Theorem seq3-1p 9972

Description: Removing the first term from a sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqsplit.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
iseqsplit.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
iseqsplit.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
seq3-1p.4	|- ( ph -> M e. ZZ )
seq3-1p.5	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
seq3-1p	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( ( F ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, F   x, M, y, z   ph, x, y, z   x, N, y, z   x, .+ , y, z   x, S, y, z

Proof of Theorem seq3-1p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqsplit.1	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
2		iseqsplit.2	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
3		iseqsplit.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
4		seq3-1p.4	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
5		uzid 9096	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
7		seq3-1p.5	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
8	1, 2, 3, 6, 7	seq3split 9970	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) )
9	4, 7, 1	seq3-1 9940	. . 3 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
10	9	oveq1d 5683	. 2 |- ( ph -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) = ( ( F ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) )
11	8, 10	eqtrd 2121	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( ( F ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 925   = wceq 1290   e. wcel 1439   ` cfv 5030  (class class class)co 5668   1c1 7414   + caddc 7416   ZZcz 8813   ZZ>=cuz 9082   seqcseq 9915

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-addcom 7508  ax-addass 7510  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-ltadd 7524

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-frec 6172  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-inn 8486  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-fz 9488  df-iseq 9916  df-seq3 9917

This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumkj  9990