Theorem quseccl0g 13642

Description: Closure of the quotient map for a quotient group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.) Generalization of quseccl 13644 for arbitrary sets 𝐺. (Revised by AV, 24-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
quseccl0.e	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)
quseccl0.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 /s ∼ )
quseccl0.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝐺)
quseccl0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
quseccl0g	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → [𝑋] ∼ ∈ 𝐵)

Proof of Theorem quseccl0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quseccl0.e	. . . 4 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)
2		eqgex 13632	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (𝐺 ~QG 𝑆) ∈ V)
3	2	3adant2 1019	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (𝐺 ~QG 𝑆) ∈ V)
4	1, 3	eqeltrid 2293	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → ∼ ∈ V)
5		simp2 1001	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → 𝑋 ∈ 𝐶)
6		ecelqsg 6688	. . 3 ⊢ (( ∼ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → [𝑋] ∼ ∈ (𝐶 / ∼ ))
7	4, 5, 6	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → [𝑋] ∼ ∈ (𝐶 / ∼ ))
8		quseccl0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐺 /s ∼ )
9	8	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → 𝐻 = (𝐺 /s ∼ ))
10		quseccl0.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝐺)
11	10	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → 𝐶 = (Base‘𝐺))
12		simp1 1000	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → 𝐺 ∈ 𝑉)
13	9, 11, 4, 12	qusbas 13234	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (𝐶 / ∼ ) = (Base‘𝐻))
14		quseccl0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
15	13, 14	eqtr4di 2257	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (𝐶 / ∼ ) = 𝐵)
16	7, 15	eleqtrd 2285	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → [𝑋] ∼ ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957  [cec 6631   / cqs 6632  Basecbs 12907   /_s cqus 13207   ~_QG cqg 13580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-tp 3646  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-ec 6635  df-qs 6639  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-ltxr 8132  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-plusg 12997  df-mulr 12998  df-iimas 13209  df-qus 13210  df-eqg 13583

This theorem is referenced by:  quseccl  13644  ecqusaddcl  13650