ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ovshftex GIF version

Theorem ovshftex 10859
Description: Existence of the result of applying shift. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
ovshftex ((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem ovshftex
Dummy variables 𝑢 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shftfvalg 10858 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑤)})
21ancoms 268 . 2 ((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑤)})
3 cnex 7964 . . . 4 ℂ ∈ V
43a1i 9 . . 3 ((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ) → ℂ ∈ V)
5 rnexg 4910 . . . . 5 (𝐹𝑉 → ran 𝐹 ∈ V)
65ad2antrr 488 . . . 4 (((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ran 𝐹 ∈ V)
7 vex 2755 . . . . . . . 8 𝑢 ∈ V
8 breq2 4022 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑢 → ((𝑧𝐴)𝐹𝑤 ↔ (𝑧𝐴)𝐹𝑢))
97, 8elab 2896 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ {𝑤 ∣ (𝑧𝐴)𝐹𝑤} ↔ (𝑧𝐴)𝐹𝑢)
10 simpr 110 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
11 simpl 109 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
1210, 11subcld 8297 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧𝐴) ∈ ℂ)
13 brelrng 4876 . . . . . . . . . 10 (((𝑧𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ V ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑢) → 𝑢 ∈ ran 𝐹)
147, 13mp3an2 1336 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑢) → 𝑢 ∈ ran 𝐹)
1512, 14sylan 283 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑢) → 𝑢 ∈ ran 𝐹)
1615ex 115 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧𝐴)𝐹𝑢𝑢 ∈ ran 𝐹))
179, 16biimtrid 152 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑢 ∈ {𝑤 ∣ (𝑧𝐴)𝐹𝑤} → 𝑢 ∈ ran 𝐹))
1817ssrdv 3176 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → {𝑤 ∣ (𝑧𝐴)𝐹𝑤} ⊆ ran 𝐹)
1918adantll 476 . . . 4 (((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → {𝑤 ∣ (𝑧𝐴)𝐹𝑤} ⊆ ran 𝐹)
206, 19ssexd 4158 . . 3 (((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → {𝑤 ∣ (𝑧𝐴)𝐹𝑤} ∈ V)
214, 20opabex3d 6145 . 2 ((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ) → {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐴)𝐹𝑤)} ∈ V)
222, 21eqeltrd 2266 1 ((𝐹𝑉𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wcel 2160  {cab 2175  Vcvv 2752  wss 3144   class class class wbr 4018  {copab 4078  ran crn 4645  (class class class)co 5895  cc 7838  cmin 8157   shift cshi 10854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-addcom 7940  ax-addass 7942  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-cnre 7951
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-sub 8159  df-shft 10855
This theorem is referenced by:  2shfti  10871  climshftlemg  11341  climshft  11343  climshft2  11345  eftlub  11729
  Copyright terms: Public domain W3C validator