Theorem rlmvnegg 14777

Description: Vector negation in the ring module. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rlmvnegg	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (invg‘𝑅) = (invg‘(ringLMod‘𝑅)))

Proof of Theorem rlmvnegg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2239	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
2		rlmbasg 14767	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
3		id 19	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ 𝑉)
4		rlmfn 14765	. . 3 ⊢ ringLMod Fn V
5		elex 2833	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
6		funfvex 5710	. . . 4 ⊢ ((Fun ringLMod ∧ 𝑅 ∈ dom ringLMod) → (ringLMod‘𝑅) ∈ V)
7	6	funfni 5481	. . 3 ⊢ ((ringLMod Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (ringLMod‘𝑅) ∈ V)
8	4, 5, 7	sylancr 418	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (ringLMod‘𝑅) ∈ V)
9		rlmplusgg 14768	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (+g‘𝑅) = (+g‘(ringLMod‘𝑅)))
10	9	oveqdr 6106	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘(ringLMod‘𝑅))𝑦))
11	1, 2, 3, 8, 10	grpinvpropdg 13860	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (invg‘𝑅) = (invg‘(ringLMod‘𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   Fn wfn 5370  ‘cfv 5375  Basecbs 13333  +_gcplusg 13411  inv_gcminusg 13786  ringLModcrglmod 14746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-addcom 8272  ax-addass 8274  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-lttrn 8286  ax-pre-ltadd 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-ltxr 8358  df-inn 9287  df-2 9345  df-3 9346  df-4 9347  df-5 9348  df-6 9349  df-7 9350  df-8 9351  df-ndx 13336  df-slot 13337  df-base 13339  df-sets 13340  df-iress 13341  df-plusg 13424  df-mulr 13425  df-sca 13427  df-vsca 13428  df-ip 13429  df-0g 13592  df-minusg 13789  df-sra 14747  df-rgmod 14748

This theorem is referenced by:  lidlnegcl  14797