Theorem opprnzrbg 14602

Description: The opposite of a nonzero ring is nonzero, bidirectional form of opprnzr 14603. (Contributed by SN, 20-Jun-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprnzr.1	|- O = (oppr ` R )

Assertion

Ref	Expression
opprnzrbg	|- ( R e. V -> ( R e. NzRing <-> O e. NzRing ) )

Proof of Theorem opprnzrbg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprnzr.1	. . . 4 |- O = (oppr ` R )
2	1	opprringbg 14495	. . 3 |- ( R e. V -> ( R e. Ring <-> O e. Ring ) )
3		eqid 2238	. . . . 5 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
4	1, 3	oppr1g 14498	. . . 4 |- ( R e. V -> ( 1r ` R ) = ( 1r ` O ) )
5		eqid 2238	. . . . 5 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
6	1, 5	oppr0g 14497	. . . 4 |- ( R e. V -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` O ) )
7	4, 6	neeq12d 2440	. . 3 |- ( R e. V -> ( ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) <-> ( 1r ` O ) =/= ( 0g ` O ) ) )
8	2, 7	anbi12d 477	. 2 |- ( R e. V -> ( ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) <-> ( O e. Ring /\ ( 1r ` O ) =/= ( 0g ` O ) ) ) )
9	3, 5	isnzr 14598	. 2 |- ( R e. NzRing <-> ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) )
10		eqid 2238	. . 3 |- ( 1r ` O ) = ( 1r ` O )
11		eqid 2238	. . 3 |- ( 0g ` O ) = ( 0g ` O )
12	10, 11	isnzr 14598	. 2 |- ( O e. NzRing <-> ( O e. Ring /\ ( 1r ` O ) =/= ( 0g ` O ) ) )
13	8, 9, 12	3bitr4g 223	1 |- ( R e. V -> ( R e. NzRing <-> O e. NzRing ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   ` cfv 5380   0gc0g 13670   1rcur 14370   Ringcrg 14408  opp_rcoppr 14482  NzRingcnzr 14596

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-tpos 6520  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-ltxr 8372  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-sets 13418  df-plusg 13504  df-mulr 13505  df-0g 13672  df-mgm 13736  df-sgrp 13777  df-mnd 13790  df-grp 13868  df-mgp 14326  df-ur 14371  df-ring 14410  df-oppr 14483  df-nzr 14597

This theorem is used by:  opprnzr  14603  opprlring  14614  opprdomnbg  14693