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Theorem seq3caopr3 10467
Description: Lemma for seq3caopr2 10468. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
seqcaopr3.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
seqcaopr3.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x Q y )  e.  S )
seqcaopr3.3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seq3caopr3.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  S
)
seq3caopr3.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  k )  e.  S
)
seq3caopr3.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `  k
) Q ( G `
 k ) ) )
seqcaopr3.7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  (
( F `  (
n  +  1 ) ) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
seq3caopr3  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  H ) `
 N )  =  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  N ) Q (  seq M
(  .+  ,  G
) `  N )
) )
Distinct variable groups:    .+ , n, x, y    k, F, n, x, y    k, G, n, x, y    k, H, n, x, y    k, M, n, x, y    k, N, n, x, y    Q, k, n, x, y    S, k, n, x, y    ph, k, n, x, y
Allowed substitution hint:    .+ ( k)

Proof of Theorem seq3caopr3
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqcaopr3.3 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 eluzfz2 10018 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
31, 2syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
4 fveq2 5511 . . . . 5  |-  ( z  =  M  ->  (  seq M (  .+  ,  H ) `  z
)  =  (  seq M (  .+  ,  H ) `  M
) )
5 fveq2 5511 . . . . . 6  |-  ( z  =  M  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  z
)  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
) )
6 fveq2 5511 . . . . . 6  |-  ( z  =  M  ->  (  seq M (  .+  ,  G ) `  z
)  =  (  seq M (  .+  ,  G ) `  M
) )
75, 6oveq12d 5887 . . . . 5  |-  ( z  =  M  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ) `  z
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  z
) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 M ) Q (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 M ) ) )
84, 7eqeq12d 2192 . . . 4  |-  ( z  =  M  ->  (
(  seq M (  .+  ,  H ) `  z
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  z
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  z
) )  <->  (  seq M (  .+  ,  H ) `  M
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  M
) ) ) )
98imbi2d 230 . . 3  |-  ( z  =  M  ->  (
( ph  ->  (  seq M (  .+  ,  H ) `  z
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  z
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  z
) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  H ) `
 M )  =  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  M ) Q (  seq M
(  .+  ,  G
) `  M )
) ) ) )
10 fveq2 5511 . . . . 5  |-  ( z  =  n  ->  (  seq M (  .+  ,  H ) `  z
)  =  (  seq M (  .+  ,  H ) `  n
) )
11 fveq2 5511 . . . . . 6  |-  ( z  =  n  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  z
)  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) )
12 fveq2 5511 . . . . . 6  |-  ( z  =  n  ->  (  seq M (  .+  ,  G ) `  z
)  =  (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) )
1311, 12oveq12d 5887 . . . . 5  |-  ( z  =  n  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ) `  z
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  z
) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 n ) Q (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 n ) ) )
1410, 13eqeq12d 2192 . . . 4  |-  ( z  =  n  ->  (
(  seq M (  .+  ,  H ) `  z
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  z
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  z
) )  <->  (  seq M (  .+  ,  H ) `  n
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) ) ) )
1514imbi2d 230 . . 3  |-  ( z  =  n  ->  (
( ph  ->  (  seq M (  .+  ,  H ) `  z
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  z
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  z
) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  H ) `
 n )  =  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n ) Q (  seq M
(  .+  ,  G
) `  n )
) ) ) )
16 fveq2 5511 . . . . 5  |-  ( z  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq M (  .+  ,  H ) `  z
)  =  (  seq M (  .+  ,  H ) `  (
n  +  1 ) ) )
17 fveq2 5511 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  z
)  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )
18 fveq2 5511 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq M (  .+  ,  G ) `  z
)  =  (  seq M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )
1917, 18oveq12d 5887 . . . . 5  |-  ( z  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ) `  z
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  z
) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) Q (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
2016, 19eqeq12d 2192 . . . 4  |-  ( z  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  H ) `  z
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  z
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  z
) )  <->  (  seq M (  .+  ,  H ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
2120imbi2d 230 . . 3  |-  ( z  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  (  seq M (  .+  ,  H ) `  z
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  z
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  z
) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  H ) `
 ( n  + 
1 ) )  =  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) ) Q (  seq M
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
22 fveq2 5511 . . . . 5  |-  ( z  =  N  ->  (  seq M (  .+  ,  H ) `  z
)  =  (  seq M (  .+  ,  H ) `  N
) )
