ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloc2 Unicode version

Theorem prarloc2 6966
Description: A Dedekind cut is arithmetically located. This is a variation of prarloc 6965 which only constructs one (named) point and is therefore often easier to work with. It states that given a tolerance  P, there are elements of the lower and upper cut which are exactly that tolerance from each other. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloc2  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  P  e.  Q. )  ->  E. a  e.  L  ( a  +Q  P )  e.  U
)
Distinct variable groups:    L, a    P, a    U, a

Proof of Theorem prarloc2
Dummy variable  b is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prarloc 6965 . 2  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  P  e.  Q. )  ->  E. a  e.  L  E. b  e.  U  b  <Q  ( a  +Q  P ) )
2 prcunqu 6947 . . . . 5  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  b  e.  U )  ->  (
b  <Q  ( a  +Q  P )  ->  (
a  +Q  P )  e.  U ) )
32rexlimdva 2483 . . . 4  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  ( E. b  e.  U  b  <Q  ( a  +Q  P )  ->  ( a  +Q  P )  e.  U
) )
43reximdv 2468 . . 3  |-  ( <. L ,  U >.  e. 
P.  ->  ( E. a  e.  L  E. b  e.  U  b  <Q  ( a  +Q  P )  ->  E. a  e.  L  ( a  +Q  P
)  e.  U ) )
54adantr 270 . 2  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  P  e.  Q. )  ->  ( E. a  e.  L  E. b  e.  U  b  <Q  ( a  +Q  P
)  ->  E. a  e.  L  ( a  +Q  P )  e.  U
) )
61, 5mpd 13 1  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  P  e.  Q. )  ->  E. a  e.  L  ( a  +Q  P )  e.  U
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    e. wcel 1434   E.wrex 2354   <.cop 3425   class class class wbr 3811  (class class class)co 5591   Q.cnq 6742    +Q cplq 6744    <Q cltq 6747   P.cnp 6753
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-eprel 4080  df-id 4084  df-po 4087  df-iso 4088  df-iord 4157  df-on 4159  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-recs 6002  df-irdg 6067  df-1o 6113  df-2o 6114  df-oadd 6117  df-omul 6118  df-er 6222  df-ec 6224  df-qs 6228  df-ni 6766  df-pli 6767  df-mi 6768  df-lti 6769  df-plpq 6806  df-mpq 6807  df-enq 6809  df-nqqs 6810  df-plqqs 6811  df-mqqs 6812  df-1nqqs 6813  df-rq 6814  df-ltnqqs 6815  df-enq0 6886  df-nq0 6887  df-0nq0 6888  df-plq0 6889  df-mq0 6890  df-inp 6928
This theorem is referenced by:  addcanprleml  7076  addcanprlemu  7077  aptiprleml  7101  aptiprlemu  7102
  Copyright terms: Public domain W3C validator