Theorem nnnninfex 16970

Description: If an element of ℕ_∞ has a value of zero somewhere, then it is the mapping of a natural number. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnnninfex.p	|- ( ph -> P e. ℕ∞ )
nnnninfex.n	|- ( ph -> N e. om )
nnnninfex.0	|- ( ph -> ( P ` N ) = (/) )

Assertion

Ref	Expression
nnnninfex	|- ( ph -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )

Distinct variable group:   P, i, n

Allowed substitution hints:   ph( i, n)   N( i, n)

Proof of Theorem nnnninfex

Dummy variables w j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnninfex.n	. 2 |- ( ph -> N e. om )
2		nnnninfex.p	. . 3 |- ( ph -> P e. ℕ∞ )
3		nnnninfex.0	. . 3 |- ( ph -> ( P ` N ) = (/) )
4	2, 3	jca 306	. 2 |- ( ph -> ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` N ) = (/) ) )
5		fveqeq2 5699	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( P ` w ) = (/) <-> ( P ` (/) ) = (/) ) )
6	5	anbi2d 468	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` w ) = (/) ) <-> ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` (/) ) = (/) ) ) )
7	6	imbi1d 231	. . 3 |- ( w = (/) -> ( ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` w ) = (/) ) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) <-> ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` (/) ) = (/) ) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) )
8		fveqeq2 5699	. . . . 5 |- ( w = k -> ( ( P ` w ) = (/) <-> ( P ` k ) = (/) ) )
9	8	anbi2d 468	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` w ) = (/) ) <-> ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` k ) = (/) ) ) )
10	9	imbi1d 231	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` w ) = (/) ) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) <-> ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` k ) = (/) ) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) )
11		fveqeq2 5699	. . . . 5 |- ( w = suc k -> ( ( P ` w ) = (/) <-> ( P ` suc k ) = (/) ) )
12	11	anbi2d 468	. . . 4 |- ( w = suc k -> ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` w ) = (/) ) <-> ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` suc k ) = (/) ) ) )
13	12	imbi1d 231	. . 3 |- ( w = suc k -> ( ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` w ) = (/) ) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) <-> ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` suc k ) = (/) ) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) )
14		fveqeq2 5699	. . . . 5 |- ( w = N -> ( ( P ` w ) = (/) <-> ( P ` N ) = (/) ) )
15	14	anbi2d 468	. . . 4 |- ( w = N -> ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` w ) = (/) ) <-> ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` N ) = (/) ) ) )
16	15	imbi1d 231	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` w ) = (/) ) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) <-> ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` N ) = (/) ) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) )
17		peano1 4736	. . . 4 |- (/) e. om
18		simpll 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` (/) ) = (/) ) /\ j e. om ) -> P e. ℕ∞ )
19	17	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` (/) ) = (/) ) /\ j e. om ) -> (/) e. om )
20		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` (/) ) = (/) ) /\ j e. om ) -> j e. om )
21		0ss 3561	. . . . . . . . 9 |- (/) C_ j
22	21	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` (/) ) = (/) ) /\ j e. om ) -> (/) C_ j )
23		simplr 533	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` (/) ) = (/) ) /\ j e. om ) -> ( P ` (/) ) = (/) )
24	18, 19, 20, 22, 23	nninfninc 7453	. . . . . . 7 |- ( ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` (/) ) = (/) ) /\ j e. om ) -> ( P ` j ) = (/) )
25		noel 3525	. . . . . . . . . 10 |- -. i e. (/)
26	25	iffalsei 3646	. . . . . . . . 9 |- if ( i e. (/) , 1o , (/) ) = (/)
27	26	mpteq2i 4213	. . . . . . . 8 |- ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> (/) )
28		eqidd 2239	. . . . . . . 8 |- ( i = j -> (/) = (/) )
29	27, 28, 20, 19	fvmptd3 5793	. . . . . . 7 |- ( ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` (/) ) = (/) ) /\ j e. om ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ` j ) = (/) )
30	24, 29	eqtr4d 2274	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` (/) ) = (/) ) /\ j e. om ) -> ( P ` j ) = ( ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ` j ) )
