Theorem nndivides 12357

Description: Definition of the divides relation for positive integers. (Contributed by AV, 26-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nndivides	|- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M || N <-> E. n e. NN ( n x. M ) = N ) )

Distinct variable groups:   n, M   n, N

Proof of Theorem nndivides

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndiv 9183	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( E. n e. NN ( M x. n ) = N <-> ( N / M ) e. NN ) )
2		nncn 9150	. . . . . 6 |- ( n e. NN -> n e. CC )
3	2	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) -> n e. CC )
4		nncn 9150	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> M e. CC )
5	4	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) -> M e. CC )
6	3, 5	mulcomd 8200	. . . 4 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) -> ( n x. M ) = ( M x. n ) )
7	6	eqeq1d 2240	. . 3 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN ) /\ n e. NN ) -> ( ( n x. M ) = N <-> ( M x. n ) = N ) )
8	7	rexbidva 2529	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( E. n e. NN ( n x. M ) = N <-> E. n e. NN ( M x. n ) = N ) )
9		nndivdvds 12356	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ M e. NN ) -> ( M || N <-> ( N / M ) e. NN ) )
10	9	ancoms 268	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M || N <-> ( N / M ) e. NN ) )
11	1, 8, 10	3bitr4rd 221	1 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M || N <-> E. n e. NN ( n x. M ) = N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   E.wrex 2511   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017   CCcc 8029   x. cmul 8036   / cdiv 8851   NNcn 9142   || cdvds 12347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-dvds 12348

This theorem is referenced by:  oddprmdvds  12926