ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnap0 Unicode version

Theorem nnap0 8706
Description: A positive integer is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnap0  |-  ( A  e.  NN  ->  A #  0 )

Proof of Theorem nnap0
StepHypRef Expression
1 nnre 8684 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
2 nngt0 8702 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )
31, 2gt0ap0d 8354 1  |-  ( A  e.  NN  ->  A #  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1463   class class class wbr 3897   0cc0 7584   # cap 8306   NNcn 8677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-inn 8678
This theorem is referenced by:  nndivre  8713  nndiv  8718  nndivtr  8719  nnap0d  8723  zdiv  9090  zdivadd  9091  zdivmul  9092  divfnzn  9362  qmulz  9364  qre  9366  qaddcl  9376  qnegcl  9377  qmulcl  9378  qapne  9380  nn0ledivnn  9494  flqdiv  10034  facdiv  10424  caucvgrelemcau  10692  expcnvap0  11211  ef0lem  11265  qredeq  11673  qredeu  11674  divgcdcoprm0  11678  isprm6  11721  sqrt2irr  11736  hashgcdlem  11798
  Copyright terms: Public domain W3C validator