Theorem nninfnfiinf 16348

Description: An element of ℕ_∞ which is not finite is infinite. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nninfnfiinf	|- ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) -> A = ( i e. om |-> 1o ) )

Distinct variable group:   A, i, n

Proof of Theorem nninfnfiinf

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) -> -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
2		simplll 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( A ` j ) = (/) ) -> A e. ℕ∞ )
3		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( A ` j ) = (/) ) -> j e. om )
4		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( A ` j ) = (/) ) -> ( A ` j ) = (/) )
5	2, 3, 4	nnnninfex 16347	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) /\ ( A ` j ) = (/) ) -> E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
6	1, 5	mtand 669	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) -> -. ( A ` j ) = (/) )
7		nninff 7285	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ℕ∞ -> A : om --> 2o )
8	7	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) -> A : om --> 2o )
9		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) -> j e. om )
10	8, 9	ffvelcdmd 5770	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) -> ( A ` j ) e. 2o )
11		df2o3 6574	. . . . . . . 8 |- 2o = { (/) , 1o }
12	10, 11	eleqtrdi 2322	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) -> ( A ` j ) e. { (/) , 1o } )
13		elpri 3689	. . . . . . 7 |- ( ( A ` j ) e. { (/) , 1o } -> ( ( A ` j ) = (/) \/ ( A ` j ) = 1o ) )
14	12, 13	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) -> ( ( A ` j ) = (/) \/ ( A ` j ) = 1o ) )
15	14	orcomd 734	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) -> ( ( A ` j ) = 1o \/ ( A ` j ) = (/) ) )
16	6, 15	ecased 1383	. . . 4 |- ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) -> ( A ` j ) = 1o )
17		fconstmpt 4765	. . . . . . 7 |- ( om X. { 1o } ) = ( i e. om |-> 1o )
18	17	fveq1i 5627	. . . . . 6 |- ( ( om X. { 1o } ) ` j ) = ( ( i e. om |-> 1o ) ` j )
19		1oex 6568	. . . . . . 7 |- 1o e. _V
20	19	fvconst2 5854	. . . . . 6 |- ( j e. om -> ( ( om X. { 1o } ) ` j ) = 1o )
21	18, 20	eqtr3id 2276	. . . . 5 |- ( j e. om -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) = 1o )
22	21	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) -> ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) = 1o )
23	16, 22	eqtr4d 2265	. . 3 |- ( ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) /\ j e. om ) -> ( A ` j ) = ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) )
24	23	ralrimiva 2603	. 2 |- ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) -> A. j e. om ( A ` j ) = ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) )
25	7	ffnd 5473	. . . 4 |- ( A e. ℕ∞ -> A Fn om )
26		eqid 2229	. . . . 5 |- ( i e. om |-> 1o ) = ( i e. om |-> 1o )
27	19, 26	fnmpti 5451	. . . 4 |- ( i e. om |-> 1o ) Fn om
28		eqfnfv 5731	. . . 4 |- ( ( A Fn om /\ ( i e. om |-> 1o ) Fn om ) -> ( A = ( i e. om |-> 1o ) <-> A. j e. om ( A ` j ) = ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) ) )
29	25, 27, 28	sylancl 413	. . 3 |- ( A e. ℕ∞ -> ( A = ( i e. om |-> 1o ) <-> A. j e. om ( A ` j ) = ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) ) )
30	29	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) -> ( A = ( i e. om |-> 1o ) <-> A. j e. om ( A ` j ) = ( ( i e. om |-> 1o ) ` j ) ) )
31	24, 30	mpbird 167	1 |- ( ( A e. ℕ∞ /\ -. E. n e. om A = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) -> A = ( i e. om |-> 1o ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   (/)c0 3491   ifcif 3602   {csn 3666   {cpr 3667   |-> cmpt 4144   omcom 4681   X. cxp 4716   Fn wfn 5312   -->wf 5313   ` cfv 5317   1oc1o 6553   2oc2o 6554  ℕ_∞xnninf 7282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1o 6560  df-2o 6561  df-map 6795  df-nninf 7283

This theorem is referenced by: (None)