Theorem nn0ob 11867

Description: Alternate characterizations of an odd nonnegative integer. (Contributed by AV, 4-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ob	|- ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )

Proof of Theorem nn0ob

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0o 11866	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
2		nn0cn 9145	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
3		xp1d2m1eqxm1d2 9130	. . . . . . 7 |- ( N e. CC -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) = ( ( N - 1 ) / 2 ) )
4	3	eqcomd 2176	. . . . . 6 |- ( N e. CC -> ( ( N - 1 ) / 2 ) = ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) )
5	2, 4	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) = ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) )
6		peano2cnm 8185	. . . . . . . 8 |- ( N e. CC -> ( N - 1 ) e. CC )
7	2, 6	syl 14	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( N - 1 ) e. CC )
8	7	halfcld 9122	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. CC )
9		1cnd 7936	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> 1 e. CC )
10		peano2nn0 9175	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
11	10	nn0cnd 9190	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. CC )
12	11	halfcld 9122	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. CC )
13	8, 9, 12	addlsub 8289	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( ( N - 1 ) / 2 ) + 1 ) = ( ( N + 1 ) / 2 ) <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) = ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) ) )
14	5, 13	mpbird 166	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) + 1 ) = ( ( N + 1 ) / 2 ) )
15	14	adantr 274	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) + 1 ) = ( ( N + 1 ) / 2 ) )
16		peano2nn0 9175	. . . 4 |- ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) + 1 ) e. NN0 )
17	16	adantl 275	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) + 1 ) e. NN0 )
18	15, 17	eqeltrrd 2248	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 )
19	1, 18	impbida 591	1 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141  (class class class)co 5853   CCcc 7772   1c1 7775   + caddc 7777   - cmin 8090   / cdiv 8589   2c2 8929   NN0cn0 9135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488

This theorem is referenced by:  nn0oddm1d2  11868