Theorem nnnninfex 15755

Description: If an element of ℕ_∞ has a value of zero somewhere, then it is the mapping of a natural number. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnnninfex.p	|- ( ph -> P e. ℕ∞ )
nnnninfex.n	|- ( ph -> N e. om )
nnnninfex.0	|- ( ph -> ( P ` N ) = (/) )

Assertion

Ref	Expression
nnnninfex	|- ( ph -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )

Distinct variable group:   P, i, n

Allowed substitution hints:   ph( i, n)   N( i, n)

Proof of Theorem nnnninfex

Dummy variables w j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnninfex.n	. 2 |- ( ph -> N e. om )
2		nnnninfex.p	. . 3 |- ( ph -> P e. ℕ∞ )
3		nnnninfex.0	. . 3 |- ( ph -> ( P ` N ) = (/) )
4	2, 3	jca 306	. 2 |- ( ph -> ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` N ) = (/) ) )
5		fveqeq2 5570	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( P ` w ) = (/) <-> ( P ` (/) ) = (/) ) )
6	5	anbi2d 464	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` w ) = (/) ) <-> ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` (/) ) = (/) ) ) )
7	6	imbi1d 231	. . 3 |- ( w = (/) -> ( ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` w ) = (/) ) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) <-> ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` (/) ) = (/) ) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) )
8		fveqeq2 5570	. . . . 5 |- ( w = k -> ( ( P ` w ) = (/) <-> ( P ` k ) = (/) ) )
9	8	anbi2d 464	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` w ) = (/) ) <-> ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` k ) = (/) ) ) )
10	9	imbi1d 231	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` w ) = (/) ) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) <-> ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` k ) = (/) ) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) )
11		fveqeq2 5570	. . . . 5 |- ( w = suc k -> ( ( P ` w ) = (/) <-> ( P ` suc k ) = (/) ) )
12	11	anbi2d 464	. . . 4 |- ( w = suc k -> ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` w ) = (/) ) <-> ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` suc k ) = (/) ) ) )
13	12	imbi1d 231	. . 3 |- ( w = suc k -> ( ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` w ) = (/) ) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) <-> ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` suc k ) = (/) ) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) )
14		fveqeq2 5570	. . . . 5 |- ( w = N -> ( ( P ` w ) = (/) <-> ( P ` N ) = (/) ) )
15	14	anbi2d 464	. . . 4 |- ( w = N -> ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` w ) = (/) ) <-> ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` N ) = (/) ) ) )
16	15	imbi1d 231	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` w ) = (/) ) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) <-> ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` N ) = (/) ) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) )
17		peano1 4631	. . . 4 |- (/) e. om
18		simpll 527	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` (/) ) = (/) ) /\ j e. om ) -> P e. ℕ∞ )
19	17	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` (/) ) = (/) ) /\ j e. om ) -> (/) e. om )
20		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` (/) ) = (/) ) /\ j e. om ) -> j e. om )
21		0ss 3490	. . . . . . . . 9 |- (/) C_ j
22	21	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` (/) ) = (/) ) /\ j e. om ) -> (/) C_ j )
23		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` (/) ) = (/) ) /\ j e. om ) -> ( P ` (/) ) = (/) )
24	18, 19, 20, 22, 23	nninfninc 7198	. . . . . . 7 |- ( ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` (/) ) = (/) ) /\ j e. om ) -> ( P ` j ) = (/) )
25		noel 3455	. . . . . . . . . 10 |- -. i e. (/)
26	25	iffalsei 3571	. . . . . . . . 9 |- if ( i e. (/) , 1o , (/) ) = (/)
27	26	mpteq2i 4121	. . . . . . . 8 |- ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> (/) )
28		eqidd 2197	. . . . . . . 8 |- ( i = j -> (/) = (/) )
29	27, 28, 20, 19	fvmptd3 5658	. . . . . . 7 |- ( ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` (/) ) = (/) ) /\ j e. om ) -> ( ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ` j ) = (/) )
30	24, 29	eqtr4d 2232	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` (/) ) = (/) ) /\ j e. om ) -> ( P ` j ) = ( ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ` j ) )
