Theorem nn0ob 12049

Description: Alternate characterizations of an odd nonnegative integer. (Contributed by AV, 4-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ob	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))

Proof of Theorem nn0ob

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0o 12048	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
2		nn0cn 9250	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
3		xp1d2m1eqxm1d2 9235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) = ((𝑁 − 1) / 2))
4	3	eqcomd 2199	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) / 2) = (((𝑁 + 1) / 2) − 1))
5	2, 4	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) = (((𝑁 + 1) / 2) − 1))
6		peano2cnm 8285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
7	2, 6	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
8	7	halfcld 9227	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ)
9		1cnd 8035	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
10		peano2nn0 9280	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
11	10	nn0cnd 9295	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
12	11	halfcld 9227	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℂ)
13	8, 9, 12	addlsub 8389	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((((𝑁 − 1) / 2) + 1) = ((𝑁 + 1) / 2) ↔ ((𝑁 − 1) / 2) = (((𝑁 + 1) / 2) − 1)))
14	5, 13	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 − 1) / 2) + 1) = ((𝑁 + 1) / 2))
15	14	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((𝑁 − 1) / 2) + 1) = ((𝑁 + 1) / 2))
16		peano2nn0 9280	. . . 4 ⊢ (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (((𝑁 − 1) / 2) + 1) ∈ ℕ0)
17	16	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((𝑁 − 1) / 2) + 1) ∈ ℕ0)
18	15, 17	eqeltrrd 2271	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)
19	1, 18	impbida 596	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  1c1 7873   + caddc 7875   − cmin 8190   / cdiv 8691  2c2 9033  ℕ₀cn0 9240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593

This theorem is referenced by:  nn0oddm1d2  12050