Theorem quseccl0g 13485

Description: Closure of the quotient map for a quotient group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.) Generalization of quseccl 13487 for arbitrary sets 𝐺. (Revised by AV, 24-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
quseccl0.e	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)
quseccl0.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 /s ∼ )
quseccl0.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝐺)
quseccl0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
quseccl0g	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → [𝑋] ∼ ∈ 𝐵)

Proof of Theorem quseccl0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quseccl0.e	. . . 4 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)
2		eqgex 13475	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (𝐺 ~QG 𝑆) ∈ V)
3	2	3adant2 1018	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (𝐺 ~QG 𝑆) ∈ V)
4	1, 3	eqeltrid 2291	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → ∼ ∈ V)
5		simp2 1000	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → 𝑋 ∈ 𝐶)
6		ecelqsg 6665	. . 3 ⊢ (( ∼ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → [𝑋] ∼ ∈ (𝐶 / ∼ ))
7	4, 5, 6	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → [𝑋] ∼ ∈ (𝐶 / ∼ ))
8		quseccl0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐺 /s ∼ )
9	8	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → 𝐻 = (𝐺 /s ∼ ))
10		quseccl0.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝐺)
11	10	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → 𝐶 = (Base‘𝐺))
12		simp1 999	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → 𝐺 ∈ 𝑉)
13	9, 11, 4, 12	qusbas 13077	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (𝐶 / ∼ ) = (Base‘𝐻))
14		quseccl0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
15	13, 14	eqtr4di 2255	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (𝐶 / ∼ ) = 𝐵)
16	7, 15	eleqtrd 2283	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → [𝑋] ∼ ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 980   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  Vcvv 2771  ‘cfv 5268  (class class class)co 5934  [cec 6608   / cqs 6609  Basecbs 12751   /_s cqus 13050   ~_QG cqg 13423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-addcom 8007  ax-addass 8009  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-ltadd 8023

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-tp 3640  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-ec 6612  df-qs 6616  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-ltxr 8094  df-inn 9019  df-2 9077  df-3 9078  df-ndx 12754  df-slot 12755  df-base 12757  df-plusg 12841  df-mulr 12842  df-iimas 13052  df-qus 13053  df-eqg 13426

This theorem is referenced by:  quseccl  13487  ecqusaddcl  13493