ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0o Unicode version

Theorem nn0o 11914
Description: An alternate characterization of an odd nonnegative integer. (Contributed by AV, 28-May-2020.) (Proof shortened by AV, 2-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0o  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )

Proof of Theorem nn0o
StepHypRef Expression
1 nn0o1gt2 11912 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( N  =  1  \/  2  <  N
) )
2 1m1e0 8990 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  1 )  =  0
32oveq1i 5887 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  -  1 )  /  2 )  =  ( 0  /  2
)
4 2cn 8992 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
5 2ap0 9014 . . . . . . . 8  |-  2 #  0
64, 5div0api 8705 . . . . . . 7  |-  ( 0  /  2 )  =  0
73, 6eqtri 2198 . . . . . 6  |-  ( ( 1  -  1 )  /  2 )  =  0
8 0nn0 9193 . . . . . 6  |-  0  e.  NN0
97, 8eqeltri 2250 . . . . 5  |-  ( ( 1  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0
10 oveq1 5884 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  1  ->  ( N  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
1110oveq1d 5892 . . . . . . 7  |-  ( N  =  1  ->  (
( N  -  1 )  /  2 )  =  ( ( 1  -  1 )  / 
2 ) )
1211eleq1d 2246 . . . . . 6  |-  ( N  =  1  ->  (
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0  <->  ( (
1  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0 ) )
1312adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( N  =  1  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
)  ->  ( (
( N  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  <->  ( ( 1  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0 ) )
149, 13mpbiri 168 . . . 4  |-  ( ( N  =  1  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
)  ->  ( ( N  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0 )
1514ex 115 . . 3  |-  ( N  =  1  ->  (
( N  e.  NN0  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
)
16 2z 9283 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ZZ
1716a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  <  N  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
)  ->  2  e.  ZZ )
18 nn0z 9275 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
1918ad2antrl 490 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  <  N  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
)  ->  N  e.  ZZ )
20 2re 8991 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
21 nn0re 9187 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
22 ltle 8047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 2  <  N  ->  2  <_  N )
)
2320, 21, 22sylancr 414 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  <  N  ->  2  <_  N ) )
2423adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( 2  <  N  ->  2  <_  N )
)
2524impcom 125 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  <  N  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
)  ->  2  <_  N )
26 eluz2 9536 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  2  <_  N ) )
2717, 19, 25, 26syl3anbrc 1181 . . . . . 6  |-  ( ( 2  <  N  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
28 simprr 531 . . . . . 6  |-  ( ( 2  <  N  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
)  ->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e. 
NN0 )
2927, 28jca 306 . . . . 5  |-  ( ( 2  <  N  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
)  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
)
30 nno 11913 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
31 nnnn0 9185 . . . . 5  |-  ( ( ( N  -  1 )  /  2 )  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  /  2 )  e.  NN0 )
3229, 30, 313syl 17 . . . 4  |-  ( ( 2  <  N  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
)  ->  ( ( N  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0 )
3332ex 115 . . 3  |-  ( 2  <  N  ->  (
( N  e.  NN0  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
)
3415, 33jaoi 716 . 2  |-  ( ( N  =  1  \/  2  <  N )  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
)
351, 34mpcom 36 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( ( N  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708    = wceq 1353    e. wcel 2148   class class class wbr 4005   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   RRcr 7812   0cc0 7813   1c1 7814    + caddc 7816    < clt 7994    <_ cle 7995    - cmin 8130    / cdiv 8631   NNcn 8921   2c2 8972   NN0cn0 9178   ZZcz 9255   ZZ>=cuz 9530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531
This theorem is referenced by:  nn0ob  11915
  Copyright terms: Public domain W3C validator