ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ovshftex Unicode version

Theorem ovshftex 10249
Description: Existence of the result of applying shift. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
ovshftex  |-  ( ( F  e.  V  /\  A  e.  CC )  ->  ( F  shift  A )  e.  _V )

Proof of Theorem ovshftex
Dummy variables  u  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shftfvalg 10248 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  F  e.  V )  ->  ( F  shift  A )  =  { <. z ,  w >.  |  (
z  e.  CC  /\  ( z  -  A
) F w ) } )
21ancoms 264 . 2  |-  ( ( F  e.  V  /\  A  e.  CC )  ->  ( F  shift  A )  =  { <. z ,  w >.  |  (
z  e.  CC  /\  ( z  -  A
) F w ) } )
3 cnex 7464 . . . 4  |-  CC  e.  _V
43a1i 9 . . 3  |-  ( ( F  e.  V  /\  A  e.  CC )  ->  CC  e.  _V )
5 rnexg 4698 . . . . 5  |-  ( F  e.  V  ->  ran  F  e.  _V )
65ad2antrr 472 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  V  /\  A  e.  CC )  /\  z  e.  CC )  ->  ran  F  e.  _V )
7 vex 2622 . . . . . . . 8  |-  u  e. 
_V
8 breq2 3849 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  u  ->  (
( z  -  A
) F w  <->  ( z  -  A ) F u ) )
97, 8elab 2760 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  { w  |  ( z  -  A
) F w }  <->  ( z  -  A ) F u )
10 simpr 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  z  e.  CC )
11 simpl 107 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
1210, 11subcld 7791 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( z  -  A
)  e.  CC )
13 brelrng 4666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  -  A
)  e.  CC  /\  u  e.  _V  /\  (
z  -  A ) F u )  ->  u  e.  ran  F )
147, 13mp3an2 1261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  -  A
)  e.  CC  /\  ( z  -  A
) F u )  ->  u  e.  ran  F )
1512, 14sylan 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  CC )  /\  ( z  -  A ) F u )  ->  u  e.  ran  F )
1615ex 113 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( z  -  A ) F u  ->  u  e.  ran  F ) )
179, 16syl5bi 150 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( u  e.  {
w  |  ( z  -  A ) F w }  ->  u  e.  ran  F ) )
1817ssrdv 3031 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  { w  |  ( z  -  A ) F w }  C_  ran  F )
1918adantll 460 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  V  /\  A  e.  CC )  /\  z  e.  CC )  ->  { w  |  ( z  -  A
) F w }  C_ 
ran  F )
206, 19ssexd 3979 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  V  /\  A  e.  CC )  /\  z  e.  CC )  ->  { w  |  ( z  -  A
) F w }  e.  _V )
214, 20opabex3d 5892 . 2  |-  ( ( F  e.  V  /\  A  e.  CC )  ->  { <. z ,  w >.  |  ( z  e.  CC  /\  ( z  -  A ) F w ) }  e.  _V )
222, 21eqeltrd 2164 1  |-  ( ( F  e.  V  /\  A  e.  CC )  ->  ( F  shift  A )  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438   {cab 2074   _Vcvv 2619    C_ wss 2999   class class class wbr 3845   {copab 3898   ran crn 4439  (class class class)co 5652   CCcc 7346    - cmin 7651    shift cshi 10244
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-addcom 7443  ax-addass 7445  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-cnre 7454
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-sub 7653  df-shft 10245
This theorem is referenced by:  2shfti  10261  climshftlemg  10686  climshft  10688  climshft2  10691  eftlub  10976
  Copyright terms: Public domain W3C validator