Theorem nninfnfiinf 16801

Description: An element of ℕ_∞ which is not finite is infinite. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nninfnfiinf	|- ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) -> A = ( i e. om |-> 1o ) )

Distinct variable group:   A, i, n

Proof of Theorem nninfnfiinf

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 529	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) -> -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
2		simplll 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( A ` j ) = (/) ) -> A e. ℕ∞ )
3		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( A ` j ) = (/) ) -> j e. om )
4		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( A ` j ) = (/) ) -> ( A ` j ) = (/) )
5	2, 3, 4	nnnninfex 16800	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( A ` j ) = (/) ) -> E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
6	1, 5	mtand 671	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) -> -. ( A ` j ) = (/) )
7		nninff 7413	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ℕ∞ -> A : om --> 2o )
8	7	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) -> A : om --> 2o )
9		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) -> j e. om )
10	8, 9	ffvelcdmd 5813	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) -> ( A ` j ) e. 2o )
11		df2o3 6662	. . . . . . . 8 |- 2o = { (/) , 1o }
12	10, 11	eleqtrdi 2325	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) -> ( A ` j ) e. { (/) , 1o } )
13		elpri 3712	. . . . . . 7 |- ( ( A ` j ) e. { (/) , 1o } -> ( ( A ` j ) = (/) \/ ( A ` j ) = 1o ) )
14	12, 13	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) -> ( ( A ` j ) = (/) \/ ( A ` j ) = 1o ) )
15	14	orcomd 737	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) -> ( ( A ` j ) = 1o \/ ( A ` j ) = (/) ) )
16	6, 15	ecased 1386	. . . 4 |- ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) -> ( A ` j ) = 1o )
17		fconstmpt 4797	. . . . . . 7 |- ( om X. { 1o } ) = ( i e. om |-> 1o )
18	17	fveq1i 5671	. . . . . 6 |- ( ( om X. { 1o } ) ` j ) = ( ( i e. om |-> 1o ) ` j )
19		1oex 6655	. . . . . . 7 |- 1o e. _V
20	19	fvconst2 5900	. . . . . 6 |- ( j e. om -> ( ( om X. { 1o } ) ` j ) = 1o )
21	18, 20	eqtr3id 2279	. . . . 5 |- ( j e. om -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) = 1o )
22	21	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) = 1o )
23	16, 22	eqtr4d 2268	. . 3 |- ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) -> ( A ` j ) = ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) )
24	23	ralrimiva 2615	. 2 |- ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) -> A. j e. om ( A ` j ) = ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) )
25	7	ffnd 5509	. . . 4 |- ( A e. ℕ∞ -> A Fn om )
26		eqid 2232	. . . . 5 |- ( i e. om |-> 1o ) = ( i e. om |-> 1o )
27	19, 26	fnmpti 5487	. . . 4 |- ( i e. om |-> 1o ) Fn om
28		eqfnfv 5775	. . . 4 |- ( ( A Fn om /\ ( i e. om |-> 1o ) Fn om ) -> ( A = ( i e. om |-> 1o ) <-> A. j e. om ( A ` j ) = ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) ) )
29	25, 27, 28	sylancl 413	. . 3 |- ( A e. ℕ∞ -> ( A = ( i e. om |-> 1o ) <-> A. j e. om ( A ` j ) = ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) ) )
30	29	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) -> ( A = ( i e. om |-> 1o ) <-> A. j e. om ( A ` j ) = ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) ) )
31	24, 30	mpbird 167	1 |- ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) -> A = ( i e. om |-> 1o ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   E.wrex 2521   (/)c0 3508   ifcif 3620   {csn 3689   {cpr 3690   |-> cmpt 4171   omcom 4712   X. cxp 4747   Fn wfn 5347   -->wf 5348   ` cfv 5352   1oc1o 6640   2oc2o 6641  ℕ_∞xnninf 7410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1o 6647  df-2o 6648  df-map 6884  df-nninf 7411

This theorem is referenced by: (None)