Theorem rec1nq 7756

Description: Reciprocal of positive fraction one. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rec1nq	⊢ (*Q‘1Q) = 1Q

Proof of Theorem rec1nq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nq 7727	. . . 4 ⊢ 1Q ∈ Q
2		recclnq 7753	. . . 4 ⊢ (1Q ∈ Q → (*Q‘1Q) ∈ Q)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (*Q‘1Q) ∈ Q
4		mulcomnqg 7744	. . 3 ⊢ (((*Q‘1Q) ∈ Q ∧ 1Q ∈ Q) → ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (1Q ·Q (*Q‘1Q)))
5	3, 1, 4	mp2an 430	. 2 ⊢ ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (1Q ·Q (*Q‘1Q))
6		mulidnq 7750	. . 3 ⊢ ((*Q‘1Q) ∈ Q → ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (*Q‘1Q))
7	1, 2, 6	mp2b 8	. 2 ⊢ ((*Q‘1Q) ·Q 1Q) = (*Q‘1Q)
8		recidnq 7754	. . 3 ⊢ (1Q ∈ Q → (1Q ·Q (*Q‘1Q)) = 1Q)
9	1, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ (1Q ·Q (*Q‘1Q)) = 1Q
10	5, 7, 9	3eqtr3i 2267	1 ⊢ (*Q‘1Q) = 1Q

Syntax hints:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  Qcnq 7641  1_Qc1q 7642   ·_Q cmq 7644  *_Qcrq 7645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-1o 6681  df-oadd 6685  df-omul 6686  df-er 6801  df-ec 6803  df-qs 6807  df-ni 7665  df-mi 7667  df-mpq 7706  df-enq 7708  df-nqqs 7709  df-mqqs 7711  df-1nqqs 7712  df-rq 7713

This theorem is referenced by:  recexprlem1ssl  7994  caucvgprlemm  8029  caucvgprprlemmu  8056  caucvgsr  8163