Theorem nn0oddm1d2 12335

Description: A positive integer is odd iff its predecessor divided by 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 28-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nn0oddm1d2	|- ( N e. NN0 -> ( -. 2 || N <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )

Proof of Theorem nn0oddm1d2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 9427	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
2		oddp1d2 12316	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( -. 2 || N <-> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
4		nn0re 9339	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
5		1red 8122	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> 1 e. RR )
6		nn0ge0 9355	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
7		0le1 8589	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ 1
8	7	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ 1 )
9	4, 5, 6, 8	addge0d 8630	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ ( N + 1 ) )
10		peano2nn0 9370	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
11	10	nn0red 9384	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. RR )
12		2re 9141	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
13	12	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> 2 e. RR )
14		2pos 9162	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 2
15	14	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> 0 < 2 )
16		ge0div 8979	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N + 1 ) e. RR /\ 2 e. RR /\ 0 < 2 ) -> ( 0 <_ ( N + 1 ) <-> 0 <_ ( ( N + 1 ) / 2 ) ) )
17	11, 13, 15, 16	syl3anc 1250	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( 0 <_ ( N + 1 ) <-> 0 <_ ( ( N + 1 ) / 2 ) ) )
18	9, 17	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ ( ( N + 1 ) / 2 ) )
19	18	anim1i 340	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( 0 <_ ( ( N + 1 ) / 2 ) /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
20	19	ancomd 267	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( N + 1 ) / 2 ) ) )
21		elnn0z 9420	. . . . 5 |- ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 <-> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( N + 1 ) / 2 ) ) )
22	20, 21	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 )
23	22	ex 115	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
24		nn0z 9427	. . 3 |- ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ )
25	23, 24	impbid1 142	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
26		nn0ob 12334	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
27	3, 25, 26	3bitrd 214	1 |- ( N e. NN0 -> ( -. 2 || N <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2178   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967   RRcr 7959   0cc0 7960   1c1 7961   + caddc 7963   < clt 8142   <_ cle 8143   - cmin 8278   / cdiv 8780   2c2 9122   NN0cn0 9330   ZZcz 9407   || cdvds 12213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-xor 1396  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-dvds 12214

This theorem is referenced by:  lgsval  15596  lgsfvalg  15597  gausslemma2dlem6  15659