Theorem ringcom 13663

Description: Commutativity of the additive group of a ring. (Contributed by Gérard Lang, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringacl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringacl.p	⊢ + = (+g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringcom	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Proof of Theorem ringcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 999	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringacl.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4	2, 3	ringidcl 13652	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
6		ringacl.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ + = (+g‘𝑅)
7	2, 6	ringacl 13662	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
8	1, 5, 5, 7	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
9		simp2 1000	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		simp3 1001	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
11		eqid 2196	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12	2, 6, 11	ringdi 13650	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = ((((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋) + (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑌)))
13	1, 8, 9, 10, 12	syl13anc 1251	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = ((((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋) + (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑌)))
14	2, 6	ringacl 13662	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
15	2, 6, 11	ringdir 13651	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌))))
16	1, 5, 5, 14, 15	syl13anc 1251	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌))))
17	13, 16	eqtr3d 2231	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋) + (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑌)) = (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌))))
18	2, 6, 11	ringdir 13651	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋) = (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋)))
19	1, 5, 5, 9, 18	syl13anc 1251	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋) = (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋)))
20	2, 11, 3	ringlidm 13655	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑋)
21	1, 9, 20	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑋)
22	21, 21	oveq12d 5943	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋)) = (𝑋 + 𝑋))
23	19, 22	eqtrd 2229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋) = (𝑋 + 𝑋))
24	2, 6, 11	ringdir 13651	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑌) = (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑌) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑌)))
25	1, 5, 5, 10, 24	syl13anc 1251	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑌) = (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑌) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑌)))
26	2, 11, 3	ringlidm 13655	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑌)
27	1, 10, 26	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑌)
28	27, 27	oveq12d 5943	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑌) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑌)) = (𝑌 + 𝑌))
29	25, 28	eqtrd 2229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑌) = (𝑌 + 𝑌))
30	23, 29	oveq12d 5943	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑋) + (((1r‘𝑅) + (1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑌)) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
31	2, 11, 3	ringlidm 13655	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))
32	1, 14, 31	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))
33	32, 32	oveq12d 5943	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑋 + 𝑌))) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
34	17, 30, 33	3eqtr3d 2237	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
35		ringgrp 13633	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
36	1, 35	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
37	2, 6	ringacl 13662	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐵)
38	1, 9, 9, 37	syl3anc 1249	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐵)
39	2, 6	grpass 13211	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
40	36, 38, 10, 10, 39	syl13anc 1251	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
41	2, 6	grpass 13211	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
42	36, 14, 9, 10, 41	syl13anc 1251	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
43	34, 40, 42	3eqtr4d 2239	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌))
44	2, 6	ringacl 13662	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝐵)
45	1, 38, 10, 44	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝐵)
46	2, 6	ringacl 13662	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) ∈ 𝐵)
47	1, 14, 9, 46	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) ∈ 𝐵)
48	2, 6	grprcan 13239	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) ↔ ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋)))
49	36, 45, 47, 10, 48	syl13anc 1251	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) ↔ ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋)))
50	43, 49	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋))
51	2, 6	grpass 13211	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)))
52	36, 9, 9, 10, 51	syl13anc 1251	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)))
53	2, 6	grpass 13211	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)))
54	36, 9, 10, 9, 53	syl13anc 1251	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)))
55	50, 52, 54	3eqtr3d 2237	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)))
56	2, 6	ringacl 13662	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
57	56	3com23 1211	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
58	2, 6	grplcan 13264	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) ↔ (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))
59	36, 14, 57, 9, 58	syl13anc 1251	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) ↔ (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))
60	55, 59	mpbid 147	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  Basecbs 12703  +_gcplusg 12780  ._rcmulr 12781  Grpcgrp 13202  1_rcur 13591  Ringcrg 13628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-sets 12710  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-0g 12960  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-grp 13205  df-minusg 13206  df-mgp 13553  df-ur 13592  df-ring 13630

This theorem is referenced by:  ringabl  13664