23 fveq2 5511 . . . . . 6  |-  ( z  =  N  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  z
)  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )
24 fveq2 5511 . . . . . 6  |-  ( z  =  N  ->  (  seq M (  .+  ,  G ) `  z
)  =  (  seq M (  .+  ,  G ) `  N
) )
2523, 24oveq12d 5887 . . . . 5  |-  ( z  =  N  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ) `  z
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  z
) )  =  ( (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N ) Q (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 N ) ) )
2622, 25eqeq12d 2192 . . . 4  |-  ( z  =  N  ->  (
(  seq M (  .+  ,  H ) `  z
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  z
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  z
) )  <->  (  seq M (  .+  ,  H ) `  N
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  N
) ) ) )
2726imbi2d 230 . . 3  |-  ( z  =  N  ->  (
( ph  ->  (  seq M (  .+  ,  H ) `  z
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  z
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  z
) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  H ) `
 N )  =  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  N ) Q (  seq M
(  .+  ,  G
) `  N )
) ) ) )
28 fveq2 5511 . . . . . . 7  |-  ( k  =  M  ->  ( H `  k )  =  ( H `  M ) )
29 fveq2 5511 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  M  ->  ( F `  k )  =  ( F `  M ) )
30 fveq2 5511 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  M  ->  ( G `  k )  =  ( G `  M ) )
3129, 30oveq12d 5887 . . . . . . 7  |-  ( k  =  M  ->  (
( F `  k
) Q ( G `
 k ) )  =  ( ( F `
 M ) Q ( G `  M
) ) )
3228, 31eqeq12d 2192 . . . . . 6  |-  ( k  =  M  ->  (
( H `  k
)  =  ( ( F `  k ) Q ( G `  k ) )  <->  ( H `  M )  =  ( ( F `  M
) Q ( G `
 M ) ) ) )
33 seq3caopr3.6 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `  k
) Q ( G `
 k ) ) )
3433ralrimiva 2550 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( H `  k )  =  ( ( F `
 k ) Q ( G `  k
) ) )
35 eluzel2 9522 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
361, 35syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
37 uzid 9531 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3836, 37syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
3932, 34, 38rspcdva 2846 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H `  M
)  =  ( ( F `  M ) Q ( G `  M ) ) )
40 seqcaopr3.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x Q y )  e.  S )
4140ralrimivva 2559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x Q y )  e.  S )
4241adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x Q y )  e.  S )
43 seq3caopr3.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  S
)
44 seq3caopr3.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  k )  e.  S
)
45 oveq1 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( F `  k )  ->  (
x Q y )  =  ( ( F `
 k ) Q y ) )
4645eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( F `  k )  ->  (
( x Q y )  e.  S  <->  ( ( F `  k ) Q y )  e.  S ) )
47 oveq2 5877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( G `  k )  ->  (
( F `  k
) Q y )  =  ( ( F `
 k ) Q ( G `  k
) ) )
4847eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( G `  k )  ->  (
( ( F `  k ) Q y )  e.  S  <->  ( ( F `  k ) Q ( G `  k ) )  e.  S ) )
4946, 48rspc2v 2854 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  S  /\  ( G `  k )  e.  S )  -> 
( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x Q y )  e.  S  ->  ( ( F `  k ) Q ( G `  k ) )  e.  S ) )
5043, 44, 49syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x Q y )  e.  S  ->  (
( F `  k
) Q ( G `
 k ) )  e.  S ) )
5142, 50mpd 13 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( F `  k ) Q ( G `  k ) )  e.  S )
5233, 51eqeltrd 2254 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  k )  e.  S
)
5352ralrimiva 2550 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( H `  k )  e.  S )
54 fveq2 5511 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  x  ->  ( H `  k )  =  ( H `  x ) )
5554eleq1d 2246 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  x  ->  (
( H `  k
)  e.  S  <->  ( H `  x )  e.  S
) )
5655rspcv 2837 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( H `
 k )  e.  S  ->  ( H `  x )  e.  S
) )
5753, 56mpan9 281 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  x )  e.  S
)
58 seqcaopr3.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
5936, 57, 58seq3-1 10446 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  H ) `
 M )  =  ( H `  M
) )
6043ralrimiva 2550 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( F `  k )  e.  S )
61 fveq2 5511 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  x  ->  ( F `  k )  =  ( F `  x ) )
6261eleq1d 2246 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  x  ->  (
( F `  k
)  e.  S  <->  ( F `  x )  e.  S
) )
6362rspcv 2837 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( F `
 k )  e.  S  ->  ( F `  x )  e.  S
) )
6460, 63mpan9 281 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
6536, 64, 58seq3-1 10446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 M )  =  ( F `  M
) )
6644ralrimiva 2550 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  k )  e.  S )
67 fveq2 5511 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  x  ->  ( G `  k )  =  ( G `  x ) )
6867eleq1d 2246 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  x  ->  (
( G `  k
)  e.  S  <->  ( G `  x )  e.  S
) )
6968rspcv 2837 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( G `
 k )  e.  S  ->  ( G `  x )  e.  S
) )
7066, 69mpan9 281 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
