Theorem zeo2 9684

Description: An integer is even or odd but not both. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
zeo2	|- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) e. ZZ <-> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )

Proof of Theorem zeo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9582	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
2		peano2cn 8408	. . . . . 6 |- ( N e. CC -> ( N + 1 ) e. CC )
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( N + 1 ) e. CC )
4		2cnd 9310	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> 2 e. CC )
5		2ap0 9330	. . . . . 6 |- 2 # 0
6	5	a1i 9	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> 2 # 0 )
7	3, 4, 6	divcanap2d 9066	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) = ( N + 1 ) )
8	1, 4, 6	divcanap2d 9066	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. ( N / 2 ) ) = N )
9	8	oveq1d 6065	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) = ( N + 1 ) )
10	7, 9	eqtr4d 2268	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) = ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) )
11		zneo 9679	. . . . 5 |- ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ ( N / 2 ) e. ZZ ) -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) =/= ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) )
12	11	expcom 116	. . . 4 |- ( ( N / 2 ) e. ZZ -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) =/= ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) ) )
13	12	necon2bd 2470	. . 3 |- ( ( N / 2 ) e. ZZ -> ( ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) = ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) -> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
14	10, 13	syl5com 29	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) e. ZZ -> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
15		zeo 9683	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
16	15	orcomd 737	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ \/ ( N / 2 ) e. ZZ ) )
17	16	ord 732	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
18	14, 17	impbid 129	1 |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) e. ZZ <-> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   =/= wne 2412   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050   CCcc 8125   0cc0 8127   1c1 8128   + caddc 8130   x. cmul 8132   # cap 8855   / cdiv 8946   2c2 9288   ZZcz 9577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-n0 9497  df-z 9578

This theorem is referenced by:  zesq  11020  zeo3  12554