Theorem ovshftex 11245

Description: Existence of the result of applying shift. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ovshftex	|- ( ( F e. V /\ A e. CC ) -> ( F shift A ) e. _V )

Proof of Theorem ovshftex

Dummy variables u w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shftfvalg 11244	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ F e. V ) -> ( F shift A ) = { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } )
2	1	ancoms 268	. 2 |- ( ( F e. V /\ A e. CC ) -> ( F shift A ) = { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } )
3		cnex 8084	. . . 4 |- CC e. _V
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ( F e. V /\ A e. CC ) -> CC e. _V )
5		rnexg 4962	. . . . 5 |- ( F e. V -> ran F e. _V )
6	5	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( F e. V /\ A e. CC ) /\ z e. CC ) -> ran F e. _V )
7		vex 2779	. . . . . . . 8 |- u e. _V
8		breq2 4063	. . . . . . . 8 |- ( w = u -> ( ( z - A ) F w <-> ( z - A ) F u ) )
9	7, 8	elab 2924	. . . . . . 7 |- ( u e. { w | ( z - A ) F w } <-> ( z - A ) F u )
10		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ z e. CC ) -> z e. CC )
11		simpl 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ z e. CC ) -> A e. CC )
12	10, 11	subcld 8418	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ z e. CC ) -> ( z - A ) e. CC )
13		brelrng 4928	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z - A ) e. CC /\ u e. _V /\ ( z - A ) F u ) -> u e. ran F )
14	7, 13	mp3an2 1338	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z - A ) e. CC /\ ( z - A ) F u ) -> u e. ran F )
15	12, 14	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ z e. CC ) /\ ( z - A ) F u ) -> u e. ran F )
16	15	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( z - A ) F u -> u e. ran F ) )
17	9, 16	biimtrid 152	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ z e. CC ) -> ( u e. { w | ( z - A ) F w } -> u e. ran F ) )
18	17	ssrdv 3207	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ z e. CC ) -> { w | ( z - A ) F w } C_ ran F )
19	18	adantll 476	. . . 4 |- ( ( ( F e. V /\ A e. CC ) /\ z e. CC ) -> { w | ( z - A ) F w } C_ ran F )
20	6, 19	ssexd 4200	. . 3 |- ( ( ( F e. V /\ A e. CC ) /\ z e. CC ) -> { w | ( z - A ) F w } e. _V )
21	4, 20	opabex3d 6229	. 2 |- ( ( F e. V /\ A e. CC ) -> { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } e. _V )
22	2, 21	eqeltrd 2284	1 |- ( ( F e. V /\ A e. CC ) -> ( F shift A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   {cab 2193   _Vcvv 2776   C_ wss 3174   class class class wbr 4059   {copab 4120   ran crn 4694  (class class class)co 5967   CCcc 7958   - cmin 8278   shift cshi 11240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-sub 8280  df-shft 11241

This theorem is referenced by:  2shfti  11257  climshftlemg  11728  climshft  11730  climshft2  11732  eftlub  12116