Theorem zeo2 9357

Description: An integer is even or odd but not both. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
zeo2	|- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) e. ZZ <-> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )

Proof of Theorem zeo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9256	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
2		peano2cn 8090	. . . . . 6 |- ( N e. CC -> ( N + 1 ) e. CC )
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( N + 1 ) e. CC )
4		2cnd 8990	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> 2 e. CC )
5		2ap0 9010	. . . . . 6 |- 2 # 0
6	5	a1i 9	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> 2 # 0 )
7	3, 4, 6	divcanap2d 8747	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) = ( N + 1 ) )
8	1, 4, 6	divcanap2d 8747	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. ( N / 2 ) ) = N )
9	8	oveq1d 5889	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) = ( N + 1 ) )
10	7, 9	eqtr4d 2213	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) = ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) )
11		zneo 9352	. . . . 5 |- ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ ( N / 2 ) e. ZZ ) -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) =/= ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) )
12	11	expcom 116	. . . 4 |- ( ( N / 2 ) e. ZZ -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) =/= ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) ) )
13	12	necon2bd 2405	. . 3 |- ( ( N / 2 ) e. ZZ -> ( ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) = ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) -> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
14	10, 13	syl5com 29	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) e. ZZ -> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
15		zeo 9356	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
16	15	orcomd 729	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ \/ ( N / 2 ) e. ZZ ) )
17	16	ord 724	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
18	14, 17	impbid 129	1 |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) e. ZZ <-> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874   CCcc 7808   0cc0 7810   1c1 7811   + caddc 7813   x. cmul 7815   # cap 8536   / cdiv 8627   2c2 8968   ZZcz 9251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-n0 9175  df-z 9252

This theorem is referenced by:  zesq  10635  zeo3  11867