Theorem seq3split 10465

Description: Split a sequence into two sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Aug-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3split.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
seq3split.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
seq3split.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
seq3split.4	|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` K ) )
seq3split.5	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( F ` x ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
seq3split	|- ( ph -> ( seq K ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, F   x, K, y, z   x, M, y, z   ph, x, y, z   x, N, y, z   x, .+ , y, z   x, S, y, z

Proof of Theorem seq3split

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq3split.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
2		eluzfz2 10018	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> N e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
4		eleq1 2240	. . . . . 6 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) <-> ( M + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
5		fveq2 5511	. . . . . . 7 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( seq K ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) )
6		fveq2 5511	. . . . . . . 8 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) )
7	6	oveq2d 5885	. . . . . . 7 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) ) )
8	5, 7	eqeq12d 2192	. . . . . 6 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) <-> ( seq K ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) ) ) )
9	4, 8	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) ) <-> ( ( M + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) ) ) ) )
10	9	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( ( ph -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( M + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) ) ) ) ) )
11		eleq1 2240	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) <-> n e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
12		fveq2 5511	. . . . . . 7 |- ( x = n -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( seq K ( .+ , F ) ` n ) )
13		fveq2 5511	. . . . . . . 8 |- ( x = n -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) )
14	13	oveq2d 5885	. . . . . . 7 |- ( x = n -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) )
15	12, 14	eqeq12d 2192	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) <-> ( seq K ( .+ , F ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) ) )
16	11, 15	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = n -> ( ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) ) <-> ( n e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) ) ) )
17	16	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = n -> ( ( ph -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) ) ) <-> ( ph -> ( n e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) ) ) ) )
18		eleq1 2240	. . . . . 6 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) <-> ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
19		fveq2 5511	. . . . . . 7 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( seq K ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) )
20		fveq2 5511	. . . . . . . 8 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) )
21	20	oveq2d 5885	. . . . . . 7 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) )
22	19, 21	eqeq12d 2192	. . . . . 6 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) <-> ( seq K ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
23	18, 22	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) ) <-> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
24	23	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) ) )
25		eleq1 2240	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) <-> N e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
26		fveq2 5511	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( seq K ( .+ , F ) ` N ) )
27		fveq2 5511	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) )
28	27	oveq2d 5885	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) )
29	26, 28	eqeq12d 2192	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) <-> ( seq K ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) ) )
30	25, 29	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = N -> ( ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) ) <-> ( N e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) ) ) )
31	30	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = N -> ( ( ph -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) ) ) <-> ( ph -> ( N e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) ) ) ) )
32		seq3split.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` K ) )
33		seq3split.5	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( F ` x ) e. S )
34		seq3split.1	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
35	32, 33, 34	seq3p1 10448	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( F ` ( M + 1 ) ) ) )
36		eluzel2 9522	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( M + 1 ) e. ZZ )
37	1, 36	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ZZ )
38		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ph )
39		eluzel2 9522	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( ZZ>= ` K ) -> K e. ZZ )
40	32, 39	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> K e. ZZ )
41	40	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> K e. ZZ )
42		eluzelz 9526	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> x e. ZZ )
43	42	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> x e. ZZ )
44	41	zred 9364	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> K e. RR )
45		eluzelz 9526	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. ( ZZ>= ` K ) -> M e. ZZ )
46	32, 45	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. ZZ )
47	46	zred 9364	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. RR )
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> M e. RR )
49	43	zred 9364	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> x e. RR )
50		eluzle 9529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( ZZ>= ` K ) -> K <_ M )
51	32, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> K <_ M )
52	51	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> K <_ M )
53		peano2re 8083	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. RR -> ( M + 1 ) e. RR )
54	48, 53	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( M + 1 ) e. RR )