31	30	ralrimiva 2623	. . . . 5 |- ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` (/) ) = (/) ) -> A. j e. om ( P ` j ) = ( ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ` j ) )
32		nninff 7452	. . . . . . . 8 |- ( P e. ℕ∞ -> P : om --> 2o )
33	32	ffnd 5529	. . . . . . 7 |- ( P e. ℕ∞ -> P Fn om )
34	33	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` (/) ) = (/) ) -> P Fn om )
35		1oex 6685	. . . . . . . 8 |- 1o e. _V
36		0ex 4255	. . . . . . . 8 |- (/) e. _V
37	35, 36	ifex 4627	. . . . . . 7 |- if ( i e. (/) , 1o , (/) ) e. _V
38		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) )
39	37, 38	fnmpti 5507	. . . . . 6 |- ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) Fn om
40		eqfnfv 5797	. . . . . 6 |- ( ( P Fn om /\ ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) Fn om ) -> ( P = ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) <-> A. j e. om ( P ` j ) = ( ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ` j ) ) )
41	34, 39, 40	sylancl 417	. . . . 5 |- ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` (/) ) = (/) ) -> ( P = ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) <-> A. j e. om ( P ` j ) = ( ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ` j ) ) )
42	31, 41	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` (/) ) = (/) ) -> P = ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) )
43		eleq2 2302	. . . . . . 7 |- ( n = (/) -> ( i e. n <-> i e. (/) ) )
44	43	ifbid 3659	. . . . . 6 |- ( n = (/) -> if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. (/) , 1o , (/) ) )
45	44	mpteq2dv 4217	. . . . 5 |- ( n = (/) -> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) )
46	45	rspceeqv 2948	. . . 4 |- ( ( (/) e. om /\ P = ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
47	17, 42, 46	sylancr 418	. . 3 |- ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` (/) ) = (/) ) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
48		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( k e. om /\ P e. ℕ∞ ) /\ ( ( P ` k ) = (/) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) /\ ( P ` suc k ) = (/) ) /\ ( P ` k ) = (/) ) -> ( P ` k ) = (/) )
49		simpllr 540	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( k e. om /\ P e. ℕ∞ ) /\ ( ( P ` k ) = (/) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) /\ ( P ` suc k ) = (/) ) /\ ( P ` k ) = (/) ) -> ( ( P ` k ) = (/) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) )
50	48, 49	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( k e. om /\ P e. ℕ∞ ) /\ ( ( P ` k ) = (/) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) /\ ( P ` suc k ) = (/) ) /\ ( P ` k ) = (/) ) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
51		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. om /\ P e. ℕ∞ ) -> k e. om )
52	51	ad3antrrr 496	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( k e. om /\ P e. ℕ∞ ) /\ ( ( P ` k ) = (/) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) /\ ( P ` suc k ) = (/) ) /\ ( P ` k ) = 1o ) -> k e. om )
53		peano2 4737	. . . . . . . . 9 |- ( k e. om -> suc k e. om )
54	52, 53	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( k e. om /\ P e. ℕ∞ ) /\ ( ( P ` k ) = (/) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) /\ ( P ` suc k ) = (/) ) /\ ( P ` k ) = 1o ) -> suc k e. om )
55		simpllr 540	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( k e. om /\ P e. ℕ∞ ) /\ ( P ` suc k ) = (/) ) /\ ( P ` k ) = 1o ) -> P e. ℕ∞ )
56	53	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( k e. om /\ P e. ℕ∞ ) /\ ( P ` suc k ) = (/) ) /\ ( P ` k ) = 1o ) -> suc k e. om )
57		nnord 4754	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. om -> Ord k )
58		ordtr 4518	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Ord k -> Tr k )
59	57, 58	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. om -> Tr k )
60		unisucg 4554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. om -> ( Tr k <-> U. suc k = k ) )
61	59, 60	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. om -> U. suc k = k )
62	61	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. om -> ( P ` U. suc k ) = ( P ` k ) )
63	62	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( k e. om /\ P e. ℕ∞ ) /\ ( P ` suc k ) = (/) ) /\ ( P ` k ) = 1o ) -> ( P ` U. suc k ) = ( P ` k ) )
64		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( k e. om /\ P e. ℕ∞ ) /\ ( P ` suc k ) = (/) ) /\ ( P ` k ) = 1o ) -> ( P ` k ) = 1o )
