ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nelfzo Unicode version

Theorem nelfzo 10208
Description: An integer not being a member of a half-open finite set of integers. (Contributed by AV, 29-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
nelfzo  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e/  ( M..^ N
)  <->  ( K  < 
M  \/  N  <_  K ) ) )

Proof of Theorem nelfzo
StepHypRef Expression
1 df-nel 2460 . 2  |-  ( K  e/  ( M..^ N
)  <->  -.  K  e.  ( M..^ N ) )
2 simp2 1000 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
3 simp1 999 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  K  e.  ZZ )
4 zdcle 9383 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  -> DECID  M  <_  K )
52, 3, 4syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  M  <_  K )
6 ianordc 900 . . . 4  |-  (DECID  M  <_  K  ->  ( -.  ( M  <_  K  /\  K  <  N )  <->  ( -.  M  <_  K  \/  -.  K  <  N ) ) )
75, 6syl 14 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -.  ( M  <_  K  /\  K  <  N )  <-> 
( -.  M  <_  K  \/  -.  K  <  N ) ) )
8 elfzo 10205 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M..^ N )  <->  ( M  <_  K  /\  K  < 
N ) ) )
98notbid 668 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -.  K  e.  ( M..^ N )  <->  -.  ( M  <_  K  /\  K  <  N ) ) )
10 zltnle 9353 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( K  <  M  <->  -.  M  <_  K )
)
113, 2, 10syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  <  M  <->  -.  M  <_  K ) )
12 zre 9311 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
13 zre 9311 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
1412, 13anim12ci 339 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  RR  /\  K  e.  RR ) )
15143adant2 1018 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  RR  /\  K  e.  RR ) )
16 lenlt 8085 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( N  <_  K  <->  -.  K  <  N ) )
1715, 16syl 14 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  K  <->  -.  K  <  N ) )
1811, 17orbi12d 794 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( K  <  M  \/  N  <_  K )  <-> 
( -.  M  <_  K  \/  -.  K  <  N ) ) )
197, 9, 183bitr4d 220 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -.  K  e.  ( M..^ N )  <->  ( K  <  M  \/  N  <_  K ) ) )
201, 19bitrid 192 1  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e/  ( M..^ N
)  <->  ( K  < 
M  \/  N  <_  K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709  DECID wdc 835    /\ w3a 980    e. wcel 2164    e/ wnel 2459   class class class wbr 4029  (class class class)co 5910   RRcr 7861    < clt 8044    <_ cle 8045   ZZcz 9307  ..^cfzo 10198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-addcom 7962  ax-addass 7964  ax-distr 7966  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-cnre 7973  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltwlin 7975  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-ltadd 7978
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4322  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-1st 6184  df-2nd 6185  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-xr 8048  df-ltxr 8049  df-le 8050  df-sub 8182  df-neg 8183  df-inn 8973  df-n0 9231  df-z 9308  df-uz 9583  df-fz 10065  df-fzo 10199
This theorem is referenced by:  wrdsymb0  10936
  Copyright terms: Public domain W3C validator