Theorem opprnzrbg 14143

Description: The opposite of a nonzero ring is nonzero, bidirectional form of opprnzr 14144. (Contributed by SN, 20-Jun-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprnzr.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprnzrbg	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ NzRing ↔ 𝑂 ∈ NzRing))

Proof of Theorem opprnzrbg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprnzr.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
2	1	opprringbg 14038	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ Ring ↔ 𝑂 ∈ Ring))
3		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4	1, 3	oppr1g 14040	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (1r‘𝑅) = (1r‘𝑂))
5		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6	1, 5	oppr0g 14039	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑂))
7	4, 6	neeq12d 2420	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (1r‘𝑂) ≠ (0g‘𝑂)))
8	2, 7	anbi12d 473	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) ↔ (𝑂 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑂) ≠ (0g‘𝑂))))
9	3, 5	isnzr 14139	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)))
10		eqid 2229	. . 3 ⊢ (1r‘𝑂) = (1r‘𝑂)
11		eqid 2229	. . 3 ⊢ (0g‘𝑂) = (0g‘𝑂)
12	10, 11	isnzr 14139	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ NzRing ↔ (𝑂 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑂) ≠ (0g‘𝑂)))
13	8, 9, 12	3bitr4g 223	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 ∈ NzRing ↔ 𝑂 ∈ NzRing))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ‘cfv 5317  0_gc0g 13284  1_rcur 13917  Ringcrg 13954  opp_rcoppr 14025  NzRingcnzr 14137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-tpos 6389  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-ltxr 8182  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-sets 13034  df-plusg 13118  df-mulr 13119  df-0g 13286  df-mgm 13384  df-sgrp 13430  df-mnd 13445  df-grp 13531  df-mgp 13879  df-ur 13918  df-ring 13956  df-oppr 14026  df-nzr 14138

This theorem is referenced by:  opprnzr  14144  opprdomnbg  14232