Theorem opprnzrbg 14223

Description: The opposite of a nonzero ring is nonzero, bidirectional form of opprnzr 14224. (Contributed by SN, 20-Jun-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprnzr.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprnzrbg	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ NzRing ↔ 𝑂 ∈ NzRing))

Proof of Theorem opprnzrbg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprnzr.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
2	1	opprringbg 14117	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ Ring ↔ 𝑂 ∈ Ring))
3		eqid 2230	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4	1, 3	oppr1g 14119	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (1r‘𝑅) = (1r‘𝑂))
5		eqid 2230	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6	1, 5	oppr0g 14118	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑂))
7	4, 6	neeq12d 2421	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (1r‘𝑂) ≠ (0g‘𝑂)))
8	2, 7	anbi12d 473	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) ↔ (𝑂 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑂) ≠ (0g‘𝑂))))
9	3, 5	isnzr 14219	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
10		eqid 2230	. . 3 ⊢ (1r‘𝑂) = (1r‘𝑂)
11		eqid 2230	. . 3 ⊢ (0g‘𝑂) = (0g‘𝑂)
12	10, 11	isnzr 14219	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ NzRing ↔ (𝑂 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑂) ≠ (0g‘𝑂)))
13	8, 9, 12	3bitr4g 223	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ NzRing ↔ 𝑂 ∈ NzRing))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2201   ≠ wne 2401  ‘cfv 5328  0_gc0g 13362  1_rcur 13996  Ringcrg 14033  opp_rcoppr 14104  NzRingcnzr 14217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-addass 8139  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-ltadd 8153

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-tpos 6416  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-ltxr 8224  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-sets 13112  df-plusg 13196  df-mulr 13197  df-0g 13364  df-mgm 13462  df-sgrp 13508  df-mnd 13523  df-grp 13609  df-mgp 13958  df-ur 13997  df-ring 14035  df-oppr 14105  df-nzr 14218

This theorem is referenced by:  opprnzr  14224  opprdomnbg  14312