Theorem quseccl0g 14093

Description: Closure of the quotient map for a quotient group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.) Generalization of quseccl 14095 for arbitrary sets 𝐺. (Revised by AV, 24-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
quseccl0.e	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)
quseccl0.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 /s ∼ )
quseccl0.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝐺)
quseccl0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
quseccl0g	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → [𝑋] ∼ ∈ 𝐵)

Proof of Theorem quseccl0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quseccl0.e	. . . 4 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)
2		eqgex 14083	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (𝐺 ~QG 𝑆) ∈ V)
3	2	3adant2 1047	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (𝐺 ~QG 𝑆) ∈ V)
4	1, 3	eqeltrid 2325	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → ∼ ∈ V)
5		simp2 1029	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → 𝑋 ∈ 𝐶)
6		ecelqsg 6866	. . 3 ⊢ (( ∼ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → [𝑋] ∼ ∈ (𝐶 / ∼ ))
7	4, 5, 6	syl2anc 415	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → [𝑋] ∼ ∈ (𝐶 / ∼ ))
8		quseccl0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐺 /s ∼ )
9	8	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → 𝐻 = (𝐺 /s ∼ ))
10		quseccl0.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝐺)
11	10	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → 𝐶 = (Base‘𝐺))
12		simp1 1028	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → 𝐺 ∈ 𝑉)
13	9, 11, 4, 12	qusbas 13707	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (𝐶 / ∼ ) = (Base‘𝐻))
14		quseccl0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
15	13, 14	eqtr4di 2289	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → (𝐶 / ∼ ) = 𝐵)
16	7, 15	eleqtrd 2317	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑆 ∈ 𝑍) → [𝑋] ∼ ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  [cec 6809   / cqs 6810  Basecbs 13410   /_s cqus 13682   ~_QG cqg 14031

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-ec 6813  df-qs 6817  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-iimas 13683  df-qus 13684  df-eqg 14034

This theorem is used by:  quseccl  14095  ecqusaddcl  14101