Theorem zeo2 9494

Description: An integer is even or odd but not both. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
zeo2	|- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) e. ZZ <-> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )

Proof of Theorem zeo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9392	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
2		peano2cn 8222	. . . . . 6 |- ( N e. CC -> ( N + 1 ) e. CC )
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( N + 1 ) e. CC )
4		2cnd 9124	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> 2 e. CC )
5		2ap0 9144	. . . . . 6 |- 2 # 0
6	5	a1i 9	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> 2 # 0 )
7	3, 4, 6	divcanap2d 8880	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) = ( N + 1 ) )
8	1, 4, 6	divcanap2d 8880	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. ( N / 2 ) ) = N )
9	8	oveq1d 5971	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) = ( N + 1 ) )
10	7, 9	eqtr4d 2242	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) = ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) )
11		zneo 9489	. . . . 5 |- ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ ( N / 2 ) e. ZZ ) -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) =/= ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) )
12	11	expcom 116	. . . 4 |- ( ( N / 2 ) e. ZZ -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) =/= ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) ) )
13	12	necon2bd 2435	. . 3 |- ( ( N / 2 ) e. ZZ -> ( ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) = ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) -> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
14	10, 13	syl5com 29	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) e. ZZ -> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
15		zeo 9493	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
16	15	orcomd 731	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ \/ ( N / 2 ) e. ZZ ) )
17	16	ord 726	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
18	14, 17	impbid 129	1 |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) e. ZZ <-> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2177   =/= wne 2377   class class class wbr 4050  (class class class)co 5956   CCcc 7938   0cc0 7940   1c1 7941   + caddc 7943   x. cmul 7945   # cap 8669   / cdiv 8760   2c2 9102   ZZcz 9387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-mulrcl 8039  ax-addcom 8040  ax-mulcom 8041  ax-addass 8042  ax-mulass 8043  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-1rid 8047  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-precex 8050  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-apti 8055  ax-pre-ltadd 8056  ax-pre-mulgt0 8057  ax-pre-mulext 8058

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-br 4051  df-opab 4113  df-id 4347  df-po 4350  df-iso 4351  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-sub 8260  df-neg 8261  df-reap 8663  df-ap 8670  df-div 8761  df-inn 9052  df-2 9110  df-n0 9311  df-z 9388

This theorem is referenced by:  zesq  10820  zeo3  12249