ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nndivides Unicode version

Theorem nndivides 11823
Description: Definition of the divides relation for positive integers. (Contributed by AV, 26-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
nndivides  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  ||  N  <->  E. n  e.  NN  (
n  x.  M )  =  N ) )
Distinct variable groups:    n, M    n, N

Proof of Theorem nndivides
StepHypRef Expression
1 nndiv 8979 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  NN  ( M  x.  n )  =  N  <-> 
( N  /  M
)  e.  NN ) )
2 nncn 8946 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
32adantl 277 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  CC )
4 nncn 8946 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
54ad2antrr 488 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  M  e.  CC )
63, 5mulcomd 7998 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  x.  M )  =  ( M  x.  n ) )
76eqeq1d 2198 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  x.  M )  =  N  <->  ( M  x.  n )  =  N ) )
87rexbidva 2487 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  NN  ( n  x.  M )  =  N  <->  E. n  e.  NN  ( M  x.  n
)  =  N ) )
9 nndivdvds 11822 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( M  ||  N  <->  ( N  /  M )  e.  NN ) )
109ancoms 268 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  ||  N  <->  ( N  /  M )  e.  NN ) )
111, 8, 103bitr4rd 221 1  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  ||  N  <->  E. n  e.  NN  (
n  x.  M )  =  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1364    e. wcel 2160   E.wrex 2469   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891   CCcc 7828    x. cmul 7835    / cdiv 8648   NNcn 8938    || cdvds 11813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649  df-inn 8939  df-n0 9196  df-z 9273  df-dvds 11814
This theorem is referenced by:  oddprmdvds  12371
  Copyright terms: Public domain W3C validator