Theorem nn0ob 11641

Description: Alternate characterizations of an odd nonnegative integer. (Contributed by AV, 4-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ob	|- ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )

Proof of Theorem nn0ob

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0o 11640	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
2		nn0cn 9011	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
3		xp1d2m1eqxm1d2 8996	. . . . . . 7 |- ( N e. CC -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) = ( ( N - 1 ) / 2 ) )
4	3	eqcomd 2146	. . . . . 6 |- ( N e. CC -> ( ( N - 1 ) / 2 ) = ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) )
5	2, 4	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) = ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) )
6		peano2cnm 8052	. . . . . . . 8 |- ( N e. CC -> ( N - 1 ) e. CC )
7	2, 6	syl 14	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( N - 1 ) e. CC )
8	7	halfcld 8988	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. CC )
9		1cnd 7806	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> 1 e. CC )
10		peano2nn0 9041	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
11	10	nn0cnd 9056	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. CC )
12	11	halfcld 8988	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. CC )
13	8, 9, 12	addlsub 8156	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( ( N - 1 ) / 2 ) + 1 ) = ( ( N + 1 ) / 2 ) <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) = ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) ) )
14	5, 13	mpbird 166	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) + 1 ) = ( ( N + 1 ) / 2 ) )
15	14	adantr 274	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) + 1 ) = ( ( N + 1 ) / 2 ) )
16		peano2nn0 9041	. . . 4 |- ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) + 1 ) e. NN0 )
17	16	adantl 275	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) + 1 ) e. NN0 )
18	15, 17	eqeltrrd 2218	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 )
19	1, 18	impbida 586	1 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481  (class class class)co 5782   CCcc 7642   1c1 7645   + caddc 7647   - cmin 7957   / cdiv 8456   2c2 8795   NN0cn0 9001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351

This theorem is referenced by:  nn0oddm1d2  11642