Theorem opprnzrbg 14601

Description: The opposite of a nonzero ring is nonzero, bidirectional form of opprnzr 14602. (Contributed by SN, 20-Jun-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprnzr.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprnzrbg	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ NzRing ↔ 𝑂 ∈ NzRing))

Proof of Theorem opprnzrbg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprnzr.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
2	1	opprringbg 14494	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ Ring ↔ 𝑂 ∈ Ring))
3		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4	1, 3	oppr1g 14497	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (1r‘𝑅) = (1r‘𝑂))
5		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6	1, 5	oppr0g 14496	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑂))
7	4, 6	neeq12d 2440	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (1r‘𝑂) ≠ (0g‘𝑂)))
8	2, 7	anbi12d 477	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) ↔ (𝑂 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑂) ≠ (0g‘𝑂))))
9	3, 5	isnzr 14597	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
10		eqid 2238	. . 3 ⊢ (1r‘𝑂) = (1r‘𝑂)
11		eqid 2238	. . 3 ⊢ (0g‘𝑂) = (0g‘𝑂)
12	10, 11	isnzr 14597	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ NzRing ↔ (𝑂 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑂) ≠ (0g‘𝑂)))
13	8, 9, 12	3bitr4g 223	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ NzRing ↔ 𝑂 ∈ NzRing))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ‘cfv 5380  0_gc0g 13669  1_rcur 14369  Ringcrg 14407  opp_rcoppr 14481  NzRingcnzr 14595

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-tpos 6520  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-0g 13671  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-grp 13867  df-mgp 14325  df-ur 14370  df-ring 14409  df-oppr 14482  df-nzr 14596

This theorem is used by:  opprnzr  14602  opprlring  14613  opprdomnbg  14692