Theorem ovshftex 10830

Description: Existence of the result of applying shift. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ovshftex	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem ovshftex

Dummy variables 𝑢 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shftfvalg 10829	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)})
2	1	ancoms 268	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)})
3		cnex 7937	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ℂ ∈ V)
5		rnexg 4894	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ran 𝐹 ∈ V)
6	5	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ran 𝐹 ∈ V)
7		vex 2742	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑢 ∈ V
8		breq2 4009	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → ((𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤 ↔ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑢))
9	7, 8	elab 2883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑤 ∣ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤} ↔ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑢)
10		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
11		simpl 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
12	10, 11	subcld 8270	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 − 𝐴) ∈ ℂ)
13		brelrng 4860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ V ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑢) → 𝑢 ∈ ran 𝐹)
14	7, 13	mp3an2 1325	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑢) → 𝑢 ∈ ran 𝐹)
15	12, 14	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑢) → 𝑢 ∈ ran 𝐹)
16	15	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧 − 𝐴)𝐹𝑢 → 𝑢 ∈ ran 𝐹))
17	9, 16	biimtrid 152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑢 ∈ {𝑤 ∣ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤} → 𝑢 ∈ ran 𝐹))
18	17	ssrdv 3163	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → {𝑤 ∣ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤} ⊆ ran 𝐹)
19	18	adantll 476	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → {𝑤 ∣ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤} ⊆ ran 𝐹)
20	6, 19	ssexd 4145	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → {𝑤 ∣ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤} ∈ V)
21	4, 20	opabex3d 6124	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)} ∈ V)
22	2, 21	eqeltrd 2254	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {cab 2163  Vcvv 2739   ⊆ wss 3131   class class class wbr 4005  {copab 4065  ran crn 4629  (class class class)co 5877  ℂcc 7811   − cmin 8130   shift cshi 10825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-sub 8132  df-shft 10826

This theorem is referenced by:  2shfti  10842  climshftlemg  11312  climshft  11314  climshft2  11316  eftlub  11700