Theorem nndivides 11817

Description: Definition of the divides relation for positive integers. (Contributed by AV, 26-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nndivides	|- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M || N <-> E. n e. NN ( n x. M ) = N ) )

Distinct variable groups:   n, M   n, N

Proof of Theorem nndivides

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndiv 8973	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( E. n e. NN ( M x. n ) = N <-> ( N / M ) e. NN ) )
2		nncn 8940	. . . . . 6 |- ( n e. NN -> n e. CC )
3	2	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) -> n e. CC )
4		nncn 8940	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> M e. CC )
5	4	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) -> M e. CC )
6	3, 5	mulcomd 7992	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) -> ( n x. M ) = ( M x. n ) )
7	6	eqeq1d 2196	. . 3 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) -> ( ( n x. M ) = N <-> ( M x. n ) = N ) )
8	7	rexbidva 2484	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( E. n e. NN ( n x. M ) = N <-> E. n e. NN ( M x. n ) = N ) )
9		nndivdvds 11816	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( M || N <-> ( N / M ) e. NN ) )
10	9	ancoms 268	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M || N <-> ( N / M ) e. NN ) )
11	1, 8, 10	3bitr4rd 221	1 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M || N <-> E. n e. NN ( n x. M ) = N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1363   e. wcel 2158   E.wrex 2466   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888   CCcc 7822   x. cmul 7829   / cdiv 8642   NNcn 8932   || cdvds 11807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-n0 9190  df-z 9267  df-dvds 11808

This theorem is referenced by:  oddprmdvds  12365