Theorem nelfzo 10218

Description: An integer not being a member of a half-open finite set of integers. (Contributed by AV, 29-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nelfzo	|- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e/ ( M..^ N ) <-> ( K < M \/ N <_ K ) ) )

Proof of Theorem nelfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nel 2460	. 2 |- ( K e/ ( M..^ N ) <-> -. K e. ( M..^ N ) )
2		simp2 1000	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. ZZ )
3		simp1 999	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> K e. ZZ )
4		zdcle 9393	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> DECID M <_ K )
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID M <_ K )
6		ianordc 900	. . . 4 |- (DECID M <_ K -> ( -. ( M <_ K /\ K < N ) <-> ( -. M <_ K \/ -. K < N ) ) )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. ( M <_ K /\ K < N ) <-> ( -. M <_ K \/ -. K < N ) ) )
8		elfzo 10215	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M..^ N ) <-> ( M <_ K /\ K < N ) ) )
9	8	notbid 668	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. K e. ( M..^ N ) <-> -. ( M <_ K /\ K < N ) ) )
10		zltnle 9363	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( K < M <-> -. M <_ K ) )
11	3, 2, 10	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < M <-> -. M <_ K ) )
12		zre 9321	. . . . . . 7 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
13		zre 9321	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
14	12, 13	anim12ci 339	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. RR /\ K e. RR ) )
15	14	3adant2 1018	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. RR /\ K e. RR ) )
16		lenlt 8095	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ K e. RR ) -> ( N <_ K <-> -. K < N ) )
17	15, 16	syl 14	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N <_ K <-> -. K < N ) )
18	11, 17	orbi12d 794	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K < M \/ N <_ K ) <-> ( -. M <_ K \/ -. K < N ) ) )
19	7, 9, 18	3bitr4d 220	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. K e. ( M..^ N ) <-> ( K < M \/ N <_ K ) ) )
20	1, 19	bitrid 192	1 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e/ ( M..^ N ) <-> ( K < M \/ N <_ K ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   /\ w3a 980   e. wcel 2164   e/ wnel 2459   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918   RRcr 7871   < clt 8054   <_ cle 8055   ZZcz 9317  ..^cfzo 10208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-fzo 10209

This theorem is referenced by:  wrdsymb0  10946