Theorem seq3caopr3 10752

Description: Lemma for seq3caopr2 10754. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3caopr3.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
seq3caopr3.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )
seq3caopr3.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seq3caopr3.4	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. S )
seq3caopr3.5	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. S )
seq3caopr3.6	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
seq3caopr3.7	|- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
seq3caopr3	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )

Distinct variable groups:   .+ , n, x, y   k, F, n, x, y   k, G, n, x, y   k, H, n, x, y   k, M, n, x, y   k, N, n, x, y   Q, k, n, x, y   S, k, n, x, y   ph, k, n, x, y

Allowed substitution hint:   .+ ( k)

Proof of Theorem seq3caopr3

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq3caopr3.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 10266	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
4		fveq2 5639	. . . . 5 |- ( z = M -> ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( seq M ( .+ , H ) ` M ) )
5		fveq2 5639	. . . . . 6 |- ( z = M -> ( seq M ( .+ , F ) ` z ) = ( seq M ( .+ , F ) ` M ) )
6		fveq2 5639	. . . . . 6 |- ( z = M -> ( seq M ( .+ , G ) ` z ) = ( seq M ( .+ , G ) ` M ) )
7	5, 6	oveq12d 6035	. . . . 5 |- ( z = M -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` M ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` M ) ) )
8	4, 7	eqeq12d 2246	. . . 4 |- ( z = M -> ( ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) <-> ( seq M ( .+ , H ) ` M ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` M ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` M ) ) ) )
9	8	imbi2d 230	. . 3 |- ( z = M -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` M ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` M ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` M ) ) ) ) )
10		fveq2 5639	. . . . 5 |- ( z = n -> ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( seq M ( .+ , H ) ` n ) )
11		fveq2 5639	. . . . . 6 |- ( z = n -> ( seq M ( .+ , F ) ` z ) = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) )
12		fveq2 5639	. . . . . 6 |- ( z = n -> ( seq M ( .+ , G ) ` z ) = ( seq M ( .+ , G ) ` n ) )
13	11, 12	oveq12d 6035	. . . . 5 |- ( z = n -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) )
14	10, 13	eqeq12d 2246	. . . 4 |- ( z = n -> ( ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) <-> ( seq M ( .+ , H ) ` n ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . 3 |- ( z = n -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` n ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) ) ) )
16		fveq2 5639	. . . . 5 |- ( z = ( n + 1 ) -> ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( seq M ( .+ , H ) ` ( n + 1 ) ) )
17		fveq2 5639	. . . . . 6 |- ( z = ( n + 1 ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` z ) = ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) )
18		fveq2 5639	. . . . . 6 |- ( z = ( n + 1 ) -> ( seq M ( .+ , G ) ` z ) = ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) )
19	17, 18	oveq12d 6035	. . . . 5 |- ( z = ( n + 1 ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) )
20	16, 19	eqeq12d 2246	. . . 4 |- ( z = ( n + 1 ) -> ( ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) <-> ( seq M ( .+ , H ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
21	20	imbi2d 230	. . 3 |- ( z = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
22		fveq2 5639	. . . . 5 |- ( z = N -> ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( seq M ( .+ , H ) ` N ) )
23		fveq2 5639	. . . . . 6 |- ( z = N -> ( seq M ( .+ , F ) ` z ) = ( seq M ( .+ , F ) ` N ) )
24		fveq2 5639	. . . . . 6 |- ( z = N -> ( seq M ( .+ , G ) ` z ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )
25	23, 24	oveq12d 6035	. . . . 5 |- ( z = N -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )
26	22, 25	eqeq12d 2246	. . . 4 |- ( z = N -> ( ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) <-> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) ) )
27	26	imbi2d 230	. . 3 |- ( z = N -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) ) ) )
28		fveq2 5639	. . . . . . 7 |- ( k = M -> ( H ` k ) = ( H ` M ) )
29		fveq2 5639	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> ( F ` k ) = ( F ` M ) )
30		fveq2 5639	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> ( G ` k ) = ( G ` M ) )
31	29, 30	oveq12d 6035	. . . . . . 7 |- ( k = M -> ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) = ( ( F ` M ) Q ( G ` M ) ) )
32	28, 31	eqeq12d 2246	. . . . . 6 |- ( k = M -> ( ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) <-> ( H ` M ) = ( ( F ` M ) Q ( G ` M ) ) ) )
33		seq3caopr3.6	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
34	33	ralrimiva 2605	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
35		eluzel2 9759	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
36	1, 35	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
37		uzid 9769	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
38	36, 37	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
39	32, 34, 38	rspcdva 2915	. . . . 5 |- ( ph -> ( H ` M ) = ( ( F ` M ) Q ( G ` M ) ) )
40		seq3caopr3.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )
41	40	ralrimivva 2614	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. S A. y e. S ( x Q y ) e. S )
42	41	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. x e. S A. y e. S ( x Q y ) e. S )
43		seq3caopr3.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. S )
44		seq3caopr3.5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. S )
45		oveq1 6024	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( F ` k ) -> ( x Q y ) = ( ( F ` k ) Q y ) )
46	45	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( F ` k ) -> ( ( x Q y ) e. S <-> ( ( F ` k ) Q y ) e. S ) )
47		oveq2 6025	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( G ` k ) -> ( ( F ` k ) Q y ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
48	47	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( G ` k ) -> ( ( ( F ` k ) Q y ) e. S <-> ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) e. S ) )
