ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  peano2uz2 Unicode version

Theorem peano2uz2 9336
Description: Second Peano postulate for upper integers. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.)
Assertion
Ref Expression
peano2uz2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  { x  e.  ZZ  |  A  <_  x } )  ->  ( B  +  1 )  e.  { x  e.  ZZ  |  A  <_  x } )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem peano2uz2
StepHypRef Expression
1 peano2z 9265 . . . 4  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B  +  1 )  e.  ZZ )
21ad2antrl 490 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( B  e.  ZZ  /\  A  <_  B )
)  ->  ( B  +  1 )  e.  ZZ )
3 zre 9233 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
4 zre 9233 . . . . 5  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  RR )
5 lep1 8778 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  B  <_  ( B  +  1 ) )
65adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  <_  ( B  +  1 ) )
7 peano2re 8070 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  +  1 )  e.  RR )
87ancli 323 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  /\  ( B  +  1 )  e.  RR ) )
9 letr 8017 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( B  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( A  <_  B  /\  B  <_  ( B  +  1 ) )  ->  A  <_  ( B  +  1 ) ) )
1093expb 1204 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  ( B  +  1 )  e.  RR ) )  ->  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  ( B  +  1 ) )  ->  A  <_  ( B  +  1 ) ) )
118, 10sylan2 286 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  ( B  +  1 ) )  ->  A  <_  ( B  +  1 ) ) )
126, 11mpan2d 428 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  ->  A  <_  ( B  +  1 ) ) )
133, 4, 12syl2an 289 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  <_  B  ->  A  <_  ( B  +  1 ) ) )
1413impr 379 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( B  e.  ZZ  /\  A  <_  B )
)  ->  A  <_  ( B  +  1 ) )
152, 14jca 306 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( B  e.  ZZ  /\  A  <_  B )
)  ->  ( ( B  +  1 )  e.  ZZ  /\  A  <_  ( B  +  1 ) ) )
16 breq2 4004 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  ( A  <_  x  <->  A  <_  B ) )
1716elrab 2893 . . 3  |-  ( B  e.  { x  e.  ZZ  |  A  <_  x }  <->  ( B  e.  ZZ  /\  A  <_  B ) )
1817anbi2i 457 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  { x  e.  ZZ  |  A  <_  x } )  <->  ( A  e.  ZZ  /\  ( B  e.  ZZ  /\  A  <_  B ) ) )
19 breq2 4004 . . 3  |-  ( x  =  ( B  + 
1 )  ->  ( A  <_  x  <->  A  <_  ( B  +  1 ) ) )
2019elrab 2893 . 2  |-  ( ( B  +  1 )  e.  { x  e.  ZZ  |  A  <_  x }  <->  ( ( B  +  1 )  e.  ZZ  /\  A  <_ 
( B  +  1 ) ) )
2115, 18, 203imtr4i 201 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  { x  e.  ZZ  |  A  <_  x } )  ->  ( B  +  1 )  e.  { x  e.  ZZ  |  A  <_  x } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    e. wcel 2148   {crab 2459   class class class wbr 4000  (class class class)co 5868   RRcr 7788   1c1 7790    + caddc 7792    <_ cle 7970   ZZcz 9229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-addcom 7889  ax-addass 7891  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-ltadd 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-inn 8896  df-n0 9153  df-z 9230
This theorem is referenced by:  dfuzi  9339
  Copyright terms: Public domain W3C validator