Theorem rlmvnegg 14021

Description: Vector negation in the ring module. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rlmvnegg	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (invg‘𝑅) = (invg‘(ringLMod‘𝑅)))

Proof of Theorem rlmvnegg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2197	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
2		rlmbasg 14011	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
3		id 19	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ 𝑉)
4		rlmfn 14009	. . 3 ⊢ ringLMod Fn V
5		elex 2774	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
6		funfvex 5575	. . . 4 ⊢ ((Fun ringLMod ∧ 𝑅 ∈ dom ringLMod) → (ringLMod‘𝑅) ∈ V)
7	6	funfni 5358	. . 3 ⊢ ((ringLMod Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (ringLMod‘𝑅) ∈ V)
8	4, 5, 7	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (ringLMod‘𝑅) ∈ V)
9		rlmplusgg 14012	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (+g‘𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅)))
10	9	oveqdr 5950	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘(ringLMod‘𝑅))𝑦))
11	1, 2, 3, 8, 10	grpinvpropdg 13207	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (invg‘𝑅) = (invg‘(ringLMod‘𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   Fn wfn 5253  ‘cfv 5258  Basecbs 12678  +_gcplusg 12755  inv_gcminusg 13133  ringLModcrglmod 13990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-iress 12686  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-sca 12771  df-vsca 12772  df-ip 12773  df-0g 12929  df-minusg 13136  df-sra 13991  df-rgmod 13992

This theorem is referenced by:  lidlnegcl  14041