Theorem nn0oddm1d2 11846

Description: A positive integer is odd iff its predecessor divided by 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 28-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nn0oddm1d2	|- ( N e. NN0 -> ( -. 2 || N <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )

Proof of Theorem nn0oddm1d2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 9211	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
2		oddp1d2 11827	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( -. 2 || N <-> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
4		nn0re 9123	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
5		1red 7914	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> 1 e. RR )
6		nn0ge0 9139	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
7		0le1 8379	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ 1
8	7	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ 1 )
9	4, 5, 6, 8	addge0d 8420	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ ( N + 1 ) )
10		peano2nn0 9154	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
11	10	nn0red 9168	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. RR )
12		2re 8927	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
13	12	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> 2 e. RR )
14		2pos 8948	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 2
15	14	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> 0 < 2 )
16		ge0div 8766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N + 1 ) e. RR /\ 2 e. RR /\ 0 < 2 ) -> ( 0 <_ ( N + 1 ) <-> 0 <_ ( ( N + 1 ) / 2 ) ) )
17	11, 13, 15, 16	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( 0 <_ ( N + 1 ) <-> 0 <_ ( ( N + 1 ) / 2 ) ) )
18	9, 17	mpbid 146	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ ( ( N + 1 ) / 2 ) )
19	18	anim1i 338	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( 0 <_ ( ( N + 1 ) / 2 ) /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
20	19	ancomd 265	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( N + 1 ) / 2 ) ) )
21		elnn0z 9204	. . . . 5 |- ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 <-> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( N + 1 ) / 2 ) ) )
22	20, 21	sylibr 133	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 )
23	22	ex 114	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
24		nn0z 9211	. . 3 |- ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ )
25	23, 24	impbid1 141	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
26		nn0ob 11845	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
27	3, 25, 26	3bitrd 213	1 |- ( N e. NN0 -> ( -. 2 || N <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2136   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   RRcr 7752   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   < clt 7933   <_ cle 7934   - cmin 8069   / cdiv 8568   2c2 8908   NN0cn0 9114   ZZcz 9191   || cdvds 11727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-xor 1366  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-dvds 11728

This theorem is referenced by:  lgsval  13545  lgsfvalg  13546