Theorem rec1nq 7315

Description: Reciprocal of positive fraction one. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rec1nq	⊢ (*Q‘1Q) = 1Q

Proof of Theorem rec1nq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nq 7286	. . . 4 ⊢ 1Q ∈ Q
2		recclnq 7312	. . . 4 ⊢ (1Q ∈ Q → (*Q‘1Q) ∈ Q)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (*Q‘1Q) ∈ Q
4		mulcomnqg 7303	. . 3 ⊢ (((*Q‘1Q) ∈ Q ∧ 1Q ∈ Q) → ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (1Q ·Q (*Q‘1Q)))
5	3, 1, 4	mp2an 423	. 2 ⊢ ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (1Q ·Q (*Q‘1Q))
6		mulidnq 7309	. . 3 ⊢ ((*Q‘1Q) ∈ Q → ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (*Q‘1Q))
7	1, 2, 6	mp2b 8	. 2 ⊢ ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (*Q‘1Q)
8		recidnq 7313	. . 3 ⊢ (1Q ∈ Q → (1Q ·Q (*Q‘1Q)) = 1Q)
9	1, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ (1Q ·Q (*Q‘1Q)) = 1Q
10	5, 7, 9	3eqtr3i 2186	1 ⊢ (*Q‘1Q) = 1Q

Syntax hints:   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  ‘cfv 5170  (class class class)co 5824  Qcnq 7200  1_Qc1q 7201   ·_Q cmq 7203  *_Qcrq 7204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-irdg 6317  df-1o 6363  df-oadd 6367  df-omul 6368  df-er 6480  df-ec 6482  df-qs 6486  df-ni 7224  df-mi 7226  df-mpq 7265  df-enq 7267  df-nqqs 7268  df-mqqs 7270  df-1nqqs 7271  df-rq 7272

This theorem is referenced by:  recexprlem1ssl  7553  caucvgprlemm  7588  caucvgprprlemmu  7615  caucvgsr  7722