49	46, 48	rspc2v 2923	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` k ) e. S /\ ( G ` k ) e. S ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( x Q y ) e. S -> ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) e. S ) )
50	43, 44, 49	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( x Q y ) e. S -> ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) e. S ) )
51	42, 50	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) e. S )
52	33, 51	eqeltrd 2308	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` k ) e. S )
53	52	ralrimiva 2605	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( H ` k ) e. S )
54		fveq2 5639	. . . . . . . . 9 |- ( k = x -> ( H ` k ) = ( H ` x ) )
55	54	eleq1d 2300	. . . . . . . 8 |- ( k = x -> ( ( H ` k ) e. S <-> ( H ` x ) e. S ) )
56	55	rspcv 2906	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( H ` k ) e. S -> ( H ` x ) e. S ) )
57	53, 56	mpan9 281	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` x ) e. S )
58		seq3caopr3.1	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
59	36, 57, 58	seq3-1 10723	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` M ) = ( H ` M ) )
60	43	ralrimiva 2605	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. S )
61		fveq2 5639	. . . . . . . . . 10 |- ( k = x -> ( F ` k ) = ( F ` x ) )
62	61	eleq1d 2300	. . . . . . . . 9 |- ( k = x -> ( ( F ` k ) e. S <-> ( F ` x ) e. S ) )
63	62	rspcv 2906	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. S -> ( F ` x ) e. S ) )
64	60, 63	mpan9 281	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
65	36, 64, 58	seq3-1 10723	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
66	44	ralrimiva 2605	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. S )
67		fveq2 5639	. . . . . . . . . 10 |- ( k = x -> ( G ` k ) = ( G ` x ) )
68	67	eleq1d 2300	. . . . . . . . 9 |- ( k = x -> ( ( G ` k ) e. S <-> ( G ` x ) e. S ) )
69	68	rspcv 2906	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. S -> ( G ` x ) e. S ) )
70	66, 69	mpan9 281	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
71	36, 70, 58	seq3-1 10723	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , G ) ` M ) = ( G ` M ) )
72	65, 71	oveq12d 6035	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` M ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` M ) ) = ( ( F ` M ) Q ( G ` M ) ) )
73	39, 59, 72	3eqtr4d 2274	. . . 4 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` M ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` M ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` M ) ) )
74	73	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` M ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` M ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` M ) ) ) )
75		oveq1 6024	. . . . . 6 |- ( ( seq M ( .+ , H ) ` n ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) -> ( ( seq M ( .+ , H ) ` n ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) )
76		elfzouz 10385	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( M..^ N ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
77	76	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
78	57	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` x ) e. S )
79	58	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
80	77, 78, 79	seq3p1 10726	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( seq M ( .+ , H ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , H ) ` n ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) )
81		seq3caopr3.7	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
82		fveq2 5639	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( H ` k ) = ( H ` ( n + 1 ) ) )
83		fveq2 5639	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
84		fveq2 5639	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( G ` k ) = ( G ` ( n + 1 ) ) )
85	83, 84	oveq12d 6035	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) = ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
86	82, 85	eqeq12d 2246	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) <-> ( H ` ( n + 1 ) ) = ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
87	34	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
88		fzofzp1 10471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) )
89		elfzuz 10255	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
90	88, 89	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
91	90	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
92	86, 87, 91	rspcdva 2915	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( H ` ( n + 1 ) ) = ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
93	92	oveq2d 6033	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
94	64	adantlr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
95	77, 94, 79	seq3p1 10726	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
96	70	adantlr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
97	77, 96, 79	seq3p1 10726	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
98	95, 97	oveq12d 6035	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
99	81, 93, 98	3eqtr4rd 2275	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) )
100	80, 99	eqeq12d 2246	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , H ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) <-> ( ( seq M ( .+ , H ) ` n ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) ) )
101	75, 100	imbitrrid 156	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , H ) ` n ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) -> ( seq M ( .+ , H ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
102	101	expcom 116	. . . 4 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( ph -> ( ( seq M ( .+ , H ) ` n ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) -> ( seq M ( .+ , H ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
103	102	a2d 26	. . 3 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` n ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) ) -> ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
104	9, 15, 21, 27, 74, 103	fzind2 10484	. 2 |- ( N e. ( M ... N ) -> ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) ) )
105	3, 104	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   1c1 8032   + caddc 8034   ZZcz 9478   ZZ>=cuz 9754   ...cfz 10242  ..^cfzo 10376   seqcseq 10708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-seqfrec 10709

This theorem is referenced by:  seq3caopr2  10754