Theorem nninfnfiinf 17066

Description: An element of ℕ_∞ which is not finite is infinite. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nninfnfiinf	|- ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) -> A = ( i e. om |-> 1o ) )

Distinct variable group:   A, i, n

Proof of Theorem nninfnfiinf

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 533	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) -> -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
2		simplll 539	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( A ` j ) = (/) ) -> A e. ℕ∞ )
3		simplr 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( A ` j ) = (/) ) -> j e. om )
4		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( A ` j ) = (/) ) -> ( A ` j ) = (/) )
5	2, 3, 4	nnnninfex 17065	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( A ` j ) = (/) ) -> E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
6	1, 5	mtand 675	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) -> -. ( A ` j ) = (/) )
7		nninff 7462	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ℕ∞ -> A : om --> 2o )
8	7	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) -> A : om --> 2o )
9		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) -> j e. om )
10	8, 9	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) -> ( A ` j ) e. 2o )
11		df2o3 6702	. . . . . . . 8 |- 2o = { (/) , 1o }
12	10, 11	eleqtrdi 2331	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) -> ( A ` j ) e. { (/) , 1o } )
13		elpri 3732	. . . . . . 7 |- ( ( A ` j ) e. { (/) , 1o } -> ( ( A ` j ) = (/) \/ ( A ` j ) = 1o ) )
14	12, 13	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) -> ( ( A ` j ) = (/) \/ ( A ` j ) = 1o ) )
15	14	orcomd 741	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) -> ( ( A ` j ) = 1o \/ ( A ` j ) = (/) ) )
16	6, 15	ecased 1390	. . . 4 |- ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) -> ( A ` j ) = 1o )
17		fconstmpt 4822	. . . . . . 7 |- ( om X. { 1o } ) = ( i e. om |-> 1o )
18	17	fveq1i 5696	. . . . . 6 |- ( ( om X. { 1o } ) ` j ) = ( ( i e. om |-> 1o ) ` j )
19		1oex 6695	. . . . . . 7 |- 1o e. _V
20	19	fvconst2 5931	. . . . . 6 |- ( j e. om -> ( ( om X. { 1o } ) ` j ) = 1o )
21	18, 20	eqtr3id 2285	. . . . 5 |- ( j e. om -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) = 1o )
22	21	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) = 1o )
23	16, 22	eqtr4d 2274	. . 3 |- ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) -> ( A ` j ) = ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) )
24	23	ralrimiva 2623	. 2 |- ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) -> A. j e. om ( A ` j ) = ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) )
25	7	ffnd 5534	. . . 4 |- ( A e. ℕ∞ -> A Fn om )
26		eqid 2238	. . . . 5 |- ( i e. om |-> 1o ) = ( i e. om |-> 1o )
27	19, 26	fnmpti 5512	. . . 4 |- ( i e. om |-> 1o ) Fn om
28		eqfnfv 5806	. . . 4 |- ( ( A Fn om /\ ( i e. om |-> 1o ) Fn om ) -> ( A = ( i e. om |-> 1o ) <-> A. j e. om ( A ` j ) = ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) ) )
29	25, 27, 28	sylancl 417	. . 3 |- ( A e. ℕ∞ -> ( A = ( i e. om |-> 1o ) <-> A. j e. om ( A ` j ) = ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) ) )
30	29	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) -> ( A = ( i e. om |-> 1o ) <-> A. j e. om ( A ` j ) = ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) ) )
31	24, 30	mpbird 167	1 |- ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) -> A = ( i e. om |-> 1o ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   (/)c0 3520   ifcif 3638   {csn 3709   {cpr 3710   |-> cmpt 4192   omcom 4737   X. cxp 4772   Fn wfn 5372   -->wf 5373   ` cfv 5377   1oc1o 6680   2oc2o 6681  ℕ_∞xnninf 7459

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1o 6687  df-2o 6688  df-map 6924  df-nninf 7460

This theorem is used by: (None)