Theorem ovshftex 11529

Description: Existence of the result of applying shift. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ovshftex	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem ovshftex

Dummy variables 𝑢 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shftfvalg 11528	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)})
2	1	ancoms 268	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)})
3		cnex 8267	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ℂ ∈ V)
5		rnexg 5027	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ran 𝐹 ∈ V)
6	5	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ran 𝐹 ∈ V)
7		vex 2818	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑢 ∈ V
8		breq2 4118	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → ((𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤 ↔ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑢))
9	7, 8	elab 2964	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑤 ∣ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤} ↔ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑢)
10		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
11		simpl 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
12	10, 11	subcld 8600	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 − 𝐴) ∈ ℂ)
13		brelrng 4993	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ V ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑢) → 𝑢 ∈ ran 𝐹)
14	7, 13	mp3an2 1362	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑢) → 𝑢 ∈ ran 𝐹)
15	12, 14	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑢) → 𝑢 ∈ ran 𝐹)
16	15	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧 − 𝐴)𝐹𝑢 → 𝑢 ∈ ran 𝐹))
17	9, 16	biimtrid 152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑢 ∈ {𝑤 ∣ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤} → 𝑢 ∈ ran 𝐹))
18	17	ssrdv 3248	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → {𝑤 ∣ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤} ⊆ ran 𝐹)
19	18	adantll 476	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → {𝑤 ∣ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤} ⊆ ran 𝐹)
20	6, 19	ssexd 4255	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → {𝑤 ∣ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤} ∈ V)
21	4, 20	opabex3d 6323	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)} ∈ V)
22	2, 21	eqeltrd 2311	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {cab 2220  Vcvv 2815   ⊆ wss 3214   class class class wbr 4114  {copab 4175  ran crn 4755  (class class class)co 6058  ℂcc 8141   − cmin 8460   shift cshi 11524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-sub 8462  df-shft 11525

This theorem is referenced by:  2shfti  11541  climshftlemg  12012  climshft  12014  climshft2  12016  eftlub  12401