Theorem ovshftex 11459

Description: Existence of the result of applying shift. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ovshftex	|- ( ( F e. V /\ A e. CC ) -> ( F shift A ) e. _V )

Proof of Theorem ovshftex

Dummy variables u w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shftfvalg 11458	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ F e. V ) -> ( F shift A ) = { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } )
2	1	ancoms 268	. 2 |- ( ( F e. V /\ A e. CC ) -> ( F shift A ) = { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } )
3		cnex 8216	. . . 4 |- CC e. _V
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ( F e. V /\ A e. CC ) -> CC e. _V )
5		rnexg 5003	. . . . 5 |- ( F e. V -> ran F e. _V )
6	5	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( F e. V /\ A e. CC ) /\ z e. CC ) -> ran F e. _V )
7		vex 2806	. . . . . . . 8 |- u e. _V
8		breq2 4097	. . . . . . . 8 |- ( w = u -> ( ( z - A ) F w <-> ( z - A ) F u ) )
9	7, 8	elab 2951	. . . . . . 7 |- ( u e. { w | ( z - A ) F w } <-> ( z - A ) F u )
10		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ z e. CC ) -> z e. CC )
11		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ z e. CC ) -> A e. CC )
12	10, 11	subcld 8549	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ z e. CC ) -> ( z - A ) e. CC )
13		brelrng 4969	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z - A ) e. CC /\ u e. _V /\ ( z - A ) F u ) -> u e. ran F )
14	7, 13	mp3an2 1362	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z - A ) e. CC /\ ( z - A ) F u ) -> u e. ran F )
15	12, 14	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ z e. CC ) /\ ( z - A ) F u ) -> u e. ran F )
16	15	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( z - A ) F u -> u e. ran F ) )
17	9, 16	biimtrid 152	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ z e. CC ) -> ( u e. { w | ( z - A ) F w } -> u e. ran F ) )
18	17	ssrdv 3234	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ z e. CC ) -> { w | ( z - A ) F w } C_ ran F )
19	18	adantll 476	. . . 4 |- ( ( ( F e. V /\ A e. CC ) /\ z e. CC ) -> { w | ( z - A ) F w } C_ ran F )
20	6, 19	ssexd 4234	. . 3 |- ( ( ( F e. V /\ A e. CC ) /\ z e. CC ) -> { w | ( z - A ) F w } e. _V )
21	4, 20	opabex3d 6292	. 2 |- ( ( F e. V /\ A e. CC ) -> { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } e. _V )
22	2, 21	eqeltrd 2308	1 |- ( ( F e. V /\ A e. CC ) -> ( F shift A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   {cab 2217   _Vcvv 2803   C_ wss 3201   class class class wbr 4093   {copab 4154   ran crn 4732  (class class class)co 6028   CCcc 8090   - cmin 8409   shift cshi 11454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-sub 8411  df-shft 11455

This theorem is referenced by:  2shfti  11471  climshftlemg  11942  climshft  11944  climshft2  11946  eftlub  12331