31	30	ralrimiva 2570	. . . . 5 |- ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` (/) ) = (/) ) -> A. j e. om ( P ` j ) = ( ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ` j ) )
32		nninff 7197	. . . . . . . 8 |- ( P e. ℕ∞ -> P : om --> 2o )
33	32	ffnd 5411	. . . . . . 7 |- ( P e. ℕ∞ -> P Fn om )
34	33	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` (/) ) = (/) ) -> P Fn om )
35		1oex 6491	. . . . . . . 8 |- 1o e. _V
36		0ex 4161	. . . . . . . 8 |- (/) e. _V
37	35, 36	ifex 4522	. . . . . . 7 |- if ( i e. (/) , 1o , (/) ) e. _V
38		eqid 2196	. . . . . . 7 |- ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) )
39	37, 38	fnmpti 5389	. . . . . 6 |- ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) Fn om
40		eqfnfv 5662	. . . . . 6 |- ( ( P Fn om /\ ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) Fn om ) -> ( P = ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) <-> A. j e. om ( P ` j ) = ( ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ` j ) ) )
41	34, 39, 40	sylancl 413	. . . . 5 |- ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` (/) ) = (/) ) -> ( P = ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) <-> A. j e. om ( P ` j ) = ( ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ` j ) ) )
42	31, 41	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` (/) ) = (/) ) -> P = ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) )
43		eleq2 2260	. . . . . . 7 |- ( n = (/) -> ( i e. n <-> i e. (/) ) )
44	43	ifbid 3583	. . . . . 6 |- ( n = (/) -> if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. (/) , 1o , (/) ) )
45	44	mpteq2dv 4125	. . . . 5 |- ( n = (/) -> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) )
46	45	rspceeqv 2886	. . . 4 |- ( ( (/) e. om /\ P = ( i e. om |-> if ( i e. (/) , 1o , (/) ) ) ) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
47	17, 42, 46	sylancr 414	. . 3 |- ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` (/) ) = (/) ) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
48		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( k e. om /\ P e. ℕ∞ ) /\ ( ( P ` k ) = (/) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) /\ ( P ` suc k ) = (/) ) /\ ( P ` k ) = (/) ) -> ( P ` k ) = (/) )
49		simpllr 534	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( k e. om /\ P e. ℕ∞ ) /\ ( ( P ` k ) = (/) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) /\ ( P ` suc k ) = (/) ) /\ ( P ` k ) = (/) ) -> ( ( P ` k ) = (/) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) )
50	48, 49	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( k e. om /\ P e. ℕ∞ ) /\ ( ( P ` k ) = (/) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) /\ ( P ` suc k ) = (/) ) /\ ( P ` k ) = (/) ) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
51		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. om /\ P e. ℕ∞ ) -> k e. om )
52	51	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( k e. om /\ P e. ℕ∞ ) /\ ( ( P ` k ) = (/) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) /\ ( P ` suc k ) = (/) ) /\ ( P ` k ) = 1o ) -> k e. om )
53		peano2 4632	. . . . . . . . 9 |- ( k e. om -> suc k e. om )
54	52, 53	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( k e. om /\ P e. ℕ∞ ) /\ ( ( P ` k ) = (/) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) /\ ( P ` suc k ) = (/) ) /\ ( P ` k ) = 1o ) -> suc k e. om )
55		simpllr 534	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( k e. om /\ P e. ℕ∞ ) /\ ( P ` suc k ) = (/) ) /\ ( P ` k ) = 1o ) -> P e. ℕ∞ )
56	53	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( k e. om /\ P e. ℕ∞ ) /\ ( P ` suc k ) = (/) ) /\ ( P ` k ) = 1o ) -> suc k e. om )
57		nnord 4649	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. om -> Ord k )
58		ordtr 4414	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Ord k -> Tr k )
59	57, 58	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. om -> Tr k )
60		unisucg 4450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. om -> ( Tr k <-> U. suc k = k ) )
61	59, 60	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. om -> U. suc k = k )
62	61	fveq2d 5565	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. om -> ( P ` U. suc k ) = ( P ` k ) )
63	62	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( k e. om /\ P e. ℕ∞ ) /\ ( P ` suc k ) = (/) ) /\ ( P ` k ) = 1o ) -> ( P ` U. suc k ) = ( P ` k ) )
64		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( k e. om /\ P e. ℕ∞ ) /\ ( P ` suc k ) = (/) ) /\ ( P ` k ) = 1o ) -> ( P ` k ) = 1o )
