Theorem ovshftex 11215

Description: Existence of the result of applying shift. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ovshftex	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem ovshftex

Dummy variables 𝑢 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shftfvalg 11214	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)})
2	1	ancoms 268	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)})
3		cnex 8079	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ℂ ∈ V)
5		rnexg 4957	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ran 𝐹 ∈ V)
6	5	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ran 𝐹 ∈ V)
7		vex 2776	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑢 ∈ V
8		breq2 4058	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → ((𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤 ↔ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑢))
9	7, 8	elab 2921	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑤 ∣ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤} ↔ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑢)
10		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
11		simpl 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
12	10, 11	subcld 8413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 − 𝐴) ∈ ℂ)
13		brelrng 4923	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ V ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑢) → 𝑢 ∈ ran 𝐹)
14	7, 13	mp3an2 1338	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑢) → 𝑢 ∈ ran 𝐹)
15	12, 14	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑢) → 𝑢 ∈ ran 𝐹)
16	15	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧 − 𝐴)𝐹𝑢 → 𝑢 ∈ ran 𝐹))
17	9, 16	biimtrid 152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑢 ∈ {𝑤 ∣ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤} → 𝑢 ∈ ran 𝐹))
18	17	ssrdv 3203	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → {𝑤 ∣ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤} ⊆ ran 𝐹)
19	18	adantll 476	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → {𝑤 ∣ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤} ⊆ ran 𝐹)
20	6, 19	ssexd 4195	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → {𝑤 ∣ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤} ∈ V)
21	4, 20	opabex3d 6224	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)} ∈ V)
22	2, 21	eqeltrd 2283	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  {cab 2192  Vcvv 2773   ⊆ wss 3170   class class class wbr 4054  {copab 4115  ran crn 4689  (class class class)co 5962  ℂcc 7953   − cmin 8273   shift cshi 11210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-addcom 8055  ax-addass 8057  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-cnre 8066

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-sub 8275  df-shft 11211

This theorem is referenced by:  2shfti  11227  climshftlemg  11698  climshft  11700  climshft2  11702  eftlub  12086