Theorem peano2uz2 9685

Description: Second Peano postulate for upper integers. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2uz2	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. { x e. ZZ | A <_ x } ) -> ( B + 1 ) e. { x e. ZZ | A <_ x } )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem peano2uz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2z 9613	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> ( B + 1 ) e. ZZ )
2	1	ad2antrl 490	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ ( B e. ZZ /\ A <_ B ) ) -> ( B + 1 ) e. ZZ )
3		zre 9581	. . . . 5 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
4		zre 9581	. . . . 5 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
5		lep1 9119	. . . . . . 7 |- ( B e. RR -> B <_ ( B + 1 ) )
6	5	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> B <_ ( B + 1 ) )
7		peano2re 8409	. . . . . . . 8 |- ( B e. RR -> ( B + 1 ) e. RR )
8	7	ancli 323	. . . . . . 7 |- ( B e. RR -> ( B e. RR /\ ( B + 1 ) e. RR ) )
9		letr 8356	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( B + 1 ) e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ ( B + 1 ) ) -> A <_ ( B + 1 ) ) )
10	9	3expb 1231	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ ( B e. RR /\ ( B + 1 ) e. RR ) ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ ( B + 1 ) ) -> A <_ ( B + 1 ) ) )
11	8, 10	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ ( B + 1 ) ) -> A <_ ( B + 1 ) ) )
12	6, 11	mpan2d 428	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B -> A <_ ( B + 1 ) ) )
13	3, 4, 12	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A <_ B -> A <_ ( B + 1 ) ) )
14	13	impr 379	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ ( B e. ZZ /\ A <_ B ) ) -> A <_ ( B + 1 ) )
15	2, 14	jca 306	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ ( B e. ZZ /\ A <_ B ) ) -> ( ( B + 1 ) e. ZZ /\ A <_ ( B + 1 ) ) )
16		breq2 4113	. . . 4 |- ( x = B -> ( A <_ x <-> A <_ B ) )
17	16	elrab 2973	. . 3 |- ( B e. { x e. ZZ | A <_ x } <-> ( B e. ZZ /\ A <_ B ) )
18	17	anbi2i 457	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. { x e. ZZ | A <_ x } ) <-> ( A e. ZZ /\ ( B e. ZZ /\ A <_ B ) ) )
19		breq2 4113	. . 3 |- ( x = ( B + 1 ) -> ( A <_ x <-> A <_ ( B + 1 ) ) )
20	19	elrab 2973	. 2 |- ( ( B + 1 ) e. { x e. ZZ | A <_ x } <-> ( ( B + 1 ) e. ZZ /\ A <_ ( B + 1 ) ) )
21	15, 18, 20	3imtr4i 201	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. { x e. ZZ | A <_ x } ) -> ( B + 1 ) e. { x e. ZZ | A <_ x } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2203   {crab 2524   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050   RRcr 8126   1c1 8128   + caddc 8130   <_ cle 8309   ZZcz 9577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578

This theorem is referenced by:  dfuzi  9688