Theorem seq3split 10927

Description: Split a sequence into two sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Aug-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3split.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
seq3split.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
seq3split.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
seq3split.4	|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` K ) )
seq3split.5	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( F ` x ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
seq3split	|- ( ph -> ( seq K ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, F   x, K, y, z   x, M, y, z   ph, x, y, z   x, N, y, z   x, .+ , y, z   x, S, y, z

Proof of Theorem seq3split

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq3split.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
2		eluzfz2 10438	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> N e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
4		eleq1 2301	. . . . . 6 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) <-> ( M + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
5		fveq2 5695	. . . . . . 7 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( seq K ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) )
6		fveq2 5695	. . . . . . . 8 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) )
7	6	oveq2d 6101	. . . . . . 7 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) ) )
8	5, 7	eqeq12d 2253	. . . . . 6 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) <-> ( seq K ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) ) ) )
9	4, 8	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) ) <-> ( ( M + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) ) ) ) )
10	9	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( ( ph -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( M + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) ) ) ) ) )
11		eleq1 2301	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) <-> n e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
12		fveq2 5695	. . . . . . 7 |- ( x = n -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( seq K ( .+ , F ) ` n ) )
13		fveq2 5695	. . . . . . . 8 |- ( x = n -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) )
14	13	oveq2d 6101	. . . . . . 7 |- ( x = n -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) )
15	12, 14	eqeq12d 2253	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) <-> ( seq K ( .+ , F ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) ) )
16	11, 15	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = n -> ( ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) ) <-> ( n e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) ) ) )
17	16	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = n -> ( ( ph -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) ) ) <-> ( ph -> ( n e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) ) ) ) )
18		eleq1 2301	. . . . . 6 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) <-> ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
19		fveq2 5695	. . . . . . 7 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( seq K ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) )
20		fveq2 5695	. . . . . . . 8 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) )
21	20	oveq2d 6101	. . . . . . 7 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) )
22	19, 21	eqeq12d 2253	. . . . . 6 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) <-> ( seq K ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
23	18, 22	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) ) <-> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
24	23	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) ) )
25		eleq1 2301	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) <-> N e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
26		fveq2 5695	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( seq K ( .+ , F ) ` N ) )
27		fveq2 5695	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) = ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) )
28	27	oveq2d 6101	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) )
29	26, 28	eqeq12d 2253	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) <-> ( seq K ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) ) )
30	25, 29	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = N -> ( ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) ) <-> ( N e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) ) ) )
31	30	imbi2d 230	. . . 4 |- ( x = N -> ( ( ph -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` x ) ) ) ) <-> ( ph -> ( N e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) ) ) ) )
32		seq3split.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` K ) )
33		seq3split.5	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( F ` x ) e. S )
34		seq3split.1	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
35	32, 33, 34	seq3p1 10904	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( F ` ( M + 1 ) ) ) )
36		eluzel2 9928	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( M + 1 ) e. ZZ )
37	1, 36	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ZZ )
38		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ph )
39		eluzel2 9928	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( ZZ>= ` K ) -> K e. ZZ )
40	32, 39	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> K e. ZZ )
41	40	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> K e. ZZ )
42		eluzelz 9933	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> x e. ZZ )
43	42	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> x e. ZZ )
44	41	zred 9770	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> K e. RR )
45		eluzelz 9933	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. ( ZZ>= ` K ) -> M e. ZZ )
46	32, 45	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. ZZ )
47	46	zred 9770	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. RR )
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> M e. RR )
49	43	zred 9770	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> x e. RR )
50		eluzle 9936	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( ZZ>= ` K ) -> K <_ M )
51	32, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> K <_ M )
52	51	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> K <_ M )
53		peano2re 8462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. RR -> ( M + 1 ) e. RR )
54	48, 53	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( M + 1 ) e. RR )
55	48	lep1d 9262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> M <_ ( M + 1 ) )
