Theorem ovshftex 10783

Description: Existence of the result of applying shift. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ovshftex	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem ovshftex

Dummy variables 𝑢 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shftfvalg 10782	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)})
2	1	ancoms 266	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)})
3		cnex 7898	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ℂ ∈ V)
5		rnexg 4876	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ran 𝐹 ∈ V)
6	5	ad2antrr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ran 𝐹 ∈ V)
7		vex 2733	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑢 ∈ V
8		breq2 3993	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → ((𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤 ↔ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑢))
9	7, 8	elab 2874	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑤 ∣ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤} ↔ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑢)
10		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
11		simpl 108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
12	10, 11	subcld 8230	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 − 𝐴) ∈ ℂ)
13		brelrng 4842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ V ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑢) → 𝑢 ∈ ran 𝐹)
14	7, 13	mp3an2 1320	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑢) → 𝑢 ∈ ran 𝐹)
15	12, 14	sylan 281	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑢) → 𝑢 ∈ ran 𝐹)
16	15	ex 114	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧 − 𝐴)𝐹𝑢 → 𝑢 ∈ ran 𝐹))
17	9, 16	syl5bi 151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑢 ∈ {𝑤 ∣ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤} → 𝑢 ∈ ran 𝐹))
18	17	ssrdv 3153	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → {𝑤 ∣ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤} ⊆ ran 𝐹)
19	18	adantll 473	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → {𝑤 ∣ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤} ⊆ ran 𝐹)
20	6, 19	ssexd 4129	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → {𝑤 ∣ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤} ∈ V)
21	4, 20	opabex3d 6100	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)} ∈ V)
22	2, 21	eqeltrd 2247	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  {cab 2156  Vcvv 2730   ⊆ wss 3121   class class class wbr 3989  {copab 4049  ran crn 4612  (class class class)co 5853  ℂcc 7772   − cmin 8090   shift cshi 10778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-sub 8092  df-shft 10779

This theorem is referenced by:  2shfti  10795  climshftlemg  11265  climshft  11267  climshft2  11269  eftlub  11653