Theorem nelfzo 10229

Description: An integer not being a member of a half-open finite set of integers. (Contributed by AV, 29-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nelfzo	|- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e/ ( M..^ N ) <-> ( K < M \/ N <_ K ) ) )

Proof of Theorem nelfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nel 2463	. 2 |- ( K e/ ( M..^ N ) <-> -. K e. ( M..^ N ) )
2		simp2 1000	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. ZZ )
3		simp1 999	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> K e. ZZ )
4		zdcle 9404	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> DECID M <_ K )
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID M <_ K )
6		ianordc 900	. . . 4 |- (DECID M <_ K -> ( -. ( M <_ K /\ K < N ) <-> ( -. M <_ K \/ -. K < N ) ) )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. ( M <_ K /\ K < N ) <-> ( -. M <_ K \/ -. K < N ) ) )
8		elfzo 10226	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M..^ N ) <-> ( M <_ K /\ K < N ) ) )
9	8	notbid 668	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. K e. ( M..^ N ) <-> -. ( M <_ K /\ K < N ) ) )
10		zltnle 9374	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( K < M <-> -. M <_ K ) )
11	3, 2, 10	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < M <-> -. M <_ K ) )
12		zre 9332	. . . . . . 7 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
13		zre 9332	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
14	12, 13	anim12ci 339	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. RR /\ K e. RR ) )
15	14	3adant2 1018	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. RR /\ K e. RR ) )
16		lenlt 8104	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ K e. RR ) -> ( N <_ K <-> -. K < N ) )
17	15, 16	syl 14	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N <_ K <-> -. K < N ) )
18	11, 17	orbi12d 794	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K < M \/ N <_ K ) <-> ( -. M <_ K \/ -. K < N ) ) )
19	7, 9, 18	3bitr4d 220	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. K e. ( M..^ N ) <-> ( K < M \/ N <_ K ) ) )
20	1, 19	bitrid 192	1 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e/ ( M..^ N ) <-> ( K < M \/ N <_ K ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   /\ w3a 980   e. wcel 2167   e/ wnel 2462   class class class wbr 4034  (class class class)co 5923   RRcr 7880   < clt 8063   <_ cle 8064   ZZcz 9328  ..^cfzo 10219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-addcom 7981  ax-addass 7983  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-ltadd 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-inn 8993  df-n0 9252  df-z 9329  df-uz 9604  df-fz 10086  df-fzo 10220

This theorem is referenced by:  wrdsymb0  10969