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Theorem seq3split 10387
Description: Split a sequence into two sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Aug-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
seq3split.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
seq3split.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
seq3split.3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )
seq3split.4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  K ) )
seq3split.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
Assertion
Ref Expression
seq3split  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  ( (  seq K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  N )
) )
Distinct variable groups:    x, y, z, F    x, K, y, z    x, M, y, z    ph, x, y, z   
x, N, y, z   
x,  .+ , y, z    x, S, y, z

Proof of Theorem seq3split
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seq3split.3 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )
2 eluzfz2 9940 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  N  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )
31, 2syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )
4 eleq1 2220 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  ( M  +  1 )  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
5 fveq2 5470 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq K (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) )
6 fveq2 5470 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) )
76oveq2d 5842 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) )
85, 7eqeq12d 2172 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) )  <->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) )
94, 8imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K
(  .+  ,  F
) `  x )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) )  <->  ( ( M  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
109imbi2d 229 . . . 4  |-  ( x  =  ( M  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( M  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) ) )
11 eleq1 2220 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
12 fveq2 5470 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq K (  .+  ,  F ) `  n
) )
13 fveq2 5470 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) )
1413oveq2d 5842 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
) ) )
1512, 14eqeq12d 2172 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) )  <->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) )
1611, 15imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  (
( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K
(  .+  ,  F
) `  x )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) )  <->  ( n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) ) )
1716imbi2d 229 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) ) ) )
18 eleq1 2220 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  ( n  +  1 )  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
19 fveq2 5470 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )
20 fveq2 5470 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )
2120oveq2d 5842 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
2219, 21eqeq12d 2172 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) )  <->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
2318, 22imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K
(  .+  ,  F
) `  x )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) )  <->  ( (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
2423imbi2d 229 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) ) )
25 eleq1 2220 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  <->  N  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
26 fveq2 5470 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq K (  .+  ,  F ) `  N
) )
27 fveq2 5470 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  x
)  =  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  N
) )
2827oveq2d 5842 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  N
) ) )
2926, 28eqeq12d 2172 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) )  <->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  N
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) )
3025, 29imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K
(  .+  ,  F
) `  x )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) )  <->  ( N  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  N
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
3130imbi2d 229 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( x  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  x
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( N  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  N
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) ) ) )
32 seq3split.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  K ) )
33 seq3split.5 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
34 seq3split.1 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
3532, 33, 34seq3p1 10370 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 ( M  + 
1 ) )  =  ( (  seq K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  ( F `  ( M  +  1 ) ) ) )
36 eluzel2 9449 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
371, 36syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
38 simpl 108 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ph )
39 eluzel2 9449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  K  e.  ZZ )
4032, 39syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
4140adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
42 eluzelz 9453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  x  e.  ZZ )
4342adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ZZ )
4441zred 9291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  K  e.  RR )
45 eluzelz 9453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  M  e.  ZZ )
4632, 45syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4746zred 9291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
4847adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  M  e.  RR )
4943zred 9291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  x  e.  RR )
50 eluzle 9456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  K  <_  M )
5132, 50syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  <_  M )
5251adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  K  <_  M )
53 peano2re 8015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  RR  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
5448, 53syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
5548lep1d 8807 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  M  <_  ( M  +  1 ) )
56 eluzle 9456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( M  +  1 )  <_  x )
5756adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( M  +  1 )  <_  x )
5848, 54, 49, 55, 57letrd 8003 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  M  <_  x )
5944, 48, 49, 52, 58letrd 8003 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  K  <_  x )
60 eluz2 9450 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  K
)  <->  ( K  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  K  <_  x ) )
6141, 43, 59, 60syl3anbrc 1166 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  K )
)
6238, 61, 33syl2anc 409 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
6337, 62, 34seq3-1 10368 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq ( M  +  1 ) ( 
.+  ,  F ) `
 ( M  + 
1 ) )  =  ( F `  ( M  +  1 ) ) )
6463oveq2d 5842 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  seq K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  ( M  +  1 ) ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  ( F `  ( M  +  1 ) ) ) )
6535, 64eqtr4d 2193 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 ( M  + 
