Theorem ovshftex 10761

Description: Existence of the result of applying shift. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ovshftex	|- ( ( F e. V /\ A e. CC ) -> ( F shift A ) e. _V )

Proof of Theorem ovshftex

Dummy variables u w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shftfvalg 10760	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ F e. V ) -> ( F shift A ) = { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } )
2	1	ancoms 266	. 2 |- ( ( F e. V /\ A e. CC ) -> ( F shift A ) = { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } )
3		cnex 7877	. . . 4 |- CC e. _V
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ( F e. V /\ A e. CC ) -> CC e. _V )
5		rnexg 4869	. . . . 5 |- ( F e. V -> ran F e. _V )
6	5	ad2antrr 480	. . . 4 |- ( ( ( F e. V /\ A e. CC ) /\ z e. CC ) -> ran F e. _V )
7		vex 2729	. . . . . . . 8 |- u e. _V
8		breq2 3986	. . . . . . . 8 |- ( w = u -> ( ( z - A ) F w <-> ( z - A ) F u ) )
9	7, 8	elab 2870	. . . . . . 7 |- ( u e. { w | ( z - A ) F w } <-> ( z - A ) F u )
10		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ z e. CC ) -> z e. CC )
11		simpl 108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ z e. CC ) -> A e. CC )
12	10, 11	subcld 8209	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ z e. CC ) -> ( z - A ) e. CC )
13		brelrng 4835	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z - A ) e. CC /\ u e. _V /\ ( z - A ) F u ) -> u e. ran F )
14	7, 13	mp3an2 1315	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z - A ) e. CC /\ ( z - A ) F u ) -> u e. ran F )
15	12, 14	sylan 281	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ z e. CC ) /\ ( z - A ) F u ) -> u e. ran F )
16	15	ex 114	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( z - A ) F u -> u e. ran F ) )
17	9, 16	syl5bi 151	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ z e. CC ) -> ( u e. { w | ( z - A ) F w } -> u e. ran F ) )
18	17	ssrdv 3148	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ z e. CC ) -> { w | ( z - A ) F w } C_ ran F )
19	18	adantll 468	. . . 4 |- ( ( ( F e. V /\ A e. CC ) /\ z e. CC ) -> { w | ( z - A ) F w } C_ ran F )
20	6, 19	ssexd 4122	. . 3 |- ( ( ( F e. V /\ A e. CC ) /\ z e. CC ) -> { w | ( z - A ) F w } e. _V )
21	4, 20	opabex3d 6089	. 2 |- ( ( F e. V /\ A e. CC ) -> { <. z , w >. | ( z e. CC /\ ( z - A ) F w ) } e. _V )
22	2, 21	eqeltrd 2243	1 |- ( ( F e. V /\ A e. CC ) -> ( F shift A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   {cab 2151   _Vcvv 2726   C_ wss 3116   class class class wbr 3982   {copab 4042   ran crn 4605  (class class class)co 5842   CCcc 7751   - cmin 8069   shift cshi 10756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-sub 8071  df-shft 10757

This theorem is referenced by:  2shfti  10773  climshftlemg  11243  climshft  11245  climshft2  11247  eftlub  11631