Theorem nndivides 11823

Description: Definition of the divides relation for positive integers. (Contributed by AV, 26-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nndivides	|- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M || N <-> E. n e. NN ( n x. M ) = N ) )

Distinct variable groups:   n, M   n, N

Proof of Theorem nndivides

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndiv 8979	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( E. n e. NN ( M x. n ) = N <-> ( N / M ) e. NN ) )
2		nncn 8946	. . . . . 6 |- ( n e. NN -> n e. CC )
3	2	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) -> n e. CC )
4		nncn 8946	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> M e. CC )
5	4	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) -> M e. CC )
6	3, 5	mulcomd 7998	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) -> ( n x. M ) = ( M x. n ) )
7	6	eqeq1d 2198	. . 3 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) -> ( ( n x. M ) = N <-> ( M x. n ) = N ) )
8	7	rexbidva 2487	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( E. n e. NN ( n x. M ) = N <-> E. n e. NN ( M x. n ) = N ) )
9		nndivdvds 11822	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( M || N <-> ( N / M ) e. NN ) )
10	9	ancoms 268	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M || N <-> ( N / M ) e. NN ) )
11	1, 8, 10	3bitr4rd 221	1 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M || N <-> E. n e. NN ( n x. M ) = N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160   E.wrex 2469   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891   CCcc 7828   x. cmul 7835   / cdiv 8648   NNcn 8938   || cdvds 11813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649  df-inn 8939  df-n0 9196  df-z 9273  df-dvds 11814

This theorem is referenced by:  oddprmdvds  12371