1 ) )  =  ( (  seq K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  ( M  +  1 ) ) ) )
6665a1i13 24 . . . 4  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( ( M  +  1 )  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) ) ) ) )
67 peano2fzr 9945 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )  ->  n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )
6867adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )
6968expr 373 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ) )
7069imim1d 75 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
n  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  -> 
(  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K
(  .+  ,  F
) `  n )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) ) )
71 oveq1 5833 . . . . . 6  |-  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
72 simprl 521 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
73 peano2uz 9499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K )
)
7432, 73syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K ) )
7574adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
) )
76 uztrn 9460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  K )
)
7772, 75, 76syl2anc 409 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  K )
)
7833adantlr 469 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  K ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
7934adantlr 469 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
8077, 78, 79seq3p1 10370 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
8162adantlr 469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  S
)
8272, 81, 79seq3p1 10370 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
8382oveq2d 5842 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  .+  ( (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
84 simpl 108 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  ph )
85 eqid 2157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= `  K )  =  (
ZZ>= `  K )
8685, 40, 33, 34seqf 10369 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  seq K (  .+  ,  F ) : (
ZZ>= `  K ) --> S )
8786, 32ffvelrnd 5605 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 M )  e.  S )
8887adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  e.  S )
89 eqid 2157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  =  (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) )
9037adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
9189, 90, 81, 79seqf 10369 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) : (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) ) --> S )
9291, 72ffvelrnd 5605 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  n
)  e.  S )
93 fveq2 5470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
9493eleq1d 2226 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  x
)  e.  S  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S
) )
9533ralrimiva 2530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
ZZ>= `  K ) ( F `  x )  e.  S )
9695adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  A. x  e.  ( ZZ>= `  K )
( F `  x
)  e.  S )
97 fzssuz 9973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  +  1 ) ... N )  C_  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )
98 uzss 9464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  C_  ( ZZ>=
`  K ) )
9974, 98syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) 
C_  ( ZZ>= `  K
) )
10097, 99sstrid 3139 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  C_  ( ZZ>= `  K ) )
101 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )  -> 
( n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )
102 ssel2 3123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  + 
1 ) ... N
)  C_  ( ZZ>= `  K )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) )  -> 
( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K ) )
103100, 101, 102syl2an 287 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  K
) )
10494, 96, 103rspcdva 2821 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S )
105 seq3split.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
106105caovassg 5981 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  e.  S  /\  (  seq ( M  + 
1 ) (  .+  ,  F ) `  n
)  e.  S  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S ) )  ->  ( ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  ( (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
10784, 88, 92, 104, 106syl13anc 1222 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
( (  seq K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  n )
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  ( (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
10883, 107eqtr4d 2193 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  n )
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
10980, 108eqeq12d 2172 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  <->  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
11071, 109syl5ibr 155 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) ) )  ->  (
(  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) )  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
11170, 110animpimp2impd 549 . . . 4  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( ( ph  ->  ( n  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  ->  (  seq K (  .+  ,  F ) `  n
)  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  n
) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( n  +  1 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  -> 
(  seq K (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) ) )
11210, 17, 24, 31, 66, 111uzind4 9504 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  ->  ( ph  ->  ( N  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K
(  .+  ,  F
) `  N )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) ) )
1131, 112mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ( ( M  +  1 ) ... N )  ->  (  seq K
(  .+  ,  F
) `  N )  =  ( (  seq K (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  (  seq ( M  +  1
) (  .+  ,  F ) `  N
) ) ) )
1143, 113mpd 13 1  |-  ( ph  ->  (  seq K ( 
.+  ,  F ) `
 N )  =  ( (  seq K
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  (  seq ( M  +  1 ) (  .+  ,  F
) `  N )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 963    = wceq 1335    e. wcel 2128   A.wral 2435    C_ wss 3102   class class class wbr 3967   ` cfv 5172  (class class class)co 5826   RRcr 7733   1c1 7735    + caddc 7737    <_ cle 7915   ZZcz 9172   ZZ>=cuz 9444   ...cfz 9918    seqcseq 10353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4081  ax-sep 4084  ax-nul 4092  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-iinf 4549  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1cn 7827  ax-1re 7828  ax-icn 7829  ax-addcl 7830  ax-addrcl 7831  ax-mulcl 7832  ax-addcom 7834  ax-addass 7836  ax-distr 7838  ax-i2m1 7839  ax-0lt1 7840  ax-0id 7842  ax-rnegex 7843  ax-cnre 7845  ax-pre-ltirr 7846  ax-pre-ltwlin 7847  ax-pre-lttrn 7848  ax-pre-ltadd 7850
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-tr 4065  df-id 4255  df-iord 4328  df-on 4330  df-ilim 4331  df-suc 4333  df-iom 4552  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-f1 5177  df-fo 5178  df-f1o 5179  df-fv 5180  df-riota 5782  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-1st 6090  df-2nd 6091  df-recs 6254  df-frec 6340  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-ltxr 7919  df-le 7920  df-sub 8052  df-neg 8053  df-inn 8839  df-n0 9096  df-z 9173  df-uz 9445  df-fz 9919  df-seqfrec 10354
This theorem is referenced by:  seq3-1p  10388  seq3f1olemqsumk  10407  seq3f1olemqsum  10408  bcval5  10648  clim2ser  11245  clim2ser2  11246  isumsplit  11399  cvgratnnlemseq  11434  clim2divap  11448
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