Theorem nn0oddm1d2 12415

Description: A positive integer is odd iff its predecessor divided by 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 28-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nn0oddm1d2	|- ( N e. NN0 -> ( -. 2 || N <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )

Proof of Theorem nn0oddm1d2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 9462	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
2		oddp1d2 12396	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( -. 2 || N <-> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
4		nn0re 9374	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
5		1red 8157	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> 1 e. RR )
6		nn0ge0 9390	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
7		0le1 8624	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ 1
8	7	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ 1 )
9	4, 5, 6, 8	addge0d 8665	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ ( N + 1 ) )
10		peano2nn0 9405	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
11	10	nn0red 9419	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. RR )
12		2re 9176	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
13	12	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> 2 e. RR )
14		2pos 9197	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 2
15	14	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> 0 < 2 )
16		ge0div 9014	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N + 1 ) e. RR /\ 2 e. RR /\ 0 < 2 ) -> ( 0 <_ ( N + 1 ) <-> 0 <_ ( ( N + 1 ) / 2 ) ) )
17	11, 13, 15, 16	syl3anc 1271	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( 0 <_ ( N + 1 ) <-> 0 <_ ( ( N + 1 ) / 2 ) ) )
18	9, 17	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ ( ( N + 1 ) / 2 ) )
19	18	anim1i 340	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( 0 <_ ( ( N + 1 ) / 2 ) /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
20	19	ancomd 267	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( N + 1 ) / 2 ) ) )
21		elnn0z 9455	. . . . 5 |- ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 <-> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( N + 1 ) / 2 ) ) )
22	20, 21	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 )
23	22	ex 115	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
24		nn0z 9462	. . 3 |- ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ )
25	23, 24	impbid1 142	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
26		nn0ob 12414	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
27	3, 25, 26	3bitrd 214	1 |- ( N e. NN0 -> ( -. 2 || N <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2200   class class class wbr 4082  (class class class)co 6000   RRcr 7994   0cc0 7995   1c1 7996   + caddc 7998   < clt 8177   <_ cle 8178   - cmin 8313   / cdiv 8815   2c2 9157   NN0cn0 9365   ZZcz 9442   || cdvds 12293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-dvds 12294

This theorem is referenced by:  lgsval  15677  lgsfvalg  15678  gausslemma2dlem6  15740