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Theorem seq3caopr3 10284
Description: Lemma for seq3caopr2 10285. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
seqcaopr3.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
seqcaopr3.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x Q y )  e.  S )
seqcaopr3.3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seq3caopr3.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  S
)
seq3caopr3.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  k )  e.  S
)
seq3caopr3.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `  k
) Q ( G `
 k ) ) )
seqcaopr3.7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  (
( F `  (
n  +  1 ) ) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
seq3caopr3  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  H ) `
 N )  =  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  N ) Q (  seq M
(  .+  ,  G
) `  N )
) )
Distinct variable groups:    .+ , n, x, y    k, F, n, x, y    k, G, n, x, y    k, H, n, x, y    k, M, n, x, y    k, N, n, x, y    Q, k, n, x, y    S, k, n, x, y    ph, k, n, x, y
Allowed substitution hint:    .+ ( k)

Proof of Theorem seq3caopr3
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqcaopr3.3 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 eluzfz2 9842 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
31, 2syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
4 fveq2 5428 . . . . 5  |-  ( z  =  M  ->  (  seq M (  .+  ,  H ) `  z
)  =  (  seq M (  .+  ,  H ) `  M
) )
5 fveq2 5428 . . . . . 6  |-  ( z  =  M  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  z
)  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
) )
6 fveq2 5428 . . . . . 6  |-  ( z  =  M  ->  (  seq M (  .+  ,  G ) `  z
)  =  (  seq M (  .+  ,  G ) `  M
) )
75, 6oveq12d 5799 . . . . 5  |-  ( z  =  M  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ) `  z
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  z
) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 M ) Q (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 M ) ) )
84, 7eqeq12d 2155 . . . 4  |-  ( z  =  M  ->  (
(  seq M (  .+  ,  H ) `  z
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  z
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  z
) )  <->  (  seq M (  .+  ,  H ) `  M
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  M
) ) ) )
98imbi2d 229 . . 3  |-  ( z  =  M  ->  (
( ph  ->  (  seq M (  .+  ,  H ) `  z
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  z
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  z
) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  H ) `
 M )  =  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  M ) Q (  seq M
(  .+  ,  G
) `  M )
) ) ) )
10 fveq2 5428 . . . . 5  |-  ( z  =  n  ->  (  seq M (  .+  ,  H ) `  z
)  =  (  seq M (  .+  ,  H ) `  n
) )
11 fveq2 5428 . . . . . 6  |-  ( z  =  n  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  z
)  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) )
12 fveq2 5428 . . . . . 6  |-  ( z  =  n  ->  (  seq M (  .+  ,  G ) `  z
)  =  (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) )
1311, 12oveq12d 5799 . . . . 5  |-  ( z  =  n  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ) `  z
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  z
) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 n ) Q (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 n ) ) )
1410, 13eqeq12d 2155 . . . 4  |-  ( z  =  n  ->  (
(  seq M (  .+  ,  H ) `  z
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  z
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  z
) )  <->  (  seq M (  .+  ,  H ) `  n
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) ) ) )
1514imbi2d 229 . . 3  |-  ( z  =  n  ->  (
( ph  ->  (  seq M (  .+  ,  H ) `  z
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  z
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  z
) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  H ) `
 n )  =  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n ) Q (  seq M
(  .+  ,  G
) `  n )
) ) ) )
16 fveq2 5428 . . . . 5  |-  ( z  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq M (  .+  ,  H ) `  z
)  =  (  seq M (  .+  ,  H ) `  (
n  +  1 ) ) )
17 fveq2 5428 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  z
)  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )
18 fveq2 5428 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq M (  .+  ,  G ) `  z
)  =  (  seq M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )
1917, 18oveq12d 5799 . . . . 5  |-  ( z  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ) `  z
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  z
) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) Q (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
2016, 19eqeq12d 2155 . . . 4  |-  ( z  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  H ) `  z
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  z
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  z
) )  <->  (  seq M (  .+  ,  H ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
2120imbi2d 229 . . 3  |-  ( z  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  (  seq M (  .+  ,  H ) `  z
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  z
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  z
) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  H ) `
 ( n  + 
1 ) )  =  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) ) Q (  seq M
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
22 fveq2 5428 . . . . 5  |-  ( z  =  N  ->  (  seq M (  .+  ,  H ) `  z
)  =  (  seq M (  .+  ,  H ) `  N
