ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nndiv GIF version

Theorem nndiv 8989
Description: Two ways to express "𝐴 divides 𝐵 " for positive integers. (Contributed by NM, 3-Feb-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nndiv ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 · 𝑥) = 𝐵 ↔ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℕ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nndiv
StepHypRef Expression
1 risset 2518 . 2 ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℕ ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴))
2 eqcom 2191 . . . 4 (𝑥 = (𝐵 / 𝐴) ↔ (𝐵 / 𝐴) = 𝑥)
3 nncn 8956 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
43ad2antlr 489 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
5 nncn 8956 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
65ad2antrr 488 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
7 nncn 8956 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
87adantl 277 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℂ)
9 nnap0 8977 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 # 0)
109ad2antrr 488 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝐴 # 0)
114, 6, 8, 10divmulapd 8798 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐵 / 𝐴) = 𝑥 ↔ (𝐴 · 𝑥) = 𝐵))
122, 11bitrid 192 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 = (𝐵 / 𝐴) ↔ (𝐴 · 𝑥) = 𝐵))
1312rexbidva 2487 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑥 ∈ ℕ 𝑥 = (𝐵 / 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 · 𝑥) = 𝐵))
141, 13bitr2id 193 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 · 𝑥) = 𝐵 ↔ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℕ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1364  wcel 2160  wrex 2469   class class class wbr 4018  (class class class)co 5895  cc 7838  0cc0 7840   · cmul 7845   # cap 8567   / cdiv 8658  cn 8948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-mulrcl 7939  ax-addcom 7940  ax-mulcom 7941  ax-addass 7942  ax-mulass 7943  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-1rid 7947  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-precex 7950  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-apti 7955  ax-pre-ltadd 7956  ax-pre-mulgt0 7957  ax-pre-mulext 7958
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160  df-reap 8561  df-ap 8568  df-div 8659  df-inn 8949
This theorem is referenced by:  nndivides  11835
  Copyright terms: Public domain W3C validator