Theorem nn0ob 12625

Description: Alternate characterizations of an odd nonnegative integer. (Contributed by AV, 4-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ob	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))

Proof of Theorem nn0ob

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0o 12624	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
2		nn0cn 9528	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
3		xp1d2m1eqxm1d2 9513	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) = ((𝑁 − 1) / 2))
4	3	eqcomd 2240	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) / 2) = (((𝑁 + 1) / 2) − 1))
5	2, 4	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) = (((𝑁 + 1) / 2) − 1))
6		peano2cnm 8558	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
7	2, 6	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
8	7	halfcld 9505	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ)
9		1cnd 8308	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
10		peano2nn0 9558	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
11	10	nn0cnd 9577	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
12	11	halfcld 9505	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℂ)
13	8, 9, 12	addlsub 8662	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((((𝑁 − 1) / 2) + 1) = ((𝑁 + 1) / 2) ↔ ((𝑁 − 1) / 2) = (((𝑁 + 1) / 2) − 1)))
14	5, 13	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 − 1) / 2) + 1) = ((𝑁 + 1) / 2))
15	14	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((𝑁 − 1) / 2) + 1) = ((𝑁 + 1) / 2))
16		peano2nn0 9558	. . . 4 ⊢ (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (((𝑁 − 1) / 2) + 1) ∈ ℕ0)
17	16	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((𝑁 − 1) / 2) + 1) ∈ ℕ0)
18	15, 17	eqeltrrd 2312	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)
19	1, 18	impbida 600	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  (class class class)co 6060  ℂcc 8143  1c1 8146   + caddc 8148   − cmin 8463   / cdiv 8968  2c2 9310  ℕ₀cn0 9518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-mulrcl 8244  ax-addcom 8245  ax-mulcom 8246  ax-addass 8247  ax-mulass 8248  ax-distr 8249  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-1rid 8252  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-precex 8255  ax-cnre 8256  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-ltwlin 8258  ax-pre-lttrn 8259  ax-pre-apti 8260  ax-pre-ltadd 8261  ax-pre-mulgt0 8262  ax-pre-mulext 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-po 4423  df-iso 4424  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-ima 4769  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-f 5363  df-fv 5367  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-xr 8330  df-ltxr 8331  df-le 8332  df-sub 8465  df-neg 8466  df-reap 8869  df-ap 8876  df-div 8969  df-inn 9260  df-2 9318  df-3 9319  df-4 9320  df-n0 9519  df-z 9600  df-uz 9877

This theorem is referenced by:  nn0oddm1d2  12626