ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ringcom GIF version
Theorem ringcom 13219
Description: Commutativity of the additive group of a ring. (Contributed by GΓ©rard Lang, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ringacl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
ringacl.p + = (+gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
ringcom ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 + π‘Œ) = (π‘Œ + 𝑋))
Proof of Theorem ringcom
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 ringacl.b . . . . . . . . . . 11 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
3 eqid 2177 . . . . . . . . . . 11 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
42, 3ringidcl 13208 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
51, 4syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
6 ringacl.p . . . . . . . . . 10 + = (+gβ€˜π‘…)
72, 6ringacl 13218 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡 ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…) + (1rβ€˜π‘…)) ∈ 𝐡)
81, 5, 5, 7syl3anc 1238 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…) + (1rβ€˜π‘…)) ∈ 𝐡)
9 simp2 998 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
10 simp3 999 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
11 eqid 2177 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
122, 6, 11ringdi 13206 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((1rβ€˜π‘…) + (1rβ€˜π‘…)) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (((1rβ€˜π‘…) + (1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) = ((((1rβ€˜π‘…) + (1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)𝑋) + (((1rβ€˜π‘…) + (1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)π‘Œ)))
131, 8, 9, 10, 12syl13anc 1240 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((1rβ€˜π‘…) + (1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) = ((((1rβ€˜π‘…) + (1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)𝑋) + (((1rβ€˜π‘…) + (1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)π‘Œ)))
142, 6ringacl 13218 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡)
152, 6, 11ringdir 13207 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡 ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡)) β†’ (((1rβ€˜π‘…) + (1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) = (((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) + ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))))
161, 5, 5, 14, 15syl13anc 1240 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((1rβ€˜π‘…) + (1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) = (((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) + ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))))
1713, 16eqtr3d 2212 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((((1rβ€˜π‘…) + (1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)𝑋) + (((1rβ€˜π‘…) + (1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)π‘Œ)) = (((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) + ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))))
182, 6, 11ringdir 13207 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡 ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (((1rβ€˜π‘…) + (1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)𝑋) = (((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)𝑋) + ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)𝑋)))
191, 5, 5, 9, 18syl13anc 1240 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((1rβ€˜π‘…) + (1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)𝑋) = (((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)𝑋) + ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)𝑋)))
202, 11, 3ringlidm 13211 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)𝑋) = 𝑋)
211, 9, 20syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)𝑋) = 𝑋)
2221, 21oveq12d 5895 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)𝑋) + ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)𝑋)) = (𝑋 + 𝑋))
2319, 22eqtrd 2210 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((1rβ€˜π‘…) + (1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)𝑋) = (𝑋 + 𝑋))
242, 6, 11ringdir 13207 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡 ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (((1rβ€˜π‘…) + (1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)π‘Œ) = (((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)π‘Œ) + ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)π‘Œ)))
251, 5, 5, 10, 24syl13anc 1240 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((1rβ€˜π‘…) + (1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)π‘Œ) = (((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)π‘Œ) + ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)π‘Œ)))
262, 11, 3ringlidm 13211 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)π‘Œ) = π‘Œ)
271, 10, 26syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)π‘Œ) = π‘Œ)
2827, 27oveq12d 5895 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)π‘Œ) + ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)π‘Œ)) = (π‘Œ + π‘Œ))
2925, 28eqtrd 2210 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((1rβ€˜π‘…) + (1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)π‘Œ) = (π‘Œ + π‘Œ))
3023, 29oveq12d 5895 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((((1rβ€˜π‘…) + (1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)𝑋) + (((1rβ€˜π‘…) + (1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)π‘Œ)) = ((𝑋 + 𝑋) + (π‘Œ + π‘Œ)))
312, 11, 3ringlidm 13211 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) = (𝑋 + π‘Œ))
321, 14, 31syl2anc 411 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) = (𝑋 + π‘Œ))
3332, 32oveq12d 5895 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ)) + ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(𝑋 + π‘Œ))) = ((𝑋 + π‘Œ) + (𝑋 + π‘Œ)))
3417, 30, 333eqtr3d 2218 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 + 𝑋) + (π‘Œ + π‘Œ)) = ((𝑋 + π‘Œ) + (𝑋 + π‘Œ)))
35 ringgrp 13189 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
361, 35syl 14 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
372, 6ringacl 13218 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐡)
381, 9, 9, 37syl3anc 1238 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐡)
392, 6grpass 12891 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) + π‘Œ) = ((𝑋 + 𝑋) + (π‘Œ + π‘Œ)))
4036, 38, 10, 10, 39syl13anc 1240 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) + π‘Œ) = ((𝑋 + 𝑋) + (π‘Œ + π‘Œ)))
412, 6grpass 12891 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋) + π‘Œ) = ((𝑋 + π‘Œ) + (𝑋 + π‘Œ)))
4236, 14, 9, 10, 41syl13anc 1240 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋) + π‘Œ) = ((𝑋 + π‘Œ) + (𝑋 + π‘Œ)))
4334, 40, 423eqtr4d 2220 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) + π‘Œ) = (((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋) + π‘Œ))
442, 6ringacl 13218 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) ∈ 𝐡)
451, 38, 10, 44syl3anc 1238 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) ∈ 𝐡)
462, 6ringacl 13218 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋) ∈ 𝐡)
471, 14, 9, 46syl3anc 1238 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋) ∈ 𝐡)
482, 6grprcan 12915 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) + π‘Œ) = (((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋) + π‘Œ) ↔ ((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) = ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋)))
4936, 45, 47, 10, 48syl13anc 1240 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) + π‘Œ) = (((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋) + π‘Œ) ↔ ((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) = ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋)))
5043, 49mpbid 147 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) = ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋))
512, 6grpass 12891 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) = (𝑋 + (𝑋 + π‘Œ)))
5236, 9, 9, 10, 51syl13anc 1240 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 + 𝑋) + π‘Œ) = (𝑋 + (𝑋 + π‘Œ)))
532, 6grpass 12891 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋) = (𝑋 + (π‘Œ + 𝑋)))
5436, 9, 10, 9, 53syl13anc 1240 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑋) = (𝑋 + (π‘Œ + 𝑋)))
5550, 52, 543eqtr3d 2218 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 + (𝑋 + π‘Œ)) = (𝑋 + (π‘Œ + 𝑋)))
562, 6ringacl 13218 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ + 𝑋) ∈ 𝐡)
57563com23 1209 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ + 𝑋) ∈ 𝐡)
582, 6grplcan 12937 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ + 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 + (𝑋 + π‘Œ)) = (𝑋 + (π‘Œ + 𝑋)) ↔ (𝑋 + π‘Œ) = (π‘Œ + 𝑋)))
5936, 14, 57, 9, 58syl13anc 1240 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 + (𝑋 + π‘Œ)) = (𝑋 + (π‘Œ + 𝑋)) ↔ (𝑋 + π‘Œ) = (π‘Œ + 𝑋)))
6055, 59mpbid 147 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 + π‘Œ) = (π‘Œ + 𝑋))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  Basecbs 12464  +gcplusg 12538  .rcmulr 12539  Grpcgrp 12882  1rcur 13147  Ringcrg 13184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-grp 12885  df-minusg 12886  df-mgp 13136  df-ur 13148  df-ring 13186
This theorem is referenced by:  ringabl  13220
  Copyright terms: Public domain W3C validator