ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ovshftex Unicode version

Theorem ovshftex 10314
Description: Existence of the result of applying shift. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
ovshftex  |-  ( ( F  e.  V  /\  A  e.  CC )  ->  ( F  shift  A )  e.  _V )

Proof of Theorem ovshftex
Dummy variables  u  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shftfvalg 10313 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  F  e.  V )  ->  ( F  shift  A )  =  { <. z ,  w >.  |  (
z  e.  CC  /\  ( z  -  A
) F w ) } )
21ancoms 265 . 2  |-  ( ( F  e.  V  /\  A  e.  CC )  ->  ( F  shift  A )  =  { <. z ,  w >.  |  (
z  e.  CC  /\  ( z  -  A
) F w ) } )
3 cnex 7527 . . . 4  |-  CC  e.  _V
43a1i 9 . . 3  |-  ( ( F  e.  V  /\  A  e.  CC )  ->  CC  e.  _V )
5 rnexg 4711 . . . . 5  |-  ( F  e.  V  ->  ran  F  e.  _V )
65ad2antrr 473 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  V  /\  A  e.  CC )  /\  z  e.  CC )  ->  ran  F  e.  _V )
7 vex 2623 . . . . . . . 8  |-  u  e. 
_V
8 breq2 3855 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  u  ->  (
( z  -  A
) F w  <->  ( z  -  A ) F u ) )
97, 8elab 2761 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  { w  |  ( z  -  A
) F w }  <->  ( z  -  A ) F u )
10 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  z  e.  CC )
11 simpl 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
1210, 11subcld 7854 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( z  -  A
)  e.  CC )
13 brelrng 4679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  -  A
)  e.  CC  /\  u  e.  _V  /\  (
z  -  A ) F u )  ->  u  e.  ran  F )
147, 13mp3an2 1262 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  -  A
)  e.  CC  /\  ( z  -  A
) F u )  ->  u  e.  ran  F )
1512, 14sylan 278 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  CC )  /\  ( z  -  A ) F u )  ->  u  e.  ran  F )
1615ex 114 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( z  -  A ) F u  ->  u  e.  ran  F ) )
179, 16syl5bi 151 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( u  e.  {
w  |  ( z  -  A ) F w }  ->  u  e.  ran  F ) )
1817ssrdv 3032 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  { w  |  ( z  -  A ) F w }  C_  ran  F )
1918adantll 461 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  V  /\  A  e.  CC )  /\  z  e.  CC )  ->  { w  |  ( z  -  A
) F w }  C_ 
ran  F )
206, 19ssexd 3985 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  V  /\  A  e.  CC )  /\  z  e.  CC )  ->  { w  |  ( z  -  A
) F w }  e.  _V )
214, 20opabex3d 5906 . 2  |-  ( ( F  e.  V  /\  A  e.  CC )  ->  { <. z ,  w >.  |  ( z  e.  CC  /\  ( z  -  A ) F w ) }  e.  _V )
222, 21eqeltrd 2165 1  |-  ( ( F  e.  V  /\  A  e.  CC )  ->  ( F  shift  A )  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1290    e. wcel 1439   {cab 2075   _Vcvv 2620    C_ wss 3000   class class class wbr 3851   {copab 3904   ran crn 4453  (class class class)co 5666   CCcc 7409    - cmin 7714    shift cshi 10309
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-addcom 7506  ax-addass 7508  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-cnre 7517
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-sub 7716  df-shft 10310
This theorem is referenced by:  2shfti  10326  climshftlemg  10751  climshft  10753  climshft2  10756  eftlub  11041
  Copyright terms: Public domain W3C validator