Theorem seq3split 10283

Description: Split a sequence into two sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Aug-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3split.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
seq3split.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
seq3split.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
seq3split.4	|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` K ) )
seq3split.5	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( F ` x ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
seq3split	|- ( ph -> ( seq K ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, F   x, K, y, z   x, M, y, z   ph, x, y, z   x, N, y, z   x, .+ , y, z   x, S, y, z

Proof of Theorem seq3split

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq3split.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
2		eluzfz2 9843	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> N e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
4		eleq1 2203	. . . . . 6 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) <-> ( M + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
5		fveq2 5429	. . . . . . 7 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( seq K ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) )
6		fveq2 5429	. . . . . . . 8 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) )
7	6	oveq2d 5798	. . . . . . 7 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) ) )
8	5, 7	eqeq12d 2155	. . . . . 6 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) <-> ( seq K ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) ) ) )
9	4, 8	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) ) <-> ( ( M + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) ) ) ) )
10	9	imbi2d 229	. . . 4 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( ( ph -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( M + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) ) ) ) ) )
11		eleq1 2203	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) <-> n e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
12		fveq2 5429	. . . . . . 7 |- ( x = n -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( seq K ( .+ , F ) ` n ) )
13		fveq2 5429	. . . . . . . 8 |- ( x = n -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) )
14	13	oveq2d 5798	. . . . . . 7 |- ( x = n -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) )
15	12, 14	eqeq12d 2155	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) <-> ( seq K ( .+ , F ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) ) )
16	11, 15	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( x = n -> ( ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) ) <-> ( n e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) ) ) )
17	16	imbi2d 229	. . . 4 |- ( x = n -> ( ( ph -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) ) ) <-> ( ph -> ( n e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) ) ) ) )
18		eleq1 2203	. . . . . 6 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) <-> ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
19		fveq2 5429	. . . . . . 7 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( seq K ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) )
20		fveq2 5429	. . . . . . . 8 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) )
21	20	oveq2d 5798	. . . . . . 7 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) )
22	19, 21	eqeq12d 2155	. . . . . 6 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) <-> ( seq K ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
23	18, 22	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) ) <-> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
24	23	imbi2d 229	. . . 4 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) ) )
25		eleq1 2203	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) <-> N e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
26		fveq2 5429	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( seq K ( .+ , F ) ` N ) )
27		fveq2 5429	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) )
28	27	oveq2d 5798	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) )
29	26, 28	eqeq12d 2155	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) <-> ( seq K ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) ) )
30	25, 29	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( x = N -> ( ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) ) <-> ( N e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) ) ) )
31	30	imbi2d 229	. . . 4 |- ( x = N -> ( ( ph -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) ) ) <-> ( ph -> ( N e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) ) ) ) )
32		seq3split.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` K ) )
33		seq3split.5	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( F ` x ) e. S )
34		seq3split.1	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
35	32, 33, 34	seq3p1 10266	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( F ` ( M + 1 ) ) ) )
36		eluzel2 9355	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( M + 1 ) e. ZZ )
37	1, 36	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ZZ )
38		simpl 108	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ph )
39		eluzel2 9355	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( ZZ>= ` K ) -> K e. ZZ )
40	32, 39	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> K e. ZZ )
41	40	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> K e. ZZ )
42		eluzelz 9359	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> x e. ZZ )
43	42	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> x e. ZZ )
44	41	zred 9197	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> K e. RR )
45		eluzelz 9359	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. ( ZZ>= ` K ) -> M e. ZZ )
46	32, 45	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. ZZ )
47	46	zred 9197	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. RR )
48	47	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> M e. RR )
49	43	zred 9197	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> x e. RR )
50		eluzle 9362	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( ZZ>= ` K ) -> K <_ M )
51	32, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> K <_ M )
52	51	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> K <_ M )
53		peano2re 7922	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. RR -> ( M + 1 ) e. RR )
54	48, 53	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( M + 1 ) e. RR )