65	63, 64	eqtrd 2229	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( k e. om /\ P e. ℕ∞ ) /\ ( P ` suc k ) = (/) ) /\ ( P ` k ) = 1o ) -> ( P ` U. suc k ) = 1o )
66		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( k e. om /\ P e. ℕ∞ ) /\ ( P ` suc k ) = (/) ) /\ ( P ` k ) = 1o ) -> ( P ` suc k ) = (/) )
67	55, 56, 65, 66	nnnninfeq2 7204	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( k e. om /\ P e. ℕ∞ ) /\ ( P ` suc k ) = (/) ) /\ ( P ` k ) = 1o ) -> P = ( i e. om |-> if ( i e. suc k , 1o , (/) ) ) )
68	67	adantllr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( k e. om /\ P e. ℕ∞ ) /\ ( ( P ` k ) = (/) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) /\ ( P ` suc k ) = (/) ) /\ ( P ` k ) = 1o ) -> P = ( i e. om |-> if ( i e. suc k , 1o , (/) ) ) )
69		eleq2 2260	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = suc k -> ( i e. n <-> i e. suc k ) )
70	69	ifbid 3583	. . . . . . . . . 10 |- ( n = suc k -> if ( i e. n , 1o , (/) ) = if ( i e. suc k , 1o , (/) ) )
71	70	mpteq2dv 4125	. . . . . . . . 9 |- ( n = suc k -> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. suc k , 1o , (/) ) ) )
72	71	rspceeqv 2886	. . . . . . . 8 |- ( ( suc k e. om /\ P = ( i e. om |-> if ( i e. suc k , 1o , (/) ) ) ) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
73	54, 68, 72	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( k e. om /\ P e. ℕ∞ ) /\ ( ( P ` k ) = (/) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) /\ ( P ` suc k ) = (/) ) /\ ( P ` k ) = 1o ) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
74	32	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. om /\ P e. ℕ∞ ) -> P : om --> 2o )
75	74, 51	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. om /\ P e. ℕ∞ ) -> ( P ` k ) e. 2o )
76		df2o3 6497	. . . . . . . . . 10 |- 2o = { (/) , 1o }
77	75, 76	eleqtrdi 2289	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. om /\ P e. ℕ∞ ) -> ( P ` k ) e. { (/) , 1o } )
78		elpri 3646	. . . . . . . . 9 |- ( ( P ` k ) e. { (/) , 1o } -> ( ( P ` k ) = (/) \/ ( P ` k ) = 1o ) )
79	77, 78	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. om /\ P e. ℕ∞ ) -> ( ( P ` k ) = (/) \/ ( P ` k ) = 1o ) )
80	79	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( k e. om /\ P e. ℕ∞ ) /\ ( ( P ` k ) = (/) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) /\ ( P ` suc k ) = (/) ) -> ( ( P ` k ) = (/) \/ ( P ` k ) = 1o ) )
81	50, 73, 80	mpjaodan 799	. . . . . 6 |- ( ( ( ( k e. om /\ P e. ℕ∞ ) /\ ( ( P ` k ) = (/) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) /\ ( P ` suc k ) = (/) ) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
82	81	exp41 370	. . . . 5 |- ( k e. om -> ( P e. ℕ∞ -> ( ( ( P ` k ) = (/) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) -> ( ( P ` suc k ) = (/) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) ) )
83	82	a2d 26	. . . 4 |- ( k e. om -> ( ( P e. ℕ∞ -> ( ( P ` k ) = (/) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) -> ( P e. ℕ∞ -> ( ( P ` suc k ) = (/) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) ) )
84		impexp 263	. . . 4 |- ( ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` k ) = (/) ) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) <-> ( P e. ℕ∞ -> ( ( P ` k ) = (/) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) )
85		impexp 263	. . . 4 |- ( ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` suc k ) = (/) ) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) <-> ( P e. ℕ∞ -> ( ( P ` suc k ) = (/) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) )
86	83, 84, 85	3imtr4g 205	. . 3 |- ( k e. om -> ( ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` k ) = (/) ) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) -> ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` suc k ) = (/) ) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) ) )
87	7, 10, 13, 16, 47, 86	finds 4637	. 2 |- ( N e. om -> ( ( P e. ℕ∞ /\ ( P ` N ) = (/) ) -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) )
88	1, 4, 87	sylc 62	1 |- ( ph -> E. n e. om P = ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   C_ wss 3157   (/)c0 3451   ifcif 3562   {cpr 3624   U.cuni 3840   |-> cmpt 4095   Tr wtr 4132   Ord word 4398   suc csuc 4401   omcom 4627   Fn wfn 5254   -->wf 5255   ` cfv 5259   1oc1o 6476   2oc2o 6477  ℕ_∞xnninf 7194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1o 6483  df-2o 6484  df-map 6718  df-nninf 7195

This theorem is referenced by:  nninfnfiinf  15756