ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  peano2uz2 Unicode version

Theorem peano2uz2 9109
Description: Second Peano postulate for upper integers. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.)
Assertion
Ref Expression
peano2uz2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  { x  e.  ZZ  |  A  <_  x } )  ->  ( B  +  1 )  e.  { x  e.  ZZ  |  A  <_  x } )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem peano2uz2
StepHypRef Expression
1 peano2z 9041 . . . 4  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B  +  1 )  e.  ZZ )
21ad2antrl 479 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( B  e.  ZZ  /\  A  <_  B )
)  ->  ( B  +  1 )  e.  ZZ )
3 zre 9009 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
4 zre 9009 . . . . 5  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  RR )
5 lep1 8560 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  B  <_  ( B  +  1 ) )
65adantl 273 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  <_  ( B  +  1 ) )
7 peano2re 7862 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  +  1 )  e.  RR )
87ancli 319 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  /\  ( B  +  1 )  e.  RR ) )
9 letr 7811 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( B  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( A  <_  B  /\  B  <_  ( B  +  1 ) )  ->  A  <_  ( B  +  1 ) ) )
1093expb 1165 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  ( B  +  1 )  e.  RR ) )  ->  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  ( B  +  1 ) )  ->  A  <_  ( B  +  1 ) ) )
118, 10sylan2 282 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  ( B  +  1 ) )  ->  A  <_  ( B  +  1 ) ) )
126, 11mpan2d 422 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  ->  A  <_  ( B  +  1 ) ) )
133, 4, 12syl2an 285 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  <_  B  ->  A  <_  ( B  +  1 ) ) )
1413impr 374 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( B  e.  ZZ  /\  A  <_  B )
)  ->  A  <_  ( B  +  1 ) )
152, 14jca 302 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( B  e.  ZZ  /\  A  <_  B )
)  ->  ( ( B  +  1 )  e.  ZZ  /\  A  <_  ( B  +  1 ) ) )
16 breq2 3901 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  ( A  <_  x  <->  A  <_  B ) )
1716elrab 2811 . . 3  |-  ( B  e.  { x  e.  ZZ  |  A  <_  x }  <->  ( B  e.  ZZ  /\  A  <_  B ) )
1817anbi2i 450 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  { x  e.  ZZ  |  A  <_  x } )  <->  ( A  e.  ZZ  /\  ( B  e.  ZZ  /\  A  <_  B ) ) )
19 breq2 3901 . . 3  |-  ( x  =  ( B  + 
1 )  ->  ( A  <_  x  <->  A  <_  ( B  +  1 ) ) )
2019elrab 2811 . 2  |-  ( ( B  +  1 )  e.  { x  e.  ZZ  |  A  <_  x }  <->  ( ( B  +  1 )  e.  ZZ  /\  A  <_ 
( B  +  1 ) ) )
2115, 18, 203imtr4i 200 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  { x  e.  ZZ  |  A  <_  x } )  ->  ( B  +  1 )  e.  { x  e.  ZZ  |  A  <_  x } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1463   {crab 2395   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740   RRcr 7583   1c1 7585    + caddc 7587    <_ cle 7765   ZZcz 9005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8678  df-n0 8929  df-z 9006
This theorem is referenced by:  dfuzi  9112
  Copyright terms: Public domain W3C validator