Theorem seq3caopr3 10494

Description: Lemma for seq3caopr2 10495. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqcaopr3.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
seqcaopr3.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )
seqcaopr3.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seq3caopr3.4	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. S )
seq3caopr3.5	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. S )
seq3caopr3.6	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
seqcaopr3.7	|- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
seq3caopr3	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )

Distinct variable groups:   .+ , n, x, y   k, F, n, x, y   k, G, n, x, y   k, H, n, x, y   k, M, n, x, y   k, N, n, x, y   Q, k, n, x, y   S, k, n, x, y   ph, k, n, x, y

Allowed substitution hint:   .+ ( k)

Proof of Theorem seq3caopr3

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqcaopr3.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 10045	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
4		fveq2 5527	. . . . 5 |- ( z = M -> ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( seq M ( .+ , H ) ` M ) )
5		fveq2 5527	. . . . . 6 |- ( z = M -> ( seq M ( .+ , F ) ` z ) = ( seq M ( .+ , F ) ` M ) )
6		fveq2 5527	. . . . . 6 |- ( z = M -> ( seq M ( .+ , G ) ` z ) = ( seq M ( .+ , G ) ` M ) )
7	5, 6	oveq12d 5906	. . . . 5 |- ( z = M -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` M ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` M ) ) )
8	4, 7	eqeq12d 2202	. . . 4 |- ( z = M -> ( ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) <-> ( seq M ( .+ , H ) ` M ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` M ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` M ) ) ) )
9	8	imbi2d 230	. . 3 |- ( z = M -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` M ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` M ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` M ) ) ) ) )
10		fveq2 5527	. . . . 5 |- ( z = n -> ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( seq M ( .+ , H ) ` n ) )
11		fveq2 5527	. . . . . 6 |- ( z = n -> ( seq M ( .+ , F ) ` z ) = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) )
12		fveq2 5527	. . . . . 6 |- ( z = n -> ( seq M ( .+ , G ) ` z ) = ( seq M ( .+ , G ) ` n ) )
13	11, 12	oveq12d 5906	. . . . 5 |- ( z = n -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) )
14	10, 13	eqeq12d 2202	. . . 4 |- ( z = n -> ( ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) <-> ( seq M ( .+ , H ) ` n ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . 3 |- ( z = n -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` n ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) ) ) )
16		fveq2 5527	. . . . 5 |- ( z = ( n + 1 ) -> ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( seq M ( .+ , H ) ` ( n + 1 ) ) )
17		fveq2 5527	. . . . . 6 |- ( z = ( n + 1 ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` z ) = ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) )
18		fveq2 5527	. . . . . 6 |- ( z = ( n + 1 ) -> ( seq M ( .+ , G ) ` z ) = ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) )
19	17, 18	oveq12d 5906	. . . . 5 |- ( z = ( n + 1 ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) )
20	16, 19	eqeq12d 2202	. . . 4 |- ( z = ( n + 1 ) -> ( ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) <-> ( seq M ( .+ , H ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
21	20	imbi2d 230	. . 3 |- ( z = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
22		fveq2 5527	. . . . 5 |- ( z = N -> ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( seq M ( .+ , H ) ` N ) )
23		fveq2 5527	. . . . . 6 |- ( z = N -> ( seq M ( .+ , F ) ` z ) = ( seq M ( .+ , F ) ` N ) )
24		fveq2 5527	. . . . . 6 |- ( z = N -> ( seq M ( .+ , G ) ` z ) = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) )
25	23, 24	oveq12d 5906	. . . . 5 |- ( z = N -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )
26	22, 25	eqeq12d 2202	. . . 4 |- ( z = N -> ( ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) <-> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) ) )
27	26	imbi2d 230	. . 3 |- ( z = N -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) ) ) )
28		fveq2 5527	. . . . . . 7 |- ( k = M -> ( H ` k ) = ( H ` M ) )
29		fveq2 5527	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> ( F ` k ) = ( F ` M ) )
30		fveq2 5527	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> ( G ` k ) = ( G ` M ) )
31	29, 30	oveq12d 5906	. . . . . . 7 |- ( k = M -> ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) = ( ( F ` M ) Q ( G ` M ) ) )
32	28, 31	eqeq12d 2202	. . . . . 6 |- ( k = M -> ( ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) <-> ( H ` M ) = ( ( F ` M ) Q ( G ` M ) ) ) )
33		seq3caopr3.6	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
34	33	ralrimiva 2560	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
35		eluzel2 9546	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
36	1, 35	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
37		uzid 9555	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
38	36, 37	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
39	32, 34, 38	rspcdva 2858	. . . . 5 |- ( ph -> ( H ` M ) = ( ( F ` M ) Q ( G ` M ) ) )
40		seqcaopr3.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )
41	40	ralrimivva 2569	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. S A. y e. S ( x Q y ) e. S )
42	41	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. x e. S A. y e. S ( x Q y ) e. S )
43		seq3caopr3.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. S )
44		seq3caopr3.5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. S )
45		oveq1 5895	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( F ` k ) -> ( x Q y ) = ( ( F ` k ) Q y ) )
46	45	eleq1d 2256	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( F ` k ) -> ( ( x Q y ) e. S <-> ( ( F ` k ) Q y ) e. S ) )
47		oveq2 5896	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( G ` k ) -> ( ( F ` k ) Q y ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
48	47	eleq1d 2256	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( G ` k ) -> ( ( ( F ` k ) Q y ) e. S <-> ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) e. S ) )
49	46, 48	rspc2v 2866	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` k ) e. S /\ ( G ` k ) e. S ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( x Q y ) e. S -> ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) e. S ) )
