Theorem plyss 14974

Description: The polynomial set function preserves the subset relation. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plyss	⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘𝑇))

Proof of Theorem plyss

Dummy variables 𝑎 𝑓 𝑛 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → 𝑇 ⊆ ℂ)
2		cnex 8003	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
3		ssexg 4172	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑇 ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → 𝑇 ∈ V)
5		c0ex 8020	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
6	5	snex 4218	. . . . . . 7 ⊢ {0} ∈ V
7		unexg 4478	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ V ∧ {0} ∈ V) → (𝑇 ∪ {0}) ∈ V)
8	4, 6, 7	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑇 ∪ {0}) ∈ V)
9		unss1 3332	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑇 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ (𝑇 ∪ {0}))
10	9	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ (𝑇 ∪ {0}))
11		mapss 6750	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∪ {0}) ∈ V ∧ (𝑆 ∪ {0}) ⊆ (𝑇 ∪ {0})) → ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0) ⊆ ((𝑇 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))
12	8, 10, 11	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0) ⊆ ((𝑇 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0))
13		ssrexv 3248	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0) ⊆ ((𝑇 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0) → (∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) → ∃𝑎 ∈ ((𝑇 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))))
14	12, 13	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) → ∃𝑎 ∈ ((𝑇 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))))
15	14	reximdv 2598	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑇 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))))
16	15	ss2abdv 3256	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))} ⊆ {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑇 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))})
17		sstr 3191	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ)
18		plyval 14968	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → (Poly‘𝑆) = {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))})
19	17, 18	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (Poly‘𝑆) = {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))})
20		plyval 14968	. . 3 ⊢ (𝑇 ⊆ ℂ → (Poly‘𝑇) = {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑇 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))})
21	20	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (Poly‘𝑇) = {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑎 ∈ ((𝑇 ∪ {0}) ↑𝑚 ℕ0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))})
22	16, 19, 21	3sstr4d 3228	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {cab 2182  ∃wrex 2476  Vcvv 2763   ∪ cun 3155   ⊆ wss 3157  {csn 3622   ↦ cmpt 4094  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922   ↑_𝑚 cmap 6707  ℂcc 7877  0cc0 7879   · cmul 7884  ℕ₀cn0 9249  ...cfz 10083  ↑cexp 10630  Σcsu 11518  Polycply 14964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-i2m1 7984

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-map 6709  df-inn 8991  df-n0 9250  df-ply 14966

This theorem is referenced by:  plyssc  14975