Theorem zeo2 9702

Description: An integer is even or odd but not both. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
zeo2	|- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) e. ZZ <-> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )

Proof of Theorem zeo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9599	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
2		peano2cn 8424	. . . . . 6 |- ( N e. CC -> ( N + 1 ) e. CC )
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( N + 1 ) e. CC )
4		2cnd 9327	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> 2 e. CC )
5		2ap0 9347	. . . . . 6 |- 2 # 0
6	5	a1i 9	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> 2 # 0 )
7	3, 4, 6	divcanap2d 9083	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) = ( N + 1 ) )
8	1, 4, 6	divcanap2d 9083	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. ( N / 2 ) ) = N )
9	8	oveq1d 6073	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) = ( N + 1 ) )
10	7, 9	eqtr4d 2270	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) = ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) )
11		zneo 9697	. . . . 5 |- ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ ( N / 2 ) e. ZZ ) -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) =/= ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) )
12	11	expcom 116	. . . 4 |- ( ( N / 2 ) e. ZZ -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) =/= ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) ) )
13	12	necon2bd 2472	. . 3 |- ( ( N / 2 ) e. ZZ -> ( ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) = ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) -> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
14	10, 13	syl5com 29	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) e. ZZ -> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
15		zeo 9701	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
16	15	orcomd 737	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ \/ ( N / 2 ) e. ZZ ) )
17	16	ord 732	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
18	14, 17	impbid 129	1 |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) e. ZZ <-> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058   CCcc 8141   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   x. cmul 8148   # cap 8872   / cdiv 8963   2c2 9305   ZZcz 9594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-n0 9514  df-z 9595

This theorem is referenced by:  zesq  11045  zeo3  12579