Theorem wrdsymb0 10952

Description: A symbol at a position "outside" of a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-May-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
wrdsymb0	|- ( ( W e. Word V /\ I e. ZZ ) -> ( ( I < 0 \/ (♯ ` W ) <_ I ) -> ( W ` I ) = (/) ) )

Proof of Theorem wrdsymb0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2774	. . 3 |- ( I e. ZZ -> I e. _V )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ I e. ZZ ) -> I e. _V )
3		wrddm 10928	. . . 4 |- ( W e. Word V -> dom W = ( 0..^ (♯ ` W ) ) )
4		lencl 10924	. . . . 5 |- ( W e. Word V -> (♯ ` W ) e. NN0 )
5	4	nn0zd 9443	. . . 4 |- ( W e. Word V -> (♯ ` W ) e. ZZ )
6		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( (♯ ` W ) e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> I e. ZZ )
7		0zd 9335	. . . . . . . . 9 |- ( ( (♯ ` W ) e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> 0 e. ZZ )
8		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( (♯ ` W ) e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> (♯ ` W ) e. ZZ )
9		nelfzo 10224	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ (♯ ` W ) e. ZZ ) -> ( I e/ ( 0..^ (♯ ` W ) ) <-> ( I < 0 \/ (♯ ` W ) <_ I ) ) )
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 |- ( ( (♯ ` W ) e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( I e/ ( 0..^ (♯ ` W ) ) <-> ( I < 0 \/ (♯ ` W ) <_ I ) ) )
11	10	biimpar 297	. . . . . . 7 |- ( ( ( (♯ ` W ) e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ ( I < 0 \/ (♯ ` W ) <_ I ) ) -> I e/ ( 0..^ (♯ ` W ) ) )
12		df-nel 2463	. . . . . . 7 |- ( I e/ ( 0..^ (♯ ` W ) ) <-> -. I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) )
13	11, 12	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ( ( (♯ ` W ) e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ ( I < 0 \/ (♯ ` W ) <_ I ) ) -> -. I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) )
14		eleq2 2260	. . . . . . 7 |- ( dom W = ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> ( I e. dom W <-> I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) )
15	14	notbid 668	. . . . . 6 |- ( dom W = ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> ( -. I e. dom W <-> -. I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) )
16	13, 15	imbitrrid 156	. . . . 5 |- ( dom W = ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> ( ( ( (♯ ` W ) e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ ( I < 0 \/ (♯ ` W ) <_ I ) ) -> -. I e. dom W ) )
17	16	exp4c 368	. . . 4 |- ( dom W = ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> ( (♯ ` W ) e. ZZ -> ( I e. ZZ -> ( ( I < 0 \/ (♯ ` W ) <_ I ) -> -. I e. dom W ) ) ) )
18	3, 5, 17	sylc 62	. . 3 |- ( W e. Word V -> ( I e. ZZ -> ( ( I < 0 \/ (♯ ` W ) <_ I ) -> -. I e. dom W ) ) )
19	18	imp 124	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ I e. ZZ ) -> ( ( I < 0 \/ (♯ ` W ) <_ I ) -> -. I e. dom W ) )
20		ndmfvg 5589	. 2 |- ( ( I e. _V /\ -. I e. dom W ) -> ( W ` I ) = (/) )
21	2, 19, 20	syl6an 1445	1 |- ( ( W e. Word V /\ I e. ZZ ) -> ( ( I < 0 \/ (♯ ` W ) <_ I ) -> ( W ` I ) = (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2167   e/ wnel 2462   _Vcvv 2763   (/)c0 3450   class class class wbr 4033   dom cdm 4663   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   0cc0 7877   < clt 8059   <_ cle 8060   ZZcz 9323  ..^cfzo 10214  ♯chash 10852  Word cword 10920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7968  ax-resscn 7969  ax-1cn 7970  ax-1re 7971  ax-icn 7972  ax-addcl 7973  ax-addrcl 7974  ax-mulcl 7975  ax-addcom 7977  ax-addass 7979  ax-distr 7981  ax-i2m1 7982  ax-0lt1 7983  ax-0id 7985  ax-rnegex 7986  ax-cnre 7988  ax-pre-ltirr 7989  ax-pre-ltwlin 7990  ax-pre-lttrn 7991  ax-pre-apti 7992  ax-pre-ltadd 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-1o 6474  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-pnf 8061  df-mnf 8062  df-xr 8063  df-ltxr 8064  df-le 8065  df-sub 8197  df-neg 8198  df-inn 8988  df-n0 9247  df-z 9324  df-uz 9599  df-fz 10081  df-fzo 10215  df-ihash 10853  df-word 10921

This theorem is referenced by: (None)