Theorem seq3-1p 10436

Description: Removing the first term from a sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqsplit.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
iseqsplit.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
iseqsplit.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
seq3-1p.4	|- ( ph -> M e. ZZ )
seq3-1p.5	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
seq3-1p	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( ( F ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, F   x, M, y, z   ph, x, y, z   x, N, y, z   x, .+ , y, z   x, S, y, z

Proof of Theorem seq3-1p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqsplit.1	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
2		iseqsplit.2	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
3		iseqsplit.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
4		seq3-1p.4	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
5		uzid 9501	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
7		seq3-1p.5	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
8	1, 2, 3, 6, 7	seq3split 10435	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) )
9	4, 7, 1	seq3-1 10416	. . 3 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
10	9	oveq1d 5868	. 2 |- ( ph -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) = ( ( F ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) )
11	8, 10	eqtrd 2203	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( ( F ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   1c1 7775   + caddc 7777   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   seqcseq 10401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966  df-seqfrec 10402

This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumkj  10454