Theorem opprnzrbg 14261

Description: The opposite of a nonzero ring is nonzero, bidirectional form of opprnzr 14262. (Contributed by SN, 20-Jun-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprnzr.1	|- O = (oppr ` R )

Assertion

Ref	Expression
opprnzrbg	|- ( R e. V -> ( R e. NzRing <-> O e. NzRing ) )

Proof of Theorem opprnzrbg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprnzr.1	. . . 4 |- O = (oppr ` R )
2	1	opprringbg 14155	. . 3 |- ( R e. V -> ( R e. Ring <-> O e. Ring ) )
3		eqid 2231	. . . . 5 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
4	1, 3	oppr1g 14157	. . . 4 |- ( R e. V -> ( 1r ` R ) = ( 1r ` O ) )
5		eqid 2231	. . . . 5 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
6	1, 5	oppr0g 14156	. . . 4 |- ( R e. V -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` O ) )
7	4, 6	neeq12d 2423	. . 3 |- ( R e. V -> ( ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) <-> ( 1r ` O ) =/= ( 0g ` O ) ) )
8	2, 7	anbi12d 473	. 2 |- ( R e. V -> ( ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) <-> ( O e. Ring /\ ( 1r ` O ) =/= ( 0g ` O ) ) ) )
9	3, 5	isnzr 14257	. 2 |- ( R e. NzRing <-> ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) )
10		eqid 2231	. . 3 |- ( 1r ` O ) = ( 1r ` O )
11		eqid 2231	. . 3 |- ( 0g ` O ) = ( 0g ` O )
12	10, 11	isnzr 14257	. 2 |- ( O e. NzRing <-> ( O e. Ring /\ ( 1r ` O ) =/= ( 0g ` O ) ) )
13	8, 9, 12	3bitr4g 223	1 |- ( R e. V -> ( R e. NzRing <-> O e. NzRing ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2403   ` cfv 5333   0gc0g 13400   1rcur 14034   Ringcrg 14071  opp_rcoppr 14142  NzRingcnzr 14255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-tpos 6454  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-ltxr 8262  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-sets 13150  df-plusg 13234  df-mulr 13235  df-0g 13402  df-mgm 13500  df-sgrp 13546  df-mnd 13561  df-grp 13647  df-mgp 13996  df-ur 14035  df-ring 14073  df-oppr 14143  df-nzr 14256

This theorem is referenced by:  opprnzr  14262  opprdomnbg  14350