Theorem nn0oddm1d2 12533

Description: A positive integer is odd iff its predecessor divided by 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 28-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nn0oddm1d2	|- ( N e. NN0 -> ( -. 2 || N <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )

Proof of Theorem nn0oddm1d2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 9543	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
2		oddp1d2 12514	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( -. 2 || N <-> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
4		nn0re 9453	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
5		1red 8237	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> 1 e. RR )
6		nn0ge0 9469	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
7		0le1 8703	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ 1
8	7	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ 1 )
9	4, 5, 6, 8	addge0d 8744	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ ( N + 1 ) )
10		peano2nn0 9484	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
11	10	nn0red 9500	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. RR )
12		2re 9255	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
13	12	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> 2 e. RR )
14		2pos 9276	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 2
15	14	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> 0 < 2 )
16		ge0div 9093	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N + 1 ) e. RR /\ 2 e. RR /\ 0 < 2 ) -> ( 0 <_ ( N + 1 ) <-> 0 <_ ( ( N + 1 ) / 2 ) ) )
17	11, 13, 15, 16	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( 0 <_ ( N + 1 ) <-> 0 <_ ( ( N + 1 ) / 2 ) ) )
18	9, 17	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ ( ( N + 1 ) / 2 ) )
19	18	anim1i 340	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( 0 <_ ( ( N + 1 ) / 2 ) /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
20	19	ancomd 267	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( N + 1 ) / 2 ) ) )
21		elnn0z 9536	. . . . 5 |- ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 <-> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( N + 1 ) / 2 ) ) )
22	20, 21	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 )
23	22	ex 115	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
24		nn0z 9543	. . 3 |- ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ )
25	23, 24	impbid1 142	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
26		nn0ob 12532	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
27	3, 25, 26	3bitrd 214	1 |- ( N e. NN0 -> ( -. 2 || N <-> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   RRcr 8074   0cc0 8075   1c1 8076   + caddc 8078   < clt 8256   <_ cle 8257   - cmin 8392   / cdiv 8894   2c2 9236   NN0cn0 9444   ZZcz 9523   || cdvds 12411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-dvds 12412

This theorem is referenced by:  lgsval  15806  lgsfvalg  15807  gausslemma2dlem6  15869