Theorem nndiv 8978

Description: Two ways to express " A divides B " for positive integers. (Contributed by NM, 3-Feb-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nndiv	|- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( E. x e. NN ( A x. x ) = B <-> ( B / A ) e. NN ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem nndiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		risset 2518	. 2 |- ( ( B / A ) e. NN <-> E. x e. NN x = ( B / A ) )
2		eqcom 2191	. . . 4 |- ( x = ( B / A ) <-> ( B / A ) = x )
3		nncn 8945	. . . . . 6 |- ( B e. NN -> B e. CC )
4	3	ad2antlr 489	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN ) /\ x e. NN ) -> B e. CC )
5		nncn 8945	. . . . . 6 |- ( A e. NN -> A e. CC )
6	5	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN ) /\ x e. NN ) -> A e. CC )
7		nncn 8945	. . . . . 6 |- ( x e. NN -> x e. CC )
8	7	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN ) /\ x e. NN ) -> x e. CC )
9		nnap0 8966	. . . . . 6 |- ( A e. NN -> A # 0 )
10	9	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN ) /\ x e. NN ) -> A # 0 )
11	4, 6, 8, 10	divmulapd 8787	. . . 4 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN ) /\ x e. NN ) -> ( ( B / A ) = x <-> ( A x. x ) = B ) )
12	2, 11	bitrid 192	. . 3 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN ) /\ x e. NN ) -> ( x = ( B / A ) <-> ( A x. x ) = B ) )
13	12	rexbidva 2487	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( E. x e. NN x = ( B / A ) <-> E. x e. NN ( A x. x ) = B ) )
14	1, 13	bitr2id 193	1 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( E. x e. NN ( A x. x ) = B <-> ( B / A ) e. NN ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160   E.wrex 2469   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891   CCcc 7827   0cc0 7829   x. cmul 7834   # cap 8556   / cdiv 8647   NNcn 8937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-pre-mulext 7947

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-div 8648  df-inn 8938

This theorem is referenced by:  nndivides  11822