Theorem nn0oddm1d2 12595

Description: A positive integer is odd iff its predecessor divided by 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 28-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nn0oddm1d2	|- ( N e. NN0 -> ( -. 2 || N <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )

Proof of Theorem nn0oddm1d2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 9597	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
2		oddp1d2 12576	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( -. 2 || N <-> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
4		nn0re 9505	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
5		1red 8289	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> 1 e. RR )
6		nn0ge0 9521	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
7		0le1 8755	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ 1
8	7	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ 1 )
9	4, 5, 6, 8	addge0d 8796	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ ( N + 1 ) )
10		peano2nn0 9536	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
11	10	nn0red 9554	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. RR )
12		2re 9307	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
13	12	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> 2 e. RR )
14		2pos 9328	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 2
15	14	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> 0 < 2 )
16		ge0div 9145	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N + 1 ) e. RR /\ 2 e. RR /\ 0 < 2 ) -> ( 0 <_ ( N + 1 ) <-> 0 <_ ( ( N + 1 ) / 2 ) ) )
17	11, 13, 15, 16	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( 0 <_ ( N + 1 ) <-> 0 <_ ( ( N + 1 ) / 2 ) ) )
18	9, 17	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ ( ( N + 1 ) / 2 ) )
19	18	anim1i 340	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( 0 <_ ( ( N + 1 ) / 2 ) /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
20	19	ancomd 267	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( N + 1 ) / 2 ) ) )
21		elnn0z 9590	. . . . 5 |- ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 <-> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( N + 1 ) / 2 ) ) )
22	20, 21	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 )
23	22	ex 115	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
24		nn0z 9597	. . 3 |- ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ )
25	23, 24	impbid1 142	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
26		nn0ob 12594	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
27	3, 25, 26	3bitrd 214	1 |- ( N e. NN0 -> ( -. 2 || N <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2203   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050   RRcr 8126   0cc0 8127   1c1 8128   + caddc 8130   < clt 8308   <_ cle 8309   - cmin 8444   / cdiv 8946   2c2 9288   NN0cn0 9496   ZZcz 9577   || cdvds 12473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-dvds 12474

This theorem is referenced by:  lgsval  15877  lgsfvalg  15878  gausslemma2dlem6  15940