50	43, 44, 49	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( x Q y ) e. S -> ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) e. S ) )
51	42, 50	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) e. S )
52	33, 51	eqeltrd 2264	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` k ) e. S )
53	52	ralrimiva 2560	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( H ` k ) e. S )
54		fveq2 5527	. . . . . . . . 9 |- ( k = x -> ( H ` k ) = ( H ` x ) )
55	54	eleq1d 2256	. . . . . . . 8 |- ( k = x -> ( ( H ` k ) e. S <-> ( H ` x ) e. S ) )
56	55	rspcv 2849	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( H ` k ) e. S -> ( H ` x ) e. S ) )
57	53, 56	mpan9 281	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` x ) e. S )
58		seqcaopr3.1	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
59	36, 57, 58	seq3-1 10473	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` M ) = ( H ` M ) )
60	43	ralrimiva 2560	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. S )
61		fveq2 5527	. . . . . . . . . 10 |- ( k = x -> ( F ` k ) = ( F ` x ) )
62	61	eleq1d 2256	. . . . . . . . 9 |- ( k = x -> ( ( F ` k ) e. S <-> ( F ` x ) e. S ) )
63	62	rspcv 2849	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. S -> ( F ` x ) e. S ) )
64	60, 63	mpan9 281	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
65	36, 64, 58	seq3-1 10473	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
66	44	ralrimiva 2560	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. S )
67		fveq2 5527	. . . . . . . . . 10 |- ( k = x -> ( G ` k ) = ( G ` x ) )
68	67	eleq1d 2256	. . . . . . . . 9 |- ( k = x -> ( ( G ` k ) e. S <-> ( G ` x ) e. S ) )
69	68	rspcv 2849	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. S -> ( G ` x ) e. S ) )
70	66, 69	mpan9 281	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
71	36, 70, 58	seq3-1 10473	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , G ) ` M ) = ( G ` M ) )
72	65, 71	oveq12d 5906	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` M ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` M ) ) = ( ( F ` M ) Q ( G ` M ) ) )
73	39, 59, 72	3eqtr4d 2230	. . . 4 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` M ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` M ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` M ) ) )
74	73	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` M ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` M ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` M ) ) ) )
75		oveq1 5895	. . . . . 6 |- ( ( seq M ( .+ , H ) ` n ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) -> ( ( seq M ( .+ , H ) ` n ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) )
76		elfzouz 10164	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( M..^ N ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
77	76	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
78	57	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` x ) e. S )
79	58	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
80	77, 78, 79	seq3p1 10475	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( seq M ( .+ , H ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , H ) ` n ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) )
81		seqcaopr3.7	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
82		fveq2 5527	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( H ` k ) = ( H ` ( n + 1 ) ) )
83		fveq2 5527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
84		fveq2 5527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( G ` k ) = ( G ` ( n + 1 ) ) )
85	83, 84	oveq12d 5906	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) = ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
86	82, 85	eqeq12d 2202	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) <-> ( H ` ( n + 1 ) ) = ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
87	34	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
88		fzofzp1 10240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) )
89		elfzuz 10034	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
90	88, 89	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
91	90	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
92	86, 87, 91	rspcdva 2858	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( H ` ( n + 1 ) ) = ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
93	92	oveq2d 5904	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
94	64	adantlr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
95	77, 94, 79	seq3p1 10475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
96	70	adantlr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
97	77, 96, 79	seq3p1 10475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
98	95, 97	oveq12d 5906	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
99	81, 93, 98	3eqtr4rd 2231	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) )
100	80, 99	eqeq12d 2202	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , H ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) <-> ( ( seq M ( .+ , H ) ` n ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) ) )
101	75, 100	imbitrrid 156	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , H ) ` n ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) -> ( seq M ( .+ , H ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
102	101	expcom 116	. . . 4 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( ph -> ( ( seq M ( .+ , H ) ` n ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) -> ( seq M ( .+ , H ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
103	102	a2d 26	. . 3 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` n ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` n ) ) ) -> ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
104	9, 15, 21, 27, 74, 103	fzind2 10252	. 2 |- ( N e. ( M ... N ) -> ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) ) )
105	3, 104	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1363   e. wcel 2158   A.wral 2465   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   1c1 7825   + caddc 7827   ZZcz 9266   ZZ>=cuz 9541   ...cfz 10021  ..^cfzo 10155   seqcseq 10458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-ltadd 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-fz 10022  df-fzo 10156  df-seqfrec 10459

This theorem is referenced by:  seq3caopr2  10495