Theorem peano2uz2 9515

Description: Second Peano postulate for upper integers. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2uz2	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. { x e. ZZ | A <_ x } ) -> ( B + 1 ) e. { x e. ZZ | A <_ x } )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem peano2uz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2z 9443	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> ( B + 1 ) e. ZZ )
2	1	ad2antrl 490	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ ( B e. ZZ /\ A <_ B ) ) -> ( B + 1 ) e. ZZ )
3		zre 9411	. . . . 5 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
4		zre 9411	. . . . 5 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
5		lep1 8953	. . . . . . 7 |- ( B e. RR -> B <_ ( B + 1 ) )
6	5	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> B <_ ( B + 1 ) )
7		peano2re 8243	. . . . . . . 8 |- ( B e. RR -> ( B + 1 ) e. RR )
8	7	ancli 323	. . . . . . 7 |- ( B e. RR -> ( B e. RR /\ ( B + 1 ) e. RR ) )
9		letr 8190	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( B + 1 ) e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ ( B + 1 ) ) -> A <_ ( B + 1 ) ) )
10	9	3expb 1207	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ ( B e. RR /\ ( B + 1 ) e. RR ) ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ ( B + 1 ) ) -> A <_ ( B + 1 ) ) )
11	8, 10	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ ( B + 1 ) ) -> A <_ ( B + 1 ) ) )
12	6, 11	mpan2d 428	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B -> A <_ ( B + 1 ) ) )
13	3, 4, 12	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A <_ B -> A <_ ( B + 1 ) ) )
14	13	impr 379	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ ( B e. ZZ /\ A <_ B ) ) -> A <_ ( B + 1 ) )
15	2, 14	jca 306	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ ( B e. ZZ /\ A <_ B ) ) -> ( ( B + 1 ) e. ZZ /\ A <_ ( B + 1 ) ) )
16		breq2 4063	. . . 4 |- ( x = B -> ( A <_ x <-> A <_ B ) )
17	16	elrab 2936	. . 3 |- ( B e. { x e. ZZ | A <_ x } <-> ( B e. ZZ /\ A <_ B ) )
18	17	anbi2i 457	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. { x e. ZZ | A <_ x } ) <-> ( A e. ZZ /\ ( B e. ZZ /\ A <_ B ) ) )
19		breq2 4063	. . 3 |- ( x = ( B + 1 ) -> ( A <_ x <-> A <_ ( B + 1 ) ) )
20	19	elrab 2936	. 2 |- ( ( B + 1 ) e. { x e. ZZ | A <_ x } <-> ( ( B + 1 ) e. ZZ /\ A <_ ( B + 1 ) ) )
21	15, 18, 20	3imtr4i 201	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. { x e. ZZ | A <_ x } ) -> ( B + 1 ) e. { x e. ZZ | A <_ x } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2178   {crab 2490   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967   RRcr 7959   1c1 7961   + caddc 7963   <_ cle 8143   ZZcz 9407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408

This theorem is referenced by:  dfuzi  9518