ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nelfzo Unicode version
Theorem nelfzo 10430
Description: An integer not being a member of a half-open finite set of integers. (Contributed by AV, 29-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
nelfzo |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e/ ( M..^ N ) <-> ( K < M \/ N <_ K ) ) )
Proof of Theorem nelfzo
StepHypRef Expression
1 df-nel 2499 . 2 |- ( K e/ ( M..^ N ) <-> -. K e. ( M..^ N ) )
2 simp2 1025 . . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. ZZ )
3 simp1 1024 . . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> K e. ZZ )
4 zdcle 9599 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> DECID M <_ K )
52, 3, 4syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID M <_ K )
6 ianordc 907 . . . 4 |- (DECID M <_ K -> ( -. ( M <_ K /\ K < N ) <-> ( -. M <_ K \/ -. K < N ) ) )
75, 6syl 14 . . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. ( M <_ K /\ K < N ) <-> ( -. M <_ K \/ -. K < N ) ) )
8 elfzo 10427 . . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M..^ N ) <-> ( M <_ K /\ K < N ) ) )
98notbid 673 . . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. K e. ( M..^ N ) <-> -. ( M <_ K /\ K < N ) ) )
10 zltnle 9568 . . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( K < M <-> -. M <_ K ) )
113, 2, 10syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < M <-> -. M <_ K ) )
12 zre 9526 . . . . . . 7 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
13 zre 9526 . . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
1412, 13anim12ci 339 . . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. RR /\ K e. RR ) )
15143adant2 1043 . . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. RR /\ K e. RR ) )
16 lenlt 8298 . . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ K e. RR ) -> ( N <_ K <-> -. K < N ) )
1715, 16syl 14 . . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N <_ K <-> -. K < N ) )
1811, 17orbi12d 801 . . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K < M \/ N <_ K ) <-> ( -. M <_ K \/ -. K < N ) ) )
197, 9, 183bitr4d 220 . 2 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. K e. ( M..^ N ) <-> ( K < M \/ N <_ K ) ) )
201, 19bitrid 192 1 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e/ ( M..^ N ) <-> ( K < M \/ N <_ K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   /\ w3a 1005   e. wcel 2202   e/ wnel 2498   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   RRcr 8074   < clt 8257   <_ cle 8258   ZZcz 9522  ..^cfzo 10420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-inn 9187  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-fz 10287  df-fzo 10421
This theorem is referenced by:  wrdsymb0  11193
  Copyright terms: Public domain W3C validator