56		eluzle 9936	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( M + 1 ) <_ x )
57	56	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( M + 1 ) <_ x )
58	48, 54, 49, 55, 57	letrd 8450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> M <_ x )
59	44, 48, 49, 52, 58	letrd 8450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> K <_ x )
60		eluz2 9929	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ZZ>= ` K ) <-> ( K e. ZZ /\ x e. ZZ /\ K <_ x ) )
61	41, 43, 59, 60	syl3anbrc 1212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> x e. ( ZZ>= ` K ) )
62	38, 61, 33	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( F ` x ) e. S )
63	37, 62, 34	seq3-1 10901	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) = ( F ` ( M + 1 ) ) )
64	63	oveq2d 6101	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( F ` ( M + 1 ) ) ) )
65	35, 64	eqtr4d 2274	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) ) )
66	65	a1i13 24	. . . 4 |- ( ( M + 1 ) e. ZZ -> ( ph -> ( ( M + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( M + 1 ) ) ) ) ) )
67		peano2fzr 10443	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> n e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
68	67	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> n e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
69	68	expr 375	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> n e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
70	69	imim1d 75	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( n e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) ) ) )
71		oveq1 6092	. . . . . 6 |- ( ( seq K ( .+ , F ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
72		simprl 535	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
73		peano2uz 9985	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( ZZ>= ` K ) -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
74	32, 73	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
75	74	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
76		uztrn 9941	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) ) -> n e. ( ZZ>= ` K ) )
77	72, 75, 76	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` K ) )
78	33	adantlr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( F ` x ) e. S )
79	34	adantlr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
80	77, 78, 79	seq3p1 10904	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
81	62	adantlr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( F ` x ) e. S )
82	72, 81, 79	seq3p1 10904	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
83	82	oveq2d 6101	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
84		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ph )
85		eqid 2238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZZ>= ` K ) = ( ZZ>= ` K )
86	85, 40, 33, 34	seqf 10903	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> seq K ( .+ , F ) : ( ZZ>= ` K ) --> S )
87	86, 32	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , F ) ` M ) e. S )
88	87	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` M ) e. S )
89		eqid 2238	. . . . . . . . . . 11 |- ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( M + 1 ) )
90	37	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( M + 1 ) e. ZZ )
91	89, 90, 81, 79	seqf 10903	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) : ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) --> S )
92	91, 72	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) e. S )
93		fveq2 5695	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
94	93	eleq1d 2307	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) )
95	33	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` K ) ( F ` x ) e. S )
96	95	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> A. x e. ( ZZ>= ` K ) ( F ` x ) e. S )
97		fzssuz 10473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( ZZ>= ` ( M + 1 ) )
98		uzss 9945	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) -> ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` K ) )
99	74, 98	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` K ) )
100	97, 99	sstrid 3259	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( ZZ>= ` K ) )
101		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
102		ssel2 3243	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( ZZ>= ` K ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
103	100, 101, 102	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
104	94, 96, 103	rspcdva 2934	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S )
105		seq3split.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
106	105	caovassg 6248	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) e. S /\ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) e. S /\ ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) ) -> ( ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
107	84, 88, 92, 104, 106	syl13anc 1280	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
108	83, 107	eqtr4d 2274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
109	80, 108	eqeq12d 2253	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) <-> ( ( seq K ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
110	71, 109	imbitrrid 156	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( ( seq K ( .+ , F ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
111	70, 110	animpimp2impd 565	. . . 4 |- ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( ( ph -> ( n e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` n ) ) ) ) -> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) ) )
112	10, 17, 24, 31, 66, 111	uzind4 9990	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( ph -> ( N e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) ) ) )
113	1, 112	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( N e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) ) )
114	3, 113	mpd 13	1 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , F ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , F ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F ) ` N ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   C_ wss 3220   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   RRcr 8178   1c1 8180   + caddc 8182   <_ cle 8361   ZZcz 9646   ZZ>=cuz 9923   ...cfz 10413   seqcseq 10886

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9306  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-fz 10414  df-seqfrec 10887

This theorem is used by:  seq3-1p  10929  seq3f1olemqsumk  10951  seq3f1olemqsum  10952  bcval5  11203  clim2ser  12105  clim2ser2  12106  isumsplit  12260  cvgratnnlemseq  12295  clim2divap  12309  mulgnndir  13956