65	63, 64	eqtrd 2271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( k e. om /\ P e. ℕ∞ ) /\ ( P ` suc k ) = (/) ) /\ ( P ` k ) = 1o ) -> ( P ` U. suc k ) = 1o )
66		simplr 533	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( k e. om /\ P e. ℕ∞ ) /\ ( P ` suc k ) = (/) ) /\ ( P ` k ) = 1o ) -> ( P ` suc k ) = (/) )
67	55, 56, 65, 66	nnnninfeq2 7459	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( k e. om /\ P e. ℕ∞ ) /\ ( P ` suc k ) = (/) ) /\ ( P ` k ) = 1o ) -> P = ( i e. om |-> if ( i e. suc k , 1o , (/) ) ) )
68	67	adantllr 485	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( k e. om /\ P e. ℕ∞ ) /\ ( ( P ` k ) = (/) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) /\ ( P ` suc k ) = (/) ) /\ ( P ` k ) = 1o ) -> P = ( i e. om |-> if ( i e. suc k , 1o , (/) ) ) )
69		eleq2 2302	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = suc k -> ( i e. n <-> i e. suc k ) )
70	69	ifbid 3659	. . . . . . . . . 10 |- ( n = suc k -> if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. suc k , 1o , (/) ) )
71	70	mpteq2dv 4217	. . . . . . . . 9 |- ( n = suc k -> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. suc k , 1o , (/) ) ) )
72	71	rspceeqv 2948	. . . . . . . 8 |- ( ( suc k e. om /\ P = ( i e. om |-> if ( i e. suc k , 1o , (/) ) ) ) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
73	54, 68, 72	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( k e. om /\ P e. ℕ∞ ) /\ ( ( P ` k ) = (/) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) /\ ( P ` suc k ) = (/) ) /\ ( P ` k ) = 1o ) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
74	32	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. om /\ P e. ℕ∞ ) -> P : om --> 2o )
75	74, 51	ffvelcdmd 5835	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. om /\ P e. ℕ∞ ) -> ( P ` k ) e. 2o )
76		df2o3 6692	. . . . . . . . . 10 |- 2o = { (/) , 1o }
77	75, 76	eleqtrdi 2331	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. om /\ P e. ℕ∞ ) -> ( P ` k ) e. { (/) , 1o } )
78		elpri 3728	. . . . . . . . 9 |- ( ( P ` k ) e. { (/) , 1o } -> ( ( P ` k ) = (/) \/ ( P ` k ) = 1o ) )
79	77, 78	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. om /\ P e. ℕ∞ ) -> ( ( P ` k ) = (/) \/ ( P ` k ) = 1o ) )
80	79	ad2antrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( k e. om /\ P e. ℕ∞ ) /\ ( ( P ` k ) = (/) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) /\ ( P ` suc k ) = (/) ) -> ( ( P ` k ) = (/) \/ ( P ` k ) = 1o ) )
81	50, 73, 80	mpjaodan 810	. . . . . 6 |- ( ( ( ( k e. om /\ P e. ℕ∞ ) /\ ( ( P ` k ) = (/) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) /\ ( P ` suc k ) = (/) ) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
82	81	exp41 370	. . . . 5 |- ( k e. om -> ( P e. ℕ∞ -> ( ( ( P ` k ) = (/) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) -> ( ( P ` suc k ) = (/) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) ) )
83	82	a2d 26	. . . 4 |- ( k e. om -> ( ( P e. ℕ∞ -> ( ( P ` k ) = (/) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) -> ( P e. ℕ∞ -> ( ( P ` suc k ) = (/) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) ) )
84		impexp 263	. . . 4 |- ( ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` k ) = (/) ) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) <-> ( P e. ℕ∞ -> ( ( P ` k ) = (/) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) )
85		impexp 263	. . . 4 |- ( ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` suc k ) = (/) ) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) <-> ( P e. ℕ∞ -> ( ( P ` suc k ) = (/) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) )
86	83, 84, 85	3imtr4g 205	. . 3 |- ( k e. om -> ( ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` k ) = (/) ) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) -> ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` suc k ) = (/) ) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) )
87	7, 10, 13, 16, 47, 86	finds 4742	. 2 |- ( N e. om -> ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` N ) = (/) ) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) )
88	1, 4, 87	sylc 62	1 |- ( ph -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   C_ wss 3220   (/)c0 3520   ifcif 3635   {cpr 3706   U.cuni 3930   |-> cmpt 4187   Tr wtr 4224   Ord word 4502   suc csuc 4505   omcom 4732   Fn wfn 5367   -->wf 5368   ` cfv 5372   1oc1o 6670   2oc2o 6671  ℕ_∞xnninf 7449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1o 6677  df-2o 6678  df-map 6914  df-nninf 7450

This theorem is referenced by:  nninfnfiinf  16971