Theorem ovshftex 11370

Description: Existence of the result of applying shift. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ovshftex	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem ovshftex

Dummy variables 𝑢 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shftfvalg 11369	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)})
2	1	ancoms 268	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)})
3		cnex 8146	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ℂ ∈ V)
5		rnexg 4995	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ran 𝐹 ∈ V)
6	5	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ran 𝐹 ∈ V)
7		vex 2803	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑢 ∈ V
8		breq2 4090	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → ((𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤 ↔ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑢))
9	7, 8	elab 2948	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑤 ∣ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤} ↔ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑢)
10		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
11		simpl 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
12	10, 11	subcld 8480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 − 𝐴) ∈ ℂ)
13		brelrng 4961	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ V ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑢) → 𝑢 ∈ ran 𝐹)
14	7, 13	mp3an2 1359	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑢) → 𝑢 ∈ ran 𝐹)
15	12, 14	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑢) → 𝑢 ∈ ran 𝐹)
16	15	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧 − 𝐴)𝐹𝑢 → 𝑢 ∈ ran 𝐹))
17	9, 16	biimtrid 152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑢 ∈ {𝑤 ∣ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤} → 𝑢 ∈ ran 𝐹))
18	17	ssrdv 3231	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → {𝑤 ∣ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤} ⊆ ran 𝐹)
19	18	adantll 476	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → {𝑤 ∣ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤} ⊆ ran 𝐹)
20	6, 19	ssexd 4227	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → {𝑤 ∣ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤} ∈ V)
21	4, 20	opabex3d 6278	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐴)𝐹𝑤)} ∈ V)
22	2, 21	eqeltrd 2306	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 shift 𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {cab 2215  Vcvv 2800   ⊆ wss 3198   class class class wbr 4086  {copab 4147  ran crn 4724  (class class class)co 6013  ℂcc 8020   − cmin 8340   shift cshi 11365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-sub 8342  df-shft 11366

This theorem is referenced by:  2shfti  11382  climshftlemg  11853  climshft  11855  climshft2  11857  eftlub  12241