Theorem nn0ob 12549

Description: Alternate characterizations of an odd nonnegative integer. (Contributed by AV, 4-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ob	|- ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )

Proof of Theorem nn0ob

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0o 12548	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
2		nn0cn 9471	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
3		xp1d2m1eqxm1d2 9456	. . . . . . 7 |- ( N e. CC -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) = ( ( N - 1 ) / 2 ) )
4	3	eqcomd 2237	. . . . . 6 |- ( N e. CC -> ( ( N - 1 ) / 2 ) = ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) )
5	2, 4	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) = ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) )
6		peano2cnm 8504	. . . . . . . 8 |- ( N e. CC -> ( N - 1 ) e. CC )
7	2, 6	syl 14	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( N - 1 ) e. CC )
8	7	halfcld 9448	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. CC )
9		1cnd 8255	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> 1 e. CC )
10		peano2nn0 9501	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
11	10	nn0cnd 9518	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. CC )
12	11	halfcld 9448	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. CC )
13	8, 9, 12	addlsub 8608	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( ( N - 1 ) / 2 ) + 1 ) = ( ( N + 1 ) / 2 ) <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) = ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) ) )
14	5, 13	mpbird 167	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) + 1 ) = ( ( N + 1 ) / 2 ) )
15	14	adantr 276	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) + 1 ) = ( ( N + 1 ) / 2 ) )
16		peano2nn0 9501	. . . 4 |- ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) + 1 ) e. NN0 )
17	16	adantl 277	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) + 1 ) e. NN0 )
18	15, 17	eqeltrrd 2309	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 )
19	1, 18	impbida 600	1 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202  (class class class)co 6028   CCcc 8090   1c1 8093   + caddc 8095   - cmin 8409   / cdiv 8911   2c2 9253   NN0cn0 9461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817

This theorem is referenced by:  nn0oddm1d2  12550