ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zeo2 Unicode version

Theorem zeo2 9357
Description: An integer is even or odd but not both. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
zeo2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  <->  -.  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )

Proof of Theorem zeo2
StepHypRef Expression
1 zcn 9256 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
2 peano2cn 8090 . . . . . 6  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
31, 2syl 14 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
4 2cnd 8990 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  e.  CC )
5 2ap0 9010 . . . . . 6  |-  2 #  0
65a1i 9 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2 #  0 )
73, 4, 6divcanap2d 8747 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  x.  ( ( N  +  1 )  /  2 ) )  =  ( N  + 
1 ) )
81, 4, 6divcanap2d 8747 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  x.  ( N  /  2 ) )  =  N )
98oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  ( N  /  2 ) )  +  1 )  =  ( N  +  1 ) )
107, 9eqtr4d 2213 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  x.  ( ( N  +  1 )  /  2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  / 
2 ) )  +  1 ) )
11 zneo 9352 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  /\  ( N  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  ( ( N  + 
1 )  /  2
) )  =/=  (
( 2  x.  ( N  /  2 ) )  +  1 ) )
1211expcom 116 . . . 4  |-  ( ( N  /  2 )  e.  ZZ  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  ->  ( 2  x.  ( ( N  +  1 )  /  2 ) )  =/=  ( ( 2  x.  ( N  / 
2 ) )  +  1 ) ) )
1312necon2bd 2405 . . 3  |-  ( ( N  /  2 )  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  (
( N  +  1 )  /  2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  /  2 ) )  +  1 )  ->  -.  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
1410, 13syl5com 29 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  ->  -.  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
15 zeo 9356 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
1615orcomd 729 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( N  /  2
)  e.  ZZ ) )
1716ord 724 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  ->  ( N  /  2 )  e.  ZZ ) )
1814, 17impbid 129 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  e.  ZZ  <->  -.  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148    =/= wne 2347   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874   CCcc 7808   0cc0 7810   1c1 7811    + caddc 7813    x. cmul 7815   # cap 8536    / cdiv 8627   2c2 8968   ZZcz 9251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-n0 9175  df-z 9252
This theorem is referenced by:  zesq  10635  zeo3  11867
  Copyright terms: Public domain W3C validator