Theorem wrdsymb0 11282

Description: A symbol at a position "outside" of a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-May-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
wrdsymb0	|- ( ( W e. Word V /\ I e. ZZ ) -> ( ( I < 0 \/ (♯ ` W ) <_ I ) -> ( W ` I ) = (/) ) )

Proof of Theorem wrdsymb0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2827	. . 3 |- ( I e. ZZ -> I e. _V )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ I e. ZZ ) -> I e. _V )
3		wrddm 11257	. . . 4 |- ( W e. Word V -> dom W = ( 0..^ (♯ ` W ) ) )
4		lencl 11253	. . . . 5 |- ( W e. Word V -> (♯ ` W ) e. NN0 )
5	4	nn0zd 9716	. . . 4 |- ( W e. Word V -> (♯ ` W ) e. ZZ )
6		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( (♯ ` W ) e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> I e. ZZ )
7		0zd 9606	. . . . . . . . 9 |- ( ( (♯ ` W ) e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> 0 e. ZZ )
8		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( (♯ ` W ) e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> (♯ ` W ) e. ZZ )
9		nelfzo 10508	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ (♯ ` W ) e. ZZ ) -> ( I e/ ( 0..^ (♯ ` W ) ) <-> ( I < 0 \/ (♯ ` W ) <_ I ) ) )
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 |- ( ( (♯ ` W ) e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( I e/ ( 0..^ (♯ ` W ) ) <-> ( I < 0 \/ (♯ ` W ) <_ I ) ) )
11	10	biimpar 297	. . . . . . 7 |- ( ( ( (♯ ` W ) e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ ( I < 0 \/ (♯ ` W ) <_ I ) ) -> I e/ ( 0..^ (♯ ` W ) ) )
12		df-nel 2510	. . . . . . 7 |- ( I e/ ( 0..^ (♯ ` W ) ) <-> -. I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) )
13	11, 12	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ( ( (♯ ` W ) e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ ( I < 0 \/ (♯ ` W ) <_ I ) ) -> -. I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) )
14		eleq2 2298	. . . . . . 7 |- ( dom W = ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> ( I e. dom W <-> I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) )
15	14	notbid 673	. . . . . 6 |- ( dom W = ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> ( -. I e. dom W <-> -. I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) )
16	13, 15	imbitrrid 156	. . . . 5 |- ( dom W = ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> ( ( ( (♯ ` W ) e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ ( I < 0 \/ (♯ ` W ) <_ I ) ) -> -. I e. dom W ) )
17	16	exp4c 368	. . . 4 |- ( dom W = ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> ( (♯ ` W ) e. ZZ -> ( I e. ZZ -> ( ( I < 0 \/ (♯ ` W ) <_ I ) -> -. I e. dom W ) ) ) )
18	3, 5, 17	sylc 62	. . 3 |- ( W e. Word V -> ( I e. ZZ -> ( ( I < 0 \/ (♯ ` W ) <_ I ) -> -. I e. dom W ) ) )
19	18	imp 124	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ I e. ZZ ) -> ( ( I < 0 \/ (♯ ` W ) <_ I ) -> -. I e. dom W ) )
20		ndmfvg 5706	. 2 |- ( ( I e. _V /\ -. I e. dom W ) -> ( W ` I ) = (/) )
21	2, 19, 20	syl6an 1479	1 |- ( ( W e. Word V /\ I e. ZZ ) -> ( ( I < 0 \/ (♯ ` W ) <_ I ) -> ( W ` I ) = (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2205   e/ wnel 2509   _Vcvv 2815   (/)c0 3512   class class class wbr 4114   dom cdm 4754   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   0cc0 8143   < clt 8324   <_ cle 8325   ZZcz 9594  ..^cfzo 10498  ♯chash 11163  Word cword 11249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-ihash 11164  df-word 11250

This theorem is referenced by:  ccatsymb  11315