55	48	lep1d 8877	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> M <_ ( M + 1 ) )
56		eluzle 9529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( M + 1 ) <_ x )
57	56	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( M + 1 ) <_ x )
58	48, 54, 49, 55, 57	letrd 8071	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> M <_ x )
59	44, 48, 49, 52, 58	letrd 8071	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> K <_ x )
60		eluz2 9523	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ZZ>= ` K ) <-> ( K e. ZZ /\ x e. ZZ /\ K <_ x ) )
61	41, 43, 59, 60	syl3anbrc 1181	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> x e. ( ZZ>= ` K ) )
62	38, 61, 33	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( F ` x ) e. S )
63	37, 62, 34	seq3-1 10446	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) = ( F ` ( M + 1 ) ) )
64	63	oveq2d 5885	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( F ` ( M + 1 ) ) ) )
65	35, 64	eqtr4d 2213	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) ) )
66	65	a1i13 24	. . . 4 |- ( ( M + 1 ) e. ZZ -> ( ph -> ( ( M + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) ) ) ) )
67		peano2fzr 10023	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> n e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
68	67	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> n e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
69	68	expr 375	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> n e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
70	69	imim1d 75	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( n e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) ) ) )
71		oveq1 5876	. . . . . 6 |- ( ( seq K ( .+ , F ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
72		simprl 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
73		peano2uz 9572	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( ZZ>= ` K ) -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
74	32, 73	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
75	74	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
76		uztrn 9533	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) ) -> n e. ( ZZ>= ` K ) )
77	72, 75, 76	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` K ) )
78	33	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( F ` x ) e. S )
79	34	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
80	77, 78, 79	seq3p1 10448	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
81	62	adantlr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( F ` x ) e. S )
82	72, 81, 79	seq3p1 10448	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
83	82	oveq2d 5885	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
84		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ph )
85		eqid 2177	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZZ>= ` K ) = ( ZZ>= ` K )
86	85, 40, 33, 34	seqf 10447	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> seq K ( .+ , F ) : ( ZZ>= ` K ) --> S )
87	86, 32	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , F ) ` M ) e. S )
88	87	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` M ) e. S )
89		eqid 2177	. . . . . . . . . . 11 |- ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( M + 1 ) )
90	37	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( M + 1 ) e. ZZ )
91	89, 90, 81, 79	seqf 10447	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) : ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) --> S )
92	91, 72	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) e. S )
93		fveq2 5511	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
94	93	eleq1d 2246	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) )
95	33	ralrimiva 2550	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` K ) ( F ` x ) e. S )
96	95	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> A. x e. ( ZZ>= ` K ) ( F ` x ) e. S )
97		fzssuz 10051	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( ZZ>= ` ( M + 1 ) )
98		uzss 9537	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) -> ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` K ) )
99	74, 98	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` K ) )
100	97, 99	sstrid 3166	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( ZZ>= ` K ) )
101		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
102		ssel2 3150	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( ZZ>= ` K ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
103	100, 101, 102	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
104	94, 96, 103	rspcdva 2846	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S )
105		seq3split.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
106	105	caovassg 6027	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) e. S /\ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) e. S /\ ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) ) -> ( ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
107	84, 88, 92, 104, 106	syl13anc 1240	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
108	83, 107	eqtr4d 2213	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
109	80, 108	eqeq12d 2192	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) <-> ( ( seq K ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
110	71, 109	syl5ibr 156	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
111	70, 110	animpimp2impd 559	. . . 4 |- ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( ( ph -> ( n e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) ) ) -> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) ) )
112	10, 17, 24, 31, 66, 111	uzind4 9577	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( ph -> ( N e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) ) ) )
113	1, 112	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( N e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) ) )
114	3, 113	mpd 13	1 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   C_ wss 3129   class class class wbr 4000   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   RRcr 7801   1c1 7803   + caddc 7805   <_ cle 7983   ZZcz 9242   ZZ>=cuz 9517   ...cfz 9995   seqcseq 10431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-ltadd 7918

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-fz 9996  df-seqfrec 10432

This theorem is referenced by:  seq3-1p  10466  seq3f1olemqsumk  10485  seq3f1olemqsum  10486  bcval5  10727  clim2ser  11329  clim2ser2  11330  isumsplit  11483  cvgratnnlemseq  11518  clim2divap  11532  mulgnndir  12900