ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0ob Unicode version

Theorem nn0ob 11001
Description: Alternate characterizations of an odd nonnegative integer. (Contributed by AV, 4-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0ob  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0  <->  ( ( N  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0 ) )

Proof of Theorem nn0ob
StepHypRef Expression
1 nn0o 11000 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
2 nn0cn 8653 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
3 xp1d2m1eqxm1d2 8638 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  2
)  -  1 )  =  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) )
43eqcomd 2093 . . . . . 6  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( N  -  1 )  /  2 )  =  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  - 
1 ) )
52, 4syl 14 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  -  1 )  /  2 )  =  ( ( ( N  +  1 )  / 
2 )  -  1 ) )
6 peano2cnm 7727 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
72, 6syl 14 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
87halfcld 8630 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  -  1 )  /  2 )  e.  CC )
9 1cnd 7483 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
10 peano2nn0 8683 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
1110nn0cnd 8698 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
1211halfcld 8630 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  CC )
138, 9, 12addlsub 7827 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( ( N  - 
1 )  /  2
)  +  1 )  =  ( ( N  +  1 )  / 
2 )  <->  ( ( N  -  1 )  /  2 )  =  ( ( ( N  +  1 )  / 
2 )  -  1 ) ) )
145, 13mpbird 165 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  -  1 )  /  2 )  +  1 )  =  ( ( N  + 
1 )  /  2
) )
1514adantr 270 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( N  -  1 )  / 
2 )  +  1 )  =  ( ( N  +  1 )  /  2 ) )
16 peano2nn0 8683 . . . 4  |-  ( ( ( N  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  ->  ( ( ( N  -  1 )  /  2 )  +  1 )  e. 
NN0 )
1716adantl 271 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( N  -  1 )  / 
2 )  +  1 )  e.  NN0 )
1815, 17eqeltrrd 2165 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
191, 18impbida 563 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0  <->  ( ( N  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438  (class class class)co 5634   CCcc 7327   1c1 7330    + caddc 7332    - cmin 7632    / cdiv 8113   2c2 8444   NN0cn0 8643
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-3 8453  df-4 8454  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989
This theorem is referenced by:  nn0oddm1d2  11002
  Copyright terms: Public domain W3C validator