ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ovshftex Unicode version

Theorem ovshftex 10799
Description: Existence of the result of applying shift. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
ovshftex  |-  ( ( F  e.  V  /\  A  e.  CC )  ->  ( F  shift  A )  e.  _V )

Proof of Theorem ovshftex
Dummy variables  u  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shftfvalg 10798 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  F  e.  V )  ->  ( F  shift  A )  =  { <. z ,  w >.  |  (
z  e.  CC  /\  ( z  -  A
) F w ) } )
21ancoms 268 . 2  |-  ( ( F  e.  V  /\  A  e.  CC )  ->  ( F  shift  A )  =  { <. z ,  w >.  |  (
z  e.  CC  /\  ( z  -  A
) F w ) } )
3 cnex 7913 . . . 4  |-  CC  e.  _V
43a1i 9 . . 3  |-  ( ( F  e.  V  /\  A  e.  CC )  ->  CC  e.  _V )
5 rnexg 4887 . . . . 5  |-  ( F  e.  V  ->  ran  F  e.  _V )
65ad2antrr 488 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  V  /\  A  e.  CC )  /\  z  e.  CC )  ->  ran  F  e.  _V )
7 vex 2740 . . . . . . . 8  |-  u  e. 
_V
8 breq2 4004 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  u  ->  (
( z  -  A
) F w  <->  ( z  -  A ) F u ) )
97, 8elab 2881 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  { w  |  ( z  -  A
) F w }  <->  ( z  -  A ) F u )
10 simpr 110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  z  e.  CC )
11 simpl 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
1210, 11subcld 8245 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( z  -  A
)  e.  CC )
13 brelrng 4853 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  -  A
)  e.  CC  /\  u  e.  _V  /\  (
z  -  A ) F u )  ->  u  e.  ran  F )
147, 13mp3an2 1325 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  -  A
)  e.  CC  /\  ( z  -  A
) F u )  ->  u  e.  ran  F )
1512, 14sylan 283 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  CC )  /\  ( z  -  A ) F u )  ->  u  e.  ran  F )
1615ex 115 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( z  -  A ) F u  ->  u  e.  ran  F ) )
179, 16biimtrid 152 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( u  e.  {
w  |  ( z  -  A ) F w }  ->  u  e.  ran  F ) )
1817ssrdv 3161 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  { w  |  ( z  -  A ) F w }  C_  ran  F )
1918adantll 476 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  V  /\  A  e.  CC )  /\  z  e.  CC )  ->  { w  |  ( z  -  A
) F w }  C_ 
ran  F )
206, 19ssexd 4140 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  V  /\  A  e.  CC )  /\  z  e.  CC )  ->  { w  |  ( z  -  A
) F w }  e.  _V )
214, 20opabex3d 6115 . 2  |-  ( ( F  e.  V  /\  A  e.  CC )  ->  { <. z ,  w >.  |  ( z  e.  CC  /\  ( z  -  A ) F w ) }  e.  _V )
222, 21eqeltrd 2254 1  |-  ( ( F  e.  V  /\  A  e.  CC )  ->  ( F  shift  A )  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   {cab 2163   _Vcvv 2737    C_ wss 3129   class class class wbr 4000   {copab 4060   ran crn 4623  (class class class)co 5868   CCcc 7787    - cmin 8105    shift cshi 10794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-addcom 7889  ax-addass 7891  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-cnre 7900
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-sub 8107  df-shft 10795
This theorem is referenced by:  2shfti  10811  climshftlemg  11281  climshft  11283  climshft2  11285  eftlub  11669
  Copyright terms: Public domain W3C validator