Theorem nndiv 9324

Description: Two ways to express "𝐴 divides 𝐵 " for positive integers. (Contributed by NM, 3-Feb-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nndiv	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 · 𝑥) = 𝐵 ↔ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℕ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nndiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		risset 2578	. 2 ⊢ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℕ ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴))
2		eqcom 2240	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐵 / 𝐴) ↔ (𝐵 / 𝐴) = 𝑥)
3		nncn 9291	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
4	3	ad2antlr 493	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		nncn 9291	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
6	5	ad2antrr 492	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		nncn 9291	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
8	7	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℂ)
9		nnap0 9312	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 # 0)
10	9	ad2antrr 492	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝐴 # 0)
11	4, 6, 8, 10	divmulapd 9132	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐵 / 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 · 𝑥) = 𝐵))
12	2, 11	bitrid 192	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 = (𝐵 / 𝐴) ↔ (𝐴 · 𝑥) = 𝐵))
13	12	rexbidva 2547	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑥 ∈ ℕ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 · 𝑥) = 𝐵))
14	1, 13	bitr2id 193	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 · 𝑥) = 𝐵 ↔ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075  ℂcc 8167  0cc0 8169   · cmul 8174   # cap 8899   / cdiv 8992  ℕcn 9283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284

This theorem is referenced by:  nndivides  12542