Theorem seqovcd 10419

Description: A closure law for the recursive sequence builder. This is a lemma for theorems such as seqf2 10420 and seq1cd 10421 and is unlikely to be needed once such theorems are proved. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqovcd.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷)
seqovcd.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
seqovcd	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝐶 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) ∈ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦,𝑤,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑤,𝑧   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑤,𝑧   𝑥,𝑀,𝑤,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑤)   𝐷(𝑧,𝑤)   𝐹(𝑦)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem seqovcd

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 526	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		simprr 527	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → 𝑦 ∈ 𝐶)
3		seqovcd.pl	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐶)
4	3	ralrimivva 2552	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐶 ∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐶)
5		oveq1 5860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 + 𝑦) = (𝑎 + 𝑦))
6	5	eleq1d 2239	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐶 ↔ (𝑎 + 𝑦) ∈ 𝐶))
7		oveq2 5861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑎 + 𝑦) = (𝑎 + 𝑏))
8	7	eleq1d 2239	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((𝑎 + 𝑦) ∈ 𝐶 ↔ (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐶))
9	6, 8	cbvral2v 2709	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐶 ∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐶 ∀𝑏 ∈ 𝐷 (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐶)
10	4, 9	sylib 121	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐶 ∀𝑏 ∈ 𝐷 (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐶)
11	10	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → ∀𝑎 ∈ 𝐶 ∀𝑏 ∈ 𝐷 (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐶)
12		fveq2 5496	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑥 + 1) → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘(𝑥 + 1)))
13	12	eleq1d 2239	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑥 + 1) → ((𝐹‘𝑎) ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ 𝐷))
14		seqovcd.f	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷)
15	14	ralrimiva 2543	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))(𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷)
16		fveq2 5496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑎))
17	16	eleq1d 2239	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝑎) ∈ 𝐷))
18	17	cbvralv 2696	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))(𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷 ↔ ∀𝑎 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))(𝐹‘𝑎) ∈ 𝐷)
19	15, 18	sylib 121	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))(𝐹‘𝑎) ∈ 𝐷)
20	19	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → ∀𝑎 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))(𝐹‘𝑎) ∈ 𝐷)
21		eluzp1p1 9512	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
22	1, 21	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝑥 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
23	13, 20, 22	rspcdva 2839	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ 𝐷)
24		oveq12 5862	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝑦 ∧ 𝑏 = (𝐹‘(𝑥 + 1))) → (𝑎 + 𝑏) = (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))))
25	24	eleq1d 2239	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝑦 ∧ 𝑏 = (𝐹‘(𝑥 + 1))) → ((𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐶 ↔ (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∈ 𝐶))
26	25	rspc2gv 2846	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐶 ∧ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ 𝐷) → (∀𝑎 ∈ 𝐶 ∀𝑏 ∈ 𝐷 (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐶 → (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∈ 𝐶))
27	2, 23, 26	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (∀𝑎 ∈ 𝐶 ∀𝑏 ∈ 𝐷 (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐶 → (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∈ 𝐶))
28	11, 27	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∈ 𝐶)
29		fvoveq1 5876	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝐹‘(𝑧 + 1)) = (𝐹‘(𝑥 + 1)))
30	29	oveq2d 5869	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))) = (𝑤 + (𝐹‘(𝑥 + 1))))
31		oveq1 5860	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 + (𝐹‘(𝑥 + 1))) = (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))))
32		eqid 2170	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝐶 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1)))) = (𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝐶 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))
33	30, 31, 32	ovmpog 5987	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶 ∧ (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∈ 𝐶) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝐶 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) = (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))))
34	1, 2, 28, 33	syl3anc 1233	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝐶 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) = (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))))
35	34, 28	eqeltrd 2247	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝐶 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853   ∈ cmpo 5855  1c1 7775   + caddc 7777  ℤ_≥cuz 9487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488

This theorem is referenced by:  seqf2  10420  seq1cd  10421  seqp1cd  10422