ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zeo2 Unicode version

Theorem zeo2 8850
Description: An integer is even or odd but not both. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
zeo2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  <->  -.  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )

Proof of Theorem zeo2
StepHypRef Expression
1 zcn 8753 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
2 peano2cn 7615 . . . . . 6  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
31, 2syl 14 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
4 2cnd 8493 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  e.  CC )
5 2ap0 8513 . . . . . 6  |-  2 #  0
65a1i 9 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2 #  0 )
73, 4, 6divcanap2d 8257 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  x.  ( ( N  +  1 )  /  2 ) )  =  ( N  + 
1 ) )
81, 4, 6divcanap2d 8257 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  x.  ( N  /  2 ) )  =  N )
98oveq1d 5667 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  ( N  /  2 ) )  +  1 )  =  ( N  +  1 ) )
107, 9eqtr4d 2123 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  x.  ( ( N  +  1 )  /  2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  / 
2 ) )  +  1 ) )
11 zneo 8845 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  /\  ( N  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  ( ( N  + 
1 )  /  2
) )  =/=  (
( 2  x.  ( N  /  2 ) )  +  1 ) )
1211expcom 114 . . . 4  |-  ( ( N  /  2 )  e.  ZZ  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  ->  ( 2  x.  ( ( N  +  1 )  /  2 ) )  =/=  ( ( 2  x.  ( N  / 
2 ) )  +  1 ) ) )
1312necon2bd 2313 . . 3  |-  ( ( N  /  2 )  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  (
( N  +  1 )  /  2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  /  2 ) )  +  1 )  ->  -.  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
1410, 13syl5com 29 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  ->  -.  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
15 zeo 8849 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
1615orcomd 683 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( N  /  2
)  e.  ZZ ) )
1716ord 678 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  ->  ( N  /  2 )  e.  ZZ ) )
1814, 17impbid 127 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  <->  -.  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438    =/= wne 2255   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652   CCcc 7346   0cc0 7348   1c1 7349    + caddc 7351    x. cmul 7353   # cap 8056    / cdiv 8137   2c2 8471   ZZcz 8748
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138  df-inn 8421  df-2 8479  df-n0 8672  df-z 8749
This theorem is referenced by:  zesq  10068  zeo3  11142
  Copyright terms: Public domain W3C validator