Theorem opprnzrbg 14170

Description: The opposite of a nonzero ring is nonzero, bidirectional form of opprnzr 14171. (Contributed by SN, 20-Jun-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprnzr.1	|- O = (oppr ` R )

Assertion

Ref	Expression
opprnzrbg	|- ( R e. V -> ( R e. NzRing <-> O e. NzRing ) )

Proof of Theorem opprnzrbg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprnzr.1	. . . 4 |- O = (oppr ` R )
2	1	opprringbg 14064	. . 3 |- ( R e. V -> ( R e. Ring <-> O e. Ring ) )
3		eqid 2229	. . . . 5 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
4	1, 3	oppr1g 14066	. . . 4 |- ( R e. V -> ( 1r ` R ) = ( 1r ` O ) )
5		eqid 2229	. . . . 5 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
6	1, 5	oppr0g 14065	. . . 4 |- ( R e. V -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` O ) )
7	4, 6	neeq12d 2420	. . 3 |- ( R e. V -> ( ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) <-> ( 1r ` O ) =/= ( 0g ` O ) ) )
8	2, 7	anbi12d 473	. 2 |- ( R e. V -> ( ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) <-> ( O e. Ring /\ ( 1r ` O ) =/= ( 0g ` O ) ) ) )
9	3, 5	isnzr 14166	. 2 |- ( R e. NzRing <-> ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) =/= ( 0g ` R ) ) )
10		eqid 2229	. . 3 |- ( 1r ` O ) = ( 1r ` O )
11		eqid 2229	. . 3 |- ( 0g ` O ) = ( 0g ` O )
12	10, 11	isnzr 14166	. 2 |- ( O e. NzRing <-> ( O e. Ring /\ ( 1r ` O ) =/= ( 0g ` O ) ) )
13	8, 9, 12	3bitr4g 223	1 |- ( R e. V -> ( R e. NzRing <-> O e. NzRing ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   ` cfv 5321   0gc0g 13310   1rcur 13943   Ringcrg 13980  opp_rcoppr 14051  NzRingcnzr 14164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-tpos 6402  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-ltxr 8202  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-sets 13060  df-plusg 13144  df-mulr 13145  df-0g 13312  df-mgm 13410  df-sgrp 13456  df-mnd 13471  df-grp 13557  df-mgp 13905  df-ur 13944  df-ring 13982  df-oppr 14052  df-nzr 14165

This theorem is referenced by:  opprnzr  14171  opprdomnbg  14259