Theorem zeo2 9264

Description: An integer is even or odd but not both. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
zeo2	|- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) e. ZZ <-> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )

Proof of Theorem zeo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9166	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
2		peano2cn 8004	. . . . . 6 |- ( N e. CC -> ( N + 1 ) e. CC )
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( N + 1 ) e. CC )
4		2cnd 8900	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> 2 e. CC )
5		2ap0 8920	. . . . . 6 |- 2 # 0
6	5	a1i 9	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> 2 # 0 )
7	3, 4, 6	divcanap2d 8659	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) = ( N + 1 ) )
8	1, 4, 6	divcanap2d 8659	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. ( N / 2 ) ) = N )
9	8	oveq1d 5836	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) = ( N + 1 ) )
10	7, 9	eqtr4d 2193	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) = ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) )
11		zneo 9259	. . . . 5 |- ( ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ /\ ( N / 2 ) e. ZZ ) -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) =/= ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) )
12	11	expcom 115	. . . 4 |- ( ( N / 2 ) e. ZZ -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) =/= ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) ) )
13	12	necon2bd 2385	. . 3 |- ( ( N / 2 ) e. ZZ -> ( ( 2 x. ( ( N + 1 ) / 2 ) ) = ( ( 2 x. ( N / 2 ) ) + 1 ) -> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
14	10, 13	syl5com 29	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) e. ZZ -> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
15		zeo 9263	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
16	15	orcomd 719	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ \/ ( N / 2 ) e. ZZ ) )
17	16	ord 714	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
18	14, 17	impbid 128	1 |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) e. ZZ <-> -. ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1335   e. wcel 2128   =/= wne 2327   class class class wbr 3965  (class class class)co 5821   CCcc 7724   0cc0 7726   1c1 7727   + caddc 7729   x. cmul 7731   # cap 8450   / cdiv 8539   2c2 8878   ZZcz 9161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-mulrcl 7825  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-precex 7836  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842  ax-pre-mulgt0 7843  ax-pre-mulext 7844

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-reap 8444  df-ap 8451  df-div 8540  df-inn 8828  df-2 8886  df-n0 9085  df-z 9162

This theorem is referenced by:  zesq  10529  zeo3  11751