ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0o Unicode version
Theorem nn0o 11844
Description: An alternate characterization of an odd nonnegative integer. (Contributed by AV, 28-May-2020.) (Proof shortened by AV, 2-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0o |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
Proof of Theorem nn0o
StepHypRef Expression
1 nn0o1gt2 11842 . 2 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )
2 1m1e0 8926 . . . . . . . 8 |- ( 1 - 1 ) = 0
32oveq1i 5852 . . . . . . 7 |- ( ( 1 - 1 ) / 2 ) = ( 0 / 2 )
4 2cn 8928 . . . . . . . 8 |- 2 e. CC
5 2ap0 8950 . . . . . . . 8 |- 2 # 0
64, 5div0api 8642 . . . . . . 7 |- ( 0 / 2 ) = 0
73, 6eqtri 2186 . . . . . 6 |- ( ( 1 - 1 ) / 2 ) = 0
8 0nn0 9129 . . . . . 6 |- 0 e. NN0
97, 8eqeltri 2239 . . . . 5 |- ( ( 1 - 1 ) / 2 ) e. NN0
10 oveq1 5849 . . . . . . . 8 |- ( N = 1 -> ( N - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
1110oveq1d 5857 . . . . . . 7 |- ( N = 1 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) = ( ( 1 - 1 ) / 2 ) )
1211eleq1d 2235 . . . . . 6 |- ( N = 1 -> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 <-> ( ( 1 - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
1312adantr 274 . . . . 5 |- ( ( N = 1 /\ ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) ) -> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 <-> ( ( 1 - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
149, 13mpbiri 167 . . . 4 |- ( ( N = 1 /\ ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
1514ex 114 . . 3 |- ( N = 1 -> ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
16 2z 9219 . . . . . . . 8 |- 2 e. ZZ
1716a1i 9 . . . . . . 7 |- ( ( 2 < N /\ ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) ) -> 2 e. ZZ )
18 nn0z 9211 . . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
1918ad2antrl 482 . . . . . . 7 |- ( ( 2 < N /\ ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) ) -> N e. ZZ )
20 2re 8927 . . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
21 nn0re 9123 . . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
22 ltle 7986 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 2 < N -> 2 <_ N ) )
2320, 21, 22sylancr 411 . . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( 2 < N -> 2 <_ N ) )
2423adantr 274 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( 2 < N -> 2 <_ N ) )
2524impcom 124 . . . . . . 7 |- ( ( 2 < N /\ ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) ) -> 2 <_ N )
26 eluz2 9472 . . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 2 <_ N ) )
2717, 19, 25, 26syl3anbrc 1171 . . . . . 6 |- ( ( 2 < N /\ ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) ) -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
28 simprr 522 . . . . . 6 |- ( ( 2 < N /\ ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) ) -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 )
2927, 28jca 304 . . . . 5 |- ( ( 2 < N /\ ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) ) -> ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
30 nno 11843 . . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN )
31 nnnn0 9121 . . . . 5 |- ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
3229, 30, 313syl 17 . . . 4 |- ( ( 2 < N /\ ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
3332ex 114 . . 3 |- ( 2 < N -> ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
3415, 33jaoi 706 . 2 |- ( ( N = 1 \/ 2 < N ) -> ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
351, 34mpcom 36 1 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1343   e. wcel 2136   class class class wbr 3982   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   RRcr 7752   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   < clt 7933   <_ cle 7934   - cmin 8069   / cdiv 8568   NNcn 8857   2c2 8908   NN0cn0 9114   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467
This theorem is referenced by:  nn0ob  11845
  Copyright terms: Public domain W3C validator