Theorem seq3-1p 10253

Description: Removing the first term from a sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqsplit.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
iseqsplit.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
iseqsplit.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
seq3-1p.4	|- ( ph -> M e. ZZ )
seq3-1p.5	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
seq3-1p	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( ( F ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, F   x, M, y, z   ph, x, y, z   x, N, y, z   x, .+ , y, z   x, S, y, z

Proof of Theorem seq3-1p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqsplit.1	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
2		iseqsplit.2	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
3		iseqsplit.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
4		seq3-1p.4	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
5		uzid 9340	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
7		seq3-1p.5	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
8	1, 2, 3, 6, 7	seq3split 10252	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) )
9	4, 7, 1	seq3-1 10233	. . 3 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
10	9	oveq1d 5789	. 2 |- ( ph -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) = ( ( F ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) )
11	8, 10	eqtrd 2172	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( ( F ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   1c1 7621   + caddc 7623   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326   seqcseq 10218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-fz 9791  df-seqfrec 10219

This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumkj  10271