: Public domain W3C validator