ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  peano2uz2 Unicode version

Theorem peano2uz2 8823
Description: Second Peano postulate for upper integers. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.)
Assertion
Ref Expression
peano2uz2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  { x  e.  ZZ  |  A  <_  x } )  ->  ( B  +  1 )  e.  { x  e.  ZZ  |  A  <_  x } )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem peano2uz2
StepHypRef Expression
1 peano2z 8756 . . . 4  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B  +  1 )  e.  ZZ )
21ad2antrl 474 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( B  e.  ZZ  /\  A  <_  B )
)  ->  ( B  +  1 )  e.  ZZ )
3 zre 8724 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
4 zre 8724 . . . . 5  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  RR )
5 lep1 8278 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  B  <_  ( B  +  1 ) )
65adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  <_  ( B  +  1 ) )
7 peano2re 7597 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  +  1 )  e.  RR )
87ancli 316 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  /\  ( B  +  1 )  e.  RR ) )
9 letr 7547 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( B  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( A  <_  B  /\  B  <_  ( B  +  1 ) )  ->  A  <_  ( B  +  1 ) ) )
1093expb 1144 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  ( B  +  1 )  e.  RR ) )  ->  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  ( B  +  1 ) )  ->  A  <_  ( B  +  1 ) ) )
118, 10sylan2 280 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  ( B  +  1 ) )  ->  A  <_  ( B  +  1 ) ) )
126, 11mpan2d 419 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  ->  A  <_  ( B  +  1 ) ) )
133, 4, 12syl2an 283 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  <_  B  ->  A  <_  ( B  +  1 ) ) )
1413impr 371 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( B  e.  ZZ  /\  A  <_  B )
)  ->  A  <_  ( B  +  1 ) )
152, 14jca 300 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( B  e.  ZZ  /\  A  <_  B )
)  ->  ( ( B  +  1 )  e.  ZZ  /\  A  <_  ( B  +  1 ) ) )
16 breq2 3841 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  ( A  <_  x  <->  A  <_  B ) )
1716elrab 2769 . . 3  |-  ( B  e.  { x  e.  ZZ  |  A  <_  x }  <->  ( B  e.  ZZ  /\  A  <_  B ) )
1817anbi2i 445 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  { x  e.  ZZ  |  A  <_  x } )  <->  ( A  e.  ZZ  /\  ( B  e.  ZZ  /\  A  <_  B ) ) )
19 breq2 3841 . . 3  |-  ( x  =  ( B  + 
1 )  ->  ( A  <_  x  <->  A  <_  ( B  +  1 ) ) )
2019elrab 2769 . 2  |-  ( ( B  +  1 )  e.  { x  e.  ZZ  |  A  <_  x }  <->  ( ( B  +  1 )  e.  ZZ  /\  A  <_ 
( B  +  1 ) ) )
2115, 18, 203imtr4i 199 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  { x  e.  ZZ  |  A  <_  x } )  ->  ( B  +  1 )  e.  { x  e.  ZZ  |  A  <_  x } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    e. wcel 1438   {crab 2363   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634   RRcr 7328   1c1 7330    + caddc 7332    <_ cle 7502   ZZcz 8720
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721
This theorem is referenced by:  dfuzi  8826
  Copyright terms: Public domain W3C validator