Theorem ringcom 13989

Description: Commutativity of the additive group of a ring. (Contributed by Gérard Lang, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringacl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringacl.p	⊢ + = (+g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringcom	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Proof of Theorem ringcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1021	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringacl.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4	2, 3	ringidcl 13978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
6		ringacl.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ + = (+g‘𝑅)
7	2, 6	ringacl 13988	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
8	1, 5, 5, 7	syl3anc 1271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
9		simp2 1022	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		simp3 1023	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
11		eqid 2229	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12	2, 6, 11	ringdi 13976	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = ((((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋) + (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑌)))
13	1, 8, 9, 10, 12	syl13anc 1273	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = ((((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋) + (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑌)))
14	2, 6	ringacl 13988	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
15	2, 6, 11	ringdir 13977	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌))))
16	1, 5, 5, 14, 15	syl13anc 1273	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌))))
17	13, 16	eqtr3d 2264	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋) + (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑌)) = (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌))))
18	2, 6, 11	ringdir 13977	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋) = (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋)))
19	1, 5, 5, 9, 18	syl13anc 1273	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋) = (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋)))
20	2, 11, 3	ringlidm 13981	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑋)
21	1, 9, 20	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑋)
22	21, 21	oveq12d 6018	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋)) = (𝑋 + 𝑋))
23	19, 22	eqtrd 2262	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋) = (𝑋 + 𝑋))
24	2, 6, 11	ringdir 13977	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑌) = (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑌) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑌)))
25	1, 5, 5, 10, 24	syl13anc 1273	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑌) = (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑌) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑌)))
26	2, 11, 3	ringlidm 13981	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑌)
27	1, 10, 26	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑌)
28	27, 27	oveq12d 6018	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑌) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑌)) = (𝑌 + 𝑌))
29	25, 28	eqtrd 2262	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑌) = (𝑌 + 𝑌))
30	23, 29	oveq12d 6018	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋) + (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑌)) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
31	2, 11, 3	ringlidm 13981	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))
32	1, 14, 31	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))
33	32, 32	oveq12d 6018	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌))) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
34	17, 30, 33	3eqtr3d 2270	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
35		ringgrp 13959	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
36	1, 35	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
37	2, 6	ringacl 13988	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐵)
38	1, 9, 9, 37	syl3anc 1271	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐵)
39	2, 6	grpass 13537	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
40	36, 38, 10, 10, 39	syl13anc 1273	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
41	2, 6	grpass 13537	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
42	36, 14, 9, 10, 41	syl13anc 1273	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
43	34, 40, 42	3eqtr4d 2272	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌))
44	2, 6	ringacl 13988	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝐵)
45	1, 38, 10, 44	syl3anc 1271	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝐵)
46	2, 6	ringacl 13988	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) ∈ 𝐵)
47	1, 14, 9, 46	syl3anc 1271	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) ∈ 𝐵)
48	2, 6	grprcan 13565	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) ↔ ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋)))
49	36, 45, 47, 10, 48	syl13anc 1273	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) ↔ ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋)))
50	43, 49	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋))
51	2, 6	grpass 13537	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)))
52	36, 9, 9, 10, 51	syl13anc 1273	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)))
53	2, 6	grpass 13537	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)))
54	36, 9, 10, 9, 53	syl13anc 1273	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)))
55	50, 52, 54	3eqtr3d 2270	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)))
56	2, 6	ringacl 13988	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
57	56	3com23 1233	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
58	2, 6	grplcan 13590	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) ↔ (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))
59	36, 14, 57, 9, 58	syl13anc 1273	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) ↔ (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))
60	55, 59	mpbid 147	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  Basecbs 13027  +_gcplusg 13105  ._rcmulr 13106  Grpcgrp 13528  1_rcur 13917  Ringcrg 13954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-ltxr 8182  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-sets 13034  df-plusg 13118  df-mulr 13119  df-0g 13286  df-mgm 13384  df-sgrp 13430  df-mnd 13445  df-grp 13531  df-minusg 13532  df-mgp 13879  df-ur 13918  df-ring 13956

This theorem is referenced by:  ringabl  13990