Theorem rec1nq 7590

Description: Reciprocal of positive fraction one. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rec1nq	⊢ (*Q‘1Q) = 1Q

Proof of Theorem rec1nq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nq 7561	. . . 4 ⊢ 1Q ∈ Q
2		recclnq 7587	. . . 4 ⊢ (1Q ∈ Q → (*Q‘1Q) ∈ Q)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (*Q‘1Q) ∈ Q
4		mulcomnqg 7578	. . 3 ⊢ (((*Q‘1Q) ∈ Q ∧ 1Q ∈ Q) → ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (1Q ·Q (*Q‘1Q)))
5	3, 1, 4	mp2an 426	. 2 ⊢ ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (1Q ·Q (*Q‘1Q))
6		mulidnq 7584	. . 3 ⊢ ((*Q‘1Q) ∈ Q → ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (*Q‘1Q))
7	1, 2, 6	mp2b 8	. 2 ⊢ ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (*Q‘1Q)
8		recidnq 7588	. . 3 ⊢ (1Q ∈ Q → (1Q ·Q (*Q‘1Q)) = 1Q)
9	1, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ (1Q ·Q (*Q‘1Q)) = 1Q
10	5, 7, 9	3eqtr3i 2258	1 ⊢ (*Q‘1Q) = 1Q

Syntax hints:   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  Qcnq 7475  1_Qc1q 7476   ·_Q cmq 7478  *_Qcrq 7479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-1o 6568  df-oadd 6572  df-omul 6573  df-er 6688  df-ec 6690  df-qs 6694  df-ni 7499  df-mi 7501  df-mpq 7540  df-enq 7542  df-nqqs 7543  df-mqqs 7545  df-1nqqs 7546  df-rq 7547

This theorem is referenced by:  recexprlem1ssl  7828  caucvgprlemm  7863  caucvgprprlemmu  7890  caucvgsr  7997