Theorem rlmvnegg 14478

Description: Vector negation in the ring module. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rlmvnegg	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (invg‘𝑅) = (invg‘(ringLMod‘𝑅)))

Proof of Theorem rlmvnegg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2232	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
2		rlmbasg 14468	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
3		id 19	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ 𝑉)
4		rlmfn 14466	. . 3 ⊢ ringLMod Fn V
5		elex 2814	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
6		funfvex 5656	. . . 4 ⊢ ((Fun ringLMod ∧ 𝑅 ∈ dom ringLMod) → (ringLMod‘𝑅) ∈ V)
7	6	funfni 5432	. . 3 ⊢ ((ringLMod Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (ringLMod‘𝑅) ∈ V)
8	4, 5, 7	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (ringLMod‘𝑅) ∈ V)
9		rlmplusgg 14469	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (+g‘𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅)))
10	9	oveqdr 6045	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘(ringLMod‘𝑅))𝑦))
11	1, 2, 3, 8, 10	grpinvpropdg 13657	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (invg‘𝑅) = (invg‘(ringLMod‘𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802   Fn wfn 5321  ‘cfv 5326  Basecbs 13081  +_gcplusg 13159  inv_gcminusg 13583  ringLModcrglmod 14447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-iress 13089  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-sca 13175  df-vsca 13176  df-ip 13177  df-0g 13340  df-minusg 13586  df-sra 14448  df-rgmod 14449

This theorem is referenced by:  lidlnegcl  14498