Theorem rec1nq 7706

Description: Reciprocal of positive fraction one. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rec1nq	⊢ (*Q‘1Q) = 1Q

Proof of Theorem rec1nq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nq 7677	. . . 4 ⊢ 1Q ∈ Q
2		recclnq 7703	. . . 4 ⊢ (1Q ∈ Q → (*Q‘1Q) ∈ Q)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (*Q‘1Q) ∈ Q
4		mulcomnqg 7694	. . 3 ⊢ (((*Q‘1Q) ∈ Q ∧ 1Q ∈ Q) → ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (1Q ·Q (*Q‘1Q)))
5	3, 1, 4	mp2an 426	. 2 ⊢ ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (1Q ·Q (*Q‘1Q))
6		mulidnq 7700	. . 3 ⊢ ((*Q‘1Q) ∈ Q → ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (*Q‘1Q))
7	1, 2, 6	mp2b 8	. 2 ⊢ ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (*Q‘1Q)
8		recidnq 7704	. . 3 ⊢ (1Q ∈ Q → (1Q ·Q (*Q‘1Q)) = 1Q)
9	1, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ (1Q ·Q (*Q‘1Q)) = 1Q
10	5, 7, 9	3eqtr3i 2261	1 ⊢ (*Q‘1Q) = 1Q

Syntax hints:   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  Qcnq 7591  1_Qc1q 7592   ·_Q cmq 7594  *_Qcrq 7595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-irdg 6600  df-1o 6646  df-oadd 6650  df-omul 6651  df-er 6766  df-ec 6768  df-qs 6772  df-ni 7615  df-mi 7617  df-mpq 7656  df-enq 7658  df-nqqs 7659  df-mqqs 7661  df-1nqqs 7662  df-rq 7663

This theorem is referenced by:  recexprlem1ssl  7944  caucvgprlemm  7979  caucvgprprlemmu  8006  caucvgsr  8113