) )
23 fveq2 5428 . . . . . 6  |-  ( z  =  N  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  z
)  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )
24 fveq2 5428 . . . . . 6  |-  ( z  =  N  ->  (  seq M (  .+  ,  G ) `  z
)  =  (  seq M (  .+  ,  G ) `  N
) )
2523, 24oveq12d 5799 . . . . 5  |-  ( z  =  N  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ) `  z
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  z
) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N ) Q (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 N ) ) )
2622, 25eqeq12d 2155 . . . 4  |-  ( z  =  N  ->  (
(  seq M (  .+  ,  H ) `  z
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  z
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  z
) )  <->  (  seq M (  .+  ,  H ) `  N
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  N
) ) ) )
2726imbi2d 229 . . 3  |-  ( z  =  N  ->  (
( ph  ->  (  seq M (  .+  ,  H ) `  z
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  z
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  z
) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  H ) `
 N )  =  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  N ) Q (  seq M
(  .+  ,  G
) `  N )
) ) ) )
28 fveq2 5428 . . . . . . 7  |-  ( k  =  M  ->  ( H `  k )  =  ( H `  M ) )
29 fveq2 5428 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  M  ->  ( F `  k )  =  ( F `  M ) )
30 fveq2 5428 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  M  ->  ( G `  k )  =  ( G `  M ) )
3129, 30oveq12d 5799 . . . . . . 7  |-  ( k  =  M  ->  (
( F `  k
) Q ( G `
 k ) )  =  ( ( F `
 M ) Q ( G `  M
) ) )
3228, 31eqeq12d 2155 . . . . . 6  |-  ( k  =  M  ->  (
( H `  k
)  =  ( ( F `  k ) Q ( G `  k ) )  <->  ( H `  M )  =  ( ( F `  M
) Q ( G `
 M ) ) ) )
33 seq3caopr3.6 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `  k
) Q ( G `
 k ) ) )
3433ralrimiva 2508 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( H `  k )  =  ( ( F `
 k ) Q ( G `  k
) ) )
35 eluzel2 9354 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
361, 35syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
37 uzid 9363 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3836, 37syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
3932, 34, 38rspcdva 2797 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H `  M
)  =  ( ( F `  M ) Q ( G `  M ) ) )
40 seqcaopr3.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x Q y )  e.  S )
4140ralrimivva 2517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x Q y )  e.  S )
4241adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x Q y )  e.  S )
43 seq3caopr3.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  S
)
44 seq3caopr3.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  k )  e.  S
)
45 oveq1 5788 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( F `  k )  ->  (
x Q y )  =  ( ( F `
 k ) Q y ) )
4645eleq1d 2209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( F `  k )  ->  (
( x Q y )  e.  S  <->  ( ( F `  k ) Q y )  e.  S ) )
47 oveq2 5789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( G `  k )  ->  (
( F `  k
) Q y )  =  ( ( F `
 k ) Q ( G `  k
) ) )
4847eleq1d 2209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( G `  k )  ->  (
( ( F `  k ) Q y )  e.  S  <->  ( ( F `  k ) Q ( G `  k ) )  e.  S ) )
4946, 48rspc2v 2805 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  S  /\  ( G `  k )  e.  S )  -> 
( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x Q y )  e.  S  ->  ( ( F `  k ) Q ( G `  k ) )  e.  S ) )
5043, 44, 49syl2anc 409 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x Q y )  e.  S  ->  (
( F `  k
) Q ( G `
 k ) )  e.  S ) )
5142, 50mpd 13 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( F `  k ) Q ( G `  k ) )  e.  S )
5233, 51eqeltrd 2217 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  k )  e.  S
)
5352ralrimiva 2508 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( H `  k )  e.  S )
54 fveq2 5428 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  x  ->  ( H `  k )  =  ( H `  x ) )
5554eleq1d 2209 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  x  ->  (
( H `  k
)  e.  S  <->  ( H `  x )  e.  S
) )
5655rspcv 2788 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( H `
 k )  e.  S  ->  ( H `  x )  e.  S
) )
5753, 56mpan9 279 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  x )  e.  S
)
58 seqcaopr3.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
5936, 57, 58seq3-1 10263 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  H ) `
 M )  =  ( H `  M
) )
6043ralrimiva 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( F `  k )  e.  S )
61 fveq2 5428 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  x  ->  ( F `  k )  =  ( F `  x ) )
6261eleq1d 2209 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  x  ->  (
( F `  k
)  e.  S  <->  ( F `  x )  e.  S
) )
6362rspcv 2788 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( F `
 k )  e.  S  ->  ( F `  x )  e.  S
) )
6460, 63mpan9 279 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
6536, 64, 58seq3-1 10263 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 M )  =  ( F `  M
) )
6644ralrimiva 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  k )  e.  S )
67 fveq2 5428 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  x  ->  ( G `  k )  =  ( G `  x ) )
6867eleq1d 2209 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  x  ->  (
( G `  k
)  e.  S  <->  ( G `  x )  e.  S
) )
6968rspcv 2788 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( G `
 k )  e.  S  ->  ( G `  x )  e.  S
) )
7066, 69mpan9 279 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
