ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0o Unicode version
Theorem nn0o 12251
Description: An alternate characterization of an odd nonnegative integer. (Contributed by AV, 28-May-2020.) (Proof shortened by AV, 2-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0o |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
Proof of Theorem nn0o
StepHypRef Expression
1 nn0o1gt2 12249 . 2 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )
2 1m1e0 9107 . . . . . . . 8 |- ( 1 - 1 ) = 0
32oveq1i 5956 . . . . . . 7 |- ( ( 1 - 1 ) / 2 ) = ( 0 / 2 )
4 2cn 9109 . . . . . . . 8 |- 2 e. CC
5 2ap0 9131 . . . . . . . 8 |- 2 # 0
64, 5div0api 8821 . . . . . . 7 |- ( 0 / 2 ) = 0
73, 6eqtri 2226 . . . . . 6 |- ( ( 1 - 1 ) / 2 ) = 0
8 0nn0 9312 . . . . . 6 |- 0 e. NN0
97, 8eqeltri 2278 . . . . 5 |- ( ( 1 - 1 ) / 2 ) e. NN0
10 oveq1 5953 . . . . . . . 8 |- ( N = 1 -> ( N - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
1110oveq1d 5961 . . . . . . 7 |- ( N = 1 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) = ( ( 1 - 1 ) / 2 ) )
1211eleq1d 2274 . . . . . 6 |- ( N = 1 -> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 <-> ( ( 1 - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
1312adantr 276 . . . . 5 |- ( ( N = 1 /\ ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) ) -> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 <-> ( ( 1 - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
149, 13mpbiri 168 . . . 4 |- ( ( N = 1 /\ ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
1514ex 115 . . 3 |- ( N = 1 -> ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
16 2z 9402 . . . . . . . 8 |- 2 e. ZZ
1716a1i 9 . . . . . . 7 |- ( ( 2 < N /\ ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) ) -> 2 e. ZZ )
18 nn0z 9394 . . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
1918ad2antrl 490 . . . . . . 7 |- ( ( 2 < N /\ ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) ) -> N e. ZZ )
20 2re 9108 . . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
21 nn0re 9306 . . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
22 ltle 8162 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 2 < N -> 2 <_ N ) )
2320, 21, 22sylancr 414 . . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( 2 < N -> 2 <_ N ) )
2423adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( 2 < N -> 2 <_ N ) )
2524impcom 125 . . . . . . 7 |- ( ( 2 < N /\ ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) ) -> 2 <_ N )
26 eluz2 9656 . . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 2 <_ N ) )
2717, 19, 25, 26syl3anbrc 1184 . . . . . 6 |- ( ( 2 < N /\ ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) ) -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
28 simprr 531 . . . . . 6 |- ( ( 2 < N /\ ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) ) -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 )
2927, 28jca 306 . . . . 5 |- ( ( 2 < N /\ ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) ) -> ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
30 nno 12250 . . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN )
31 nnnn0 9304 . . . . 5 |- ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
3229, 30, 313syl 17 . . . 4 |- ( ( 2 < N /\ ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
3332ex 115 . . 3 |- ( 2 < N -> ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
3415, 33jaoi 718 . 2 |- ( ( N = 1 \/ 2 < N ) -> ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
351, 34mpcom 36 1 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2176   class class class wbr 4045   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   RRcr 7926   0cc0 7927   1c1 7928   + caddc 7930   < clt 8109   <_ cle 8110   - cmin 8245   / cdiv 8747   NNcn 9038   2c2 9089   NN0cn0 9297   ZZcz 9374   ZZ>=cuz 9650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-4 9099  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651
This theorem is referenced by:  nn0ob  12252
  Copyright terms: Public domain W3C validator