Theorem quseccl0g 13195

Description: Closure of the quotient map for a quotient group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.) Generalization of quseccl 13197 for arbitrary sets 𝐺. (Revised by AV, 24-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
quseccl0.e	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)
quseccl0.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 /s ∼ )
quseccl0.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝐺)
quseccl0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
quseccl0g	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → [𝑋] ∼ ∈ 𝐵)

Proof of Theorem quseccl0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quseccl0.e	. . . 4 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)
2		eqgex 13185	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (𝐺 ~QG 𝑆) ∈ V)
3	2	3adant2 1018	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (𝐺 ~QG 𝑆) ∈ V)
4	1, 3	eqeltrid 2276	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → ∼ ∈ V)
5		simp2 1000	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → 𝑋 ∈ 𝐶)
6		ecelqsg 6618	. . 3 ⊢ (( ∼ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → [𝑋] ∼ ∈ (𝐶 / ∼ ))
7	4, 5, 6	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → [𝑋] ∼ ∈ (𝐶 / ∼ ))
8		quseccl0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐺 /s ∼ )
9	8	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → 𝐻 = (𝐺 /s ∼ ))
10		quseccl0.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝐺)
11	10	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → 𝐶 = (Base‘𝐺))
12		simp1 999	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → 𝐺 ∈ 𝑉)
13	9, 11, 4, 12	qusbas 12815	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (𝐶 / ∼ ) = (Base‘𝐻))
14		quseccl0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
15	13, 14	eqtr4di 2240	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (𝐶 / ∼ ) = 𝐵)
16	7, 15	eleqtrd 2268	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → [𝑋] ∼ ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  Vcvv 2752  ‘cfv 5238  (class class class)co 5900  [cec 6561   / cqs 6562  Basecbs 12523   /_s cqus 12788   ~_QG cqg 13133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-addcom 7946  ax-addass 7948  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-ltadd 7962

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-tp 3618  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-ec 6565  df-qs 6569  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-ltxr 8032  df-inn 8955  df-2 9013  df-3 9014  df-ndx 12526  df-slot 12527  df-base 12529  df-plusg 12613  df-mulr 12614  df-iimas 12790  df-qus 12791  df-eqg 13136

This theorem is referenced by:  quseccl  13197  ecqusaddcl  13203