Theorem peano2uz2 9631

Description: Second Peano postulate for upper integers. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2uz2	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑥}) → (𝐵 + 1) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑥})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem peano2uz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2z 9559	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
2	1	ad2antrl 490	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
3		zre 9527	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
4		zre 9527	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
5		lep1 9067	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≤ (𝐵 + 1))
6	5	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ (𝐵 + 1))
7		peano2re 8357	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
8	7	ancli 323	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ))
9		letr 8304	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ (𝐵 + 1)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
10	9	3expb 1231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ (𝐵 + 1)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
11	8, 10	sylan2 286	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ (𝐵 + 1)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
12	6, 11	mpan2d 428	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
13	3, 4, 12	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
14	13	impr 379	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1))
15	2, 14	jca 306	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)) → ((𝐵 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
16		breq2 4097	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ≤ 𝑥 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
17	16	elrab 2963	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑥} ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵))
18	17	anbi2i 457	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑥}) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
19		breq2 4097	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐵 + 1) → (𝐴 ≤ 𝑥 ↔ 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
20	19	elrab 2963	. 2 ⊢ ((𝐵 + 1) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑥} ↔ ((𝐵 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
21	15, 18, 20	3imtr4i 201	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑥}) → (𝐵 + 1) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑥})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2202  {crab 2515   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028  ℝcr 8074  1c1 8076   + caddc 8078   ≤ cle 8257  ℤcz 9523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524

This theorem is referenced by:  dfuzi  9634