7136, 70, 58seq3-1 10446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 M )  =  ( G `  M
) )
7265, 71oveq12d 5887 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  M ) Q (  seq M
(  .+  ,  G
) `  M )
)  =  ( ( F `  M ) Q ( G `  M ) ) )
7339, 59, 723eqtr4d 2220 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  H ) `
 M )  =  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  M ) Q (  seq M
(  .+  ,  G
) `  M )
) )
7473a1i 9 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  H ) `
 M )  =  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  M ) Q (  seq M
(  .+  ,  G
) `  M )
) ) )
75 oveq1 5876 . . . . . 6  |-  ( (  seq M (  .+  ,  H ) `  n
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  H ) `  n
)  .+  ( H `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  ( H `  ( n  +  1 ) ) ) )
76 elfzouz 10137 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
7776adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  M ) )
7857adantlr 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  x )  e.  S
)
7958adantlr 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
8077, 78, 79seq3p1 10448 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  (  seq M
(  .+  ,  H
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  H ) `  n
)  .+  ( H `  ( n  +  1 ) ) ) )
81 seqcaopr3.7 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  (
( F `  (
n  +  1 ) ) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 n )  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
82 fveq2 5511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( H `  k )  =  ( H `  ( n  +  1
) ) )
83 fveq2 5511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
84 fveq2 5511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  ( n  +  1
) ) )
8583, 84oveq12d 5887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  k
) Q ( G `
 k ) )  =  ( ( F `
 ( n  + 
1 ) ) Q ( G `  (
n  +  1 ) ) ) )
8682, 85eqeq12d 2192 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( H `  k
)  =  ( ( F `  k ) Q ( G `  k ) )  <->  ( H `  ( n  +  1 ) )  =  ( ( F `  (
n  +  1 ) ) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
8734adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( H `  k )  =  ( ( F `
 k ) Q ( G `  k
) ) )
88 fzofzp1 10213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
89 elfzuz 10007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  (
n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
9088, 89syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
9190adantl 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
9286, 87, 91rspcdva 2846 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( H `  ( n  +  1
) )  =  ( ( F `  (
n  +  1 ) ) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
9392oveq2d 5885 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  ( H `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 n ) Q (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 n ) ) 
.+  ( ( F `
 ( n  + 
1 ) ) Q ( G `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
9464adantlr 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
9577, 94, 79seq3p1 10448 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
9670adantlr 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
9777, 96, 79seq3p1 10448 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  (  seq M
(  .+  ,  G
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
)  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
9895, 97oveq12d 5887 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) Q ( (  seq M ( 
.+  ,  G ) `
 n )  .+  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
9981, 93, 983eqtr4rd 2221 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n ) Q (  seq M
(  .+  ,  G
) `  n )
)  .+  ( H `  ( n  +  1 ) ) ) )
10080, 99eqeq12d 2192 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( (  seq M (  .+  ,  H ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )  <->  ( (  seq M (  .+  ,  H ) `  n
)  .+  ( H `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) )  .+  ( H `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
10175, 100syl5ibr 156 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( (  seq M (  .+  ,  H ) `  n
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) )  ->  (  seq M (  .+  ,  H ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
102101expcom 116 . . . 4  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ph  ->  ( (  seq M
(  .+  ,  H
) `  n )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) )  ->  (  seq M (  .+  ,  H ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
103102a2d 26 . . 3  |-  ( n  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ( ph  ->  (  seq M
(  .+  ,  H
) `  n )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  n
) ) )  -> 
( ph  ->  (  seq M (  .+  ,  H ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
1049, 15, 21, 27, 74, 103fzind2 10225 . 2  |-  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( ph  ->  (  seq M
(  .+  ,  H
) `  N )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) Q (  seq M (  .+  ,  G ) `  N
) ) ) )
1053, 104mpcom 36 1  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  H ) `
 N )  =  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  N ) Q (  seq M
(  .+  ,  G
) `  N )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   1c1 7803    + caddc 7805   ZZcz 9242   ZZ>=cuz 9517   ...cfz 9995  ..^cfzo 10128    seqcseq 10431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-ltadd 7918
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-seqfrec 10432
This theorem is referenced by:  seq3caopr2  10468
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