7136, 70, 58seq3-1 10263 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 M )  =  ( G `  M
) )
7265, 71oveq12d 5799 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  M ) Q (  seq M
(  .+  ,  G
) `  M )
)  =  ( ( F `  M ) Q ( G `  M ) ) )
7339, 59, 723eqtr4d 2183 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  H ) `
 M )  =  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  M ) Q (  seq M
(  .+  ,  G
) `  M )
) )
7473a1i 9 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  H ) `
 M )  =  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  M ) Q (  seq M
(  .+  ,  G
) `  M )
) ) )
75 oveq1 5788 . . . . . 6  |-  ( (  seq M (  .+  ,  H ) `  n
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  H ) `  n
)  .+  ( H `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  ( H `  ( n  +  1 ) ) ) )
76 elfzouz 9958 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
7776adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  M ) )
7857adantlr 469 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  x )  e.  S
)
7958adantlr 469 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
8077, 78, 79seq3p1 10265 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  (  seq M
(  .+  ,  H
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  H ) `  n
)  .+  ( H `  ( n  +  1 ) ) ) )
81 seqcaopr3.7 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  (
( F `  (
n  +  1 ) ) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
82 fveq2 5428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( H `  k )  =  ( H `  ( n  +  1
) ) )
83 fveq2 5428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
84 fveq2 5428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  ( n  +  1
) ) )
8583, 84oveq12d 5799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  k
) Q ( G `
 k ) )  =  ( ( F `
 ( n  + 
1 ) ) Q ( G `  (
n  +  1 ) ) ) )
8682, 85eqeq12d 2155 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( H `  k
)  =  ( ( F `  k ) Q ( G `  k ) )  <->  ( H `  ( n  +  1 ) )  =  ( ( F `  (
n  +  1 ) ) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
8734adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( H `  k )  =  ( ( F `
 k ) Q ( G `  k
) ) )
88 fzofzp1 10034 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
89 elfzuz 9832 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
9088, 89syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
9190adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
9286, 87, 91rspcdva 2797 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( H `  ( n  +  1
) )  =  ( ( F `  (
n  +  1 ) ) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
9392oveq2d 5797 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  ( H `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 n ) Q (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 n ) ) 
.+  ( ( F `
 ( n  + 
1 ) ) Q ( G `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
9464adantlr 469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
9577, 94, 79seq3p1 10265 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
9670adantlr 469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
9777, 96, 79seq3p1 10265 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  (  seq M
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
9895, 97oveq12d 5799 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 n )  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
9981, 93, 983eqtr4rd 2184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n ) Q (  seq M
(  .+  ,  G
) `  n )
)  .+  ( H `  ( n  +  1 ) ) ) )
10080, 99eqeq12d 2155 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( (  seq M (  .+  ,  H ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )  <->  ( (  seq M (  .+  ,  H ) `  n
)  .+  ( H `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  ( H `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
10175, 100syl5ibr 155 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( (  seq M (  .+  ,  H ) `  n
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) )  ->  (  seq M (  .+  ,  H ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
102101expcom 115 . . . 4  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ph  ->  ( (  seq M
(  .+  ,  H
) `  n )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) )  ->  (  seq M (  .+  ,  H ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
103102a2d 26 . . 3  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ( ph  ->  (  seq M
(  .+  ,  H
) `  n )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) ) )  -> 
( ph  ->  (  seq M (  .+  ,  H ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
1049, 15, 21, 27, 74, 103fzind2 10046 . 2  |-  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( ph  ->  (  seq M
(  .+  ,  H
) `  N )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  N
) ) ) )
1053, 104mpcom 36 1  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  H ) `
 N )  =  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  N ) Q (  seq M
(  .+  ,  G
) `  N )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1332    e. wcel 1481   A.wral 2417   ` cfv 5130  (class class class)co 5781   1c1 7644    + caddc 7646   ZZcz 9077   ZZ>=cuz 9349   ...cfz 9820  ..^cfzo 9949    seqcseq 10248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-ltadd 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-frec 6295  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-inn 8744  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-fz 9821  df-fzo 9950  df-seqfrec 10249
This theorem is referenced by:  seq3caopr2  10285
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