Theorem ovshftex 10249

Description: Existence of the result of applying shift. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ovshftex	|- ( ( F e. V /\ A e. CC ) -> ( F shift A ) e. _V )

Proof of Theorem ovshftex

Dummy variables u w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shftfvalg 10248	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ F e. V ) -> ( F shift A ) = { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } )
2	1	ancoms 264	. 2 |- ( ( F e. V /\ A e. CC ) -> ( F shift A ) = { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } )
3		cnex 7464	. . . 4 |- CC e. _V
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ( F e. V /\ A e. CC ) -> CC e. _V )
5		rnexg 4698	. . . . 5 |- ( F e. V -> ran F e. _V )
6	5	ad2antrr 472	. . . 4 |- ( ( ( F e. V /\ A e. CC ) /\ z e. CC ) -> ran F e. _V )
7		vex 2622	. . . . . . . 8 |- u e. _V
8		breq2 3849	. . . . . . . 8 |- ( w = u -> ( ( z - A ) F w <-> ( z - A ) F u ) )
9	7, 8	elab 2760	. . . . . . 7 |- ( u e. { w | ( z - A ) F w } <-> ( z - A ) F u )
10		simpr 108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ z e. CC ) -> z e. CC )
11		simpl 107	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ z e. CC ) -> A e. CC )
12	10, 11	subcld 7791	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ z e. CC ) -> ( z - A ) e. CC )
13		brelrng 4666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z - A ) e. CC /\ u e. _V /\ ( z - A ) F u ) -> u e. ran F )
14	7, 13	mp3an2 1261	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z - A ) e. CC /\ ( z - A ) F u ) -> u e. ran F )
15	12, 14	sylan 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ z e. CC ) /\ ( z - A ) F u ) -> u e. ran F )
16	15	ex 113	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( z - A ) F u -> u e. ran F ) )
17	9, 16	syl5bi 150	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ z e. CC ) -> ( u e. { w | ( z - A ) F w } -> u e. ran F ) )
18	17	ssrdv 3031	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ z e. CC ) -> { w | ( z - A ) F w } C_ ran F )
19	18	adantll 460	. . . 4 |- ( ( ( F e. V /\ A e. CC ) /\ z e. CC ) -> { w | ( z - A ) F w } C_ ran F )
20	6, 19	ssexd 3979	. . 3 |- ( ( ( F e. V /\ A e. CC ) /\ z e. CC ) -> { w | ( z - A ) F w } e. _V )
21	4, 20	opabex3d 5892	. 2 |- ( ( F e. V /\ A e. CC ) -> { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } e. _V )
22	2, 21	eqeltrd 2164	1 |- ( ( F e. V /\ A e. CC ) -> ( F shift A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1289   e. wcel 1438   {cab 2074   _Vcvv 2619   C_ wss 2999   class class class wbr 3845   {copab 3898   ran crn 4439  (class class class)co 5652   CCcc 7346   - cmin 7651   shift cshi 10244

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-addcom 7443  ax-addass 7445  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-cnre 7454

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-sub 7653  df-shft 10245

This theorem is referenced by:  2shfti  10261  climshftlemg  10686  climshft  10688  climshft2  10691  eftlub  10976