Theorem nn0ob 11905

Description: Alternate characterizations of an odd nonnegative integer. (Contributed by AV, 4-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ob	|- ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )

Proof of Theorem nn0ob

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0o 11904	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
2		nn0cn 9182	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
3		xp1d2m1eqxm1d2 9167	. . . . . . 7 |- ( N e. CC -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) = ( ( N - 1 ) / 2 ) )
4	3	eqcomd 2183	. . . . . 6 |- ( N e. CC -> ( ( N - 1 ) / 2 ) = ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) )
5	2, 4	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) = ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) )
6		peano2cnm 8219	. . . . . . . 8 |- ( N e. CC -> ( N - 1 ) e. CC )
7	2, 6	syl 14	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( N - 1 ) e. CC )
8	7	halfcld 9159	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. CC )
9		1cnd 7970	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> 1 e. CC )
10		peano2nn0 9212	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
11	10	nn0cnd 9227	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. CC )
12	11	halfcld 9159	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. CC )
13	8, 9, 12	addlsub 8323	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( ( N - 1 ) / 2 ) + 1 ) = ( ( N + 1 ) / 2 ) <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) = ( ( ( N + 1 ) / 2 ) - 1 ) ) )
14	5, 13	mpbird 167	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) + 1 ) = ( ( N + 1 ) / 2 ) )
15	14	adantr 276	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) + 1 ) = ( ( N + 1 ) / 2 ) )
16		peano2nn0 9212	. . . 4 |- ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) + 1 ) e. NN0 )
17	16	adantl 277	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) + 1 ) e. NN0 )
18	15, 17	eqeltrrd 2255	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 )
19	1, 18	impbida 596	1 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148  (class class class)co 5872   CCcc 7806   1c1 7809   + caddc 7811   - cmin 8124   / cdiv 8625   2c2 8966   NN0cn0 9172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-mulrcl 7907  ax-addcom 7908  ax-mulcom 7909  ax-addass 7910  ax-mulass 7911  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-1rid 7915  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-precex 7918  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-apti 7923  ax-pre-ltadd 7924  ax-pre-mulgt0 7925  ax-pre-mulext 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-reap 8528  df-ap 8535  df-div 8626  df-inn 8916  df-2 8974  df-3 8975  df-4 8976  df-n0 9173  df-z 9250  df-uz 9525

This theorem is referenced by:  nn0oddm1d2  11906