Theorem prarloc2 7403

Description: A Dedekind cut is arithmetically located. This is a variation of prarloc 7402 which only constructs one (named) point and is therefore often easier to work with. It states that given a tolerance P, there are elements of the lower and upper cut which are exactly that tolerance from each other. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloc2	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) -> E. a e. L ( a +Q P ) e. U )

Distinct variable groups:   L, a   P, a   U, a

Proof of Theorem prarloc2

Dummy variable b is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prarloc 7402	. 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) -> E. a e. L E. b e. U b <Q ( a +Q P ) )
2		prcunqu 7384	. . . . 5 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ b e. U ) -> ( b <Q ( a +Q P ) -> ( a +Q P ) e. U ) )
3	2	rexlimdva 2571	. . . 4 |- ( <. L , U >. e. P. -> ( E. b e. U b <Q ( a +Q P ) -> ( a +Q P ) e. U ) )
4	3	reximdv 2555	. . 3 |- ( <. L , U >. e. P. -> ( E. a e. L E. b e. U b <Q ( a +Q P ) -> E. a e. L ( a +Q P ) e. U ) )
5	4	adantr 274	. 2 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) -> ( E. a e. L E. b e. U b <Q ( a +Q P ) -> E. a e. L ( a +Q P ) e. U ) )
6	1, 5	mpd 13	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ P e. Q. ) -> E. a e. L ( a +Q P ) e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2125   E.wrex 2433   <.cop 3559   class class class wbr 3961  (class class class)co 5814   Q.cnq 7179   +Q cplq 7181   <Q cltq 7184   P.cnp 7190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-eprel 4244  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-iord 4321  df-on 4323  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-irdg 6307  df-1o 6353  df-2o 6354  df-oadd 6357  df-omul 6358  df-er 6469  df-ec 6471  df-qs 6475  df-ni 7203  df-pli 7204  df-mi 7205  df-lti 7206  df-plpq 7243  df-mpq 7244  df-enq 7246  df-nqqs 7247  df-plqqs 7248  df-mqqs 7249  df-1nqqs 7250  df-rq 7251  df-ltnqqs 7252  df-enq0 7323  df-nq0 7324  df-0nq0 7325  df-plq0 7326  df-mq0 7327  df-inp 7365

This theorem is referenced by:  addcanprleml  7513  addcanprlemu  7514  aptiprleml  7538  aptiprlemu  7539