55	48	lep1d 8713	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> M <_ ( M + 1 ) )
56		eluzle 9362	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( M + 1 ) <_ x )
57	56	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( M + 1 ) <_ x )
58	48, 54, 49, 55, 57	letrd 7910	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> M <_ x )
59	44, 48, 49, 52, 58	letrd 7910	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> K <_ x )
60		eluz2 9356	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ZZ>= ` K ) <-> ( K e. ZZ /\ x e. ZZ /\ K <_ x ) )
61	41, 43, 59, 60	syl3anbrc 1166	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> x e. ( ZZ>= ` K ) )
62	38, 61, 33	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( F ` x ) e. S )
63	37, 62, 34	seq3-1 10264	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) = ( F ` ( M + 1 ) ) )
64	63	oveq2d 5798	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( F ` ( M + 1 ) ) ) )
65	35, 64	eqtr4d 2176	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) ) )
66	65	a1i13 24	. . . 4 |- ( ( M + 1 ) e. ZZ -> ( ph -> ( ( M + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) ) ) ) )
67		peano2fzr 9848	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> n e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
68	67	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> n e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
69	68	expr 373	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> n e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
70	69	imim1d 75	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( n e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) ) ) )
71		oveq1 5789	. . . . . 6 |- ( ( seq K ( .+ , F ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
72		simprl 521	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
73		peano2uz 9405	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( ZZ>= ` K ) -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
74	32, 73	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
75	74	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
76		uztrn 9366	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) ) -> n e. ( ZZ>= ` K ) )
77	72, 75, 76	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` K ) )
78	33	adantlr 469	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( F ` x ) e. S )
79	34	adantlr 469	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
80	77, 78, 79	seq3p1 10266	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
81	62	adantlr 469	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( F ` x ) e. S )
82	72, 81, 79	seq3p1 10266	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
83	82	oveq2d 5798	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
84		simpl 108	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ph )
85		eqid 2140	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZZ>= ` K ) = ( ZZ>= ` K )
86	85, 40, 33, 34	seqf 10265	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> seq K ( .+ , F ) : ( ZZ>= ` K ) --> S )
87	86, 32	ffvelrnd 5564	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , F ) ` M ) e. S )
88	87	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` M ) e. S )
89		eqid 2140	. . . . . . . . . . 11 |- ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( M + 1 ) )
90	37	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( M + 1 ) e. ZZ )
91	89, 90, 81, 79	seqf 10265	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) : ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) --> S )
92	91, 72	ffvelrnd 5564	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) e. S )
93		fveq2 5429	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
94	93	eleq1d 2209	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) )
95	33	ralrimiva 2508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` K ) ( F ` x ) e. S )
96	95	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> A. x e. ( ZZ>= ` K ) ( F ` x ) e. S )
97		fzssuz 9876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( ZZ>= ` ( M + 1 ) )
98		uzss 9370	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) -> ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` K ) )
99	74, 98	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` K ) )
100	97, 99	sstrid 3113	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( ZZ>= ` K ) )
101		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
102		ssel2 3097	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( ZZ>= ` K ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
103	100, 101, 102	syl2an 287	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
104	94, 96, 103	rspcdva 2798	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S )
105		seq3split.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
106	105	caovassg 5937	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) e. S /\ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) e. S /\ ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) ) -> ( ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
107	84, 88, 92, 104, 106	syl13anc 1219	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
108	83, 107	eqtr4d 2176	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
109	80, 108	eqeq12d 2155	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) <-> ( ( seq K ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
110	71, 109	syl5ibr 155	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
111	70, 110	animpimp2impd 549	. . . 4 |- ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( ( ph -> ( n e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) ) ) -> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) ) )
112	10, 17, 24, 31, 66, 111	uzind4 9410	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( ph -> ( N e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) ) ) )
113	1, 112	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( N e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) ) )
114	3, 113	mpd 13	1 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   C_ wss 3076   class class class wbr 3937   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   RRcr 7643   1c1 7645   + caddc 7647   <_ cle 7825   ZZcz 9078   ZZ>=cuz 9350   ...cfz 9821   seqcseq 10249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-fz 9822  df-seqfrec 10250

This theorem is referenced by:  seq3-1p  10284  seq3f1olemqsumk  10303  seq3f1olemqsum  10304  bcval5  10541  clim2ser  11138  clim2ser2  11139  isumsplit  11292  cvgratnnlemseq  11327  clim2divap  11341