Theorem peano2uz2 9577

Description: Second Peano postulate for upper integers. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2uz2	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑥}) → (𝐵 + 1) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑥})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem peano2uz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2z 9505	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
2	1	ad2antrl 490	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
3		zre 9473	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
4		zre 9473	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
5		lep1 9015	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≤ (𝐵 + 1))
6	5	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ (𝐵 + 1))
7		peano2re 8305	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
8	7	ancli 323	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ))
9		letr 8252	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ (𝐵 + 1)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
10	9	3expb 1228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ (𝐵 + 1)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
11	8, 10	sylan2 286	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ (𝐵 + 1)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
12	6, 11	mpan2d 428	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
13	3, 4, 12	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
14	13	impr 379	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1))
15	2, 14	jca 306	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → ((𝐵 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
16		breq2 4090	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ≤ 𝑥 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
17	16	elrab 2960	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑥} ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵))
18	17	anbi2i 457	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑥}) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
19		breq2 4090	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐵 + 1) → (𝐴 ≤ 𝑥 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
20	19	elrab 2960	. 2 ⊢ ((𝐵 + 1) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑥} ↔ ((𝐵 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
21	15, 18, 20	3imtr4i 201	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑥}) → (𝐵 + 1) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑥})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200  {crab 2512   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013  ℝcr 8021  1c1 8023   + caddc 8025   ≤ cle 8205  ℤcz 9469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470

This theorem is referenced by:  dfuzi  9580