Theorem dvdsdc 11963

Description: Divisibility is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsdc	|- ( ( M e. NN /\ N e. ZZ ) -> DECID M || N )

Proof of Theorem dvdsdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
2		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. ZZ ) -> M e. NN )
3	1, 2	zmodcld 10437	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( N mod M ) e. NN0 )
4	3	nn0zd 9446	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( N mod M ) e. ZZ )
5		0z 9337	. . 3 |- 0 e. ZZ
6		zdceq 9401	. . 3 |- ( ( ( N mod M ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID ( N mod M ) = 0 )
7	4, 5, 6	sylancl 413	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. ZZ ) -> DECID ( N mod M ) = 0 )
8		dvdsval3 11956	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( N mod M ) = 0 ) )
9	8	dcbid 839	. 2 |- ( ( M e. NN /\ N e. ZZ ) -> (DECID M || N <-> DECID ( N mod M ) = 0 ) )
10	7, 9	mpbird 167	1 |- ( ( M e. NN /\ N e. ZZ ) -> DECID M || N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922   0cc0 7879   NNcn 8990   ZZcz 9326   mod cmo 10414   || cdvds 11952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-q 9694  df-rp 9729  df-fl 10360  df-mod 10415  df-dvds 11953

This theorem is referenced by:  zdvdsdc  11977  gcdsupex  12124  gcdsupcl  12125  prmind2  12288  prmdc  12298  divgcdodd  12311  euclemma  12314  pw2dvdslemn  12333  hashdvds  12389  fermltl  12402  dvdsfi  12407  hashgcdeq  12408  odzcllem  12411  odzdvds  12414  fldivp1  12517  prmpwdvds  12524  infpnlem2  12529  lgslem4  15244  lgsval  15245  lgsfvalg  15246  lgsfcl2  15247  lgsval2lem  15251  lgsmod  15267  lgsdir2  15274  lgsne0  15279  gausslemma2dlem1a  15299  lgsquadlemofi  15317  lgsquadlem2  15319  m1lgs  15326