Theorem wrdsymb0 10946

Description: A symbol at a position "outside" of a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-May-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
wrdsymb0	|- ( ( W e. Word V /\ I e. ZZ ) -> ( ( I < 0 \/ (♯ ` W ) <_ I ) -> ( W ` I ) = (/) ) )

Proof of Theorem wrdsymb0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2771	. . 3 |- ( I e. ZZ -> I e. _V )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ I e. ZZ ) -> I e. _V )
3		wrddm 10922	. . . 4 |- ( W e. Word V -> dom W = ( 0..^ (♯ ` W ) ) )
4		lencl 10918	. . . . 5 |- ( W e. Word V -> (♯ ` W ) e. NN0 )
5	4	nn0zd 9437	. . . 4 |- ( W e. Word V -> (♯ ` W ) e. ZZ )
6		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( (♯ ` W ) e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> I e. ZZ )
7		0zd 9329	. . . . . . . . 9 |- ( ( (♯ ` W ) e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> 0 e. ZZ )
8		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( (♯ ` W ) e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> (♯ ` W ) e. ZZ )
9		nelfzo 10218	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ (♯ ` W ) e. ZZ ) -> ( I e/ ( 0..^ (♯ ` W ) ) <-> ( I < 0 \/ (♯ ` W ) <_ I ) ) )
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 |- ( ( (♯ ` W ) e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( I e/ ( 0..^ (♯ ` W ) ) <-> ( I < 0 \/ (♯ ` W ) <_ I ) ) )
11	10	biimpar 297	. . . . . . 7 |- ( ( ( (♯ ` W ) e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ ( I < 0 \/ (♯ ` W ) <_ I ) ) -> I e/ ( 0..^ (♯ ` W ) ) )
12		df-nel 2460	. . . . . . 7 |- ( I e/ ( 0..^ (♯ ` W ) ) <-> -. I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) )
13	11, 12	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ( ( (♯ ` W ) e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ ( I < 0 \/ (♯ ` W ) <_ I ) ) -> -. I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) )
14		eleq2 2257	. . . . . . 7 |- ( dom W = ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> ( I e. dom W <-> I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) )
15	14	notbid 668	. . . . . 6 |- ( dom W = ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> ( -. I e. dom W <-> -. I e. ( 0..^ (♯ ` W ) ) ) )
16	13, 15	imbitrrid 156	. . . . 5 |- ( dom W = ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> ( ( ( (♯ ` W ) e. ZZ /\ I e. ZZ ) /\ ( I < 0 \/ (♯ ` W ) <_ I ) ) -> -. I e. dom W ) )
17	16	exp4c 368	. . . 4 |- ( dom W = ( 0..^ (♯ ` W ) ) -> ( (♯ ` W ) e. ZZ -> ( I e. ZZ -> ( ( I < 0 \/ (♯ ` W ) <_ I ) -> -. I e. dom W ) ) ) )
18	3, 5, 17	sylc 62	. . 3 |- ( W e. Word V -> ( I e. ZZ -> ( ( I < 0 \/ (♯ ` W ) <_ I ) -> -. I e. dom W ) ) )
19	18	imp 124	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ I e. ZZ ) -> ( ( I < 0 \/ (♯ ` W ) <_ I ) -> -. I e. dom W ) )
20		ndmfvg 5585	. 2 |- ( ( I e. _V /\ -. I e. dom W ) -> ( W ` I ) = (/) )
21	2, 19, 20	syl6an 1445	1 |- ( ( W e. Word V /\ I e. ZZ ) -> ( ( I < 0 \/ (♯ ` W ) <_ I ) -> ( W ` I ) = (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2164   e/ wnel 2459   _Vcvv 2760   (/)c0 3446   class class class wbr 4029   dom cdm 4659   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   0cc0 7872   < clt 8054   <_ cle 8055   ZZcz 9317  ..^cfzo 10208  ♯chash 10846  Word cword 10914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-1o 6469  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-ihash 10847  df-word 10915

This theorem is referenced by: (None)