Theorem seqovcd 10775

Description: A closure law for the recursive sequence builder. This is a lemma for theorems such as seqf2 10776 and seq1cd 10777 and is unlikely to be needed once such theorems are proved. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqovcd.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷)
seqovcd.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
seqovcd	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝐶 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) ∈ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦,𝑤,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑤,𝑧   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑤,𝑧   𝑥,𝑀,𝑤,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑤)   𝐷(𝑧,𝑤)   𝐹(𝑦)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem seqovcd

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 531	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		simprr 533	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → 𝑦 ∈ 𝐶)
3		seqovcd.pl	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐶)
4	3	ralrimivva 2615	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐶 ∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐶)
5		oveq1 6035	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 + 𝑦) = (𝑎 + 𝑦))
6	5	eleq1d 2300	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐶 ↔ (𝑎 + 𝑦) ∈ 𝐶))
7		oveq2 6036	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑎 + 𝑦) = (𝑎 + 𝑏))
8	7	eleq1d 2300	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → ((𝑎 + 𝑦) ∈ 𝐶 ↔ (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐶))
9	6, 8	cbvral2v 2781	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐶 ∀𝑦 ∈ 𝐷 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐶 ∀𝑏 ∈ 𝐷 (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐶)
10	4, 9	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐶 ∀𝑏 ∈ 𝐷 (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐶)
11	10	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → ∀𝑎 ∈ 𝐶 ∀𝑏 ∈ 𝐷 (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐶)
12		fveq2 5648	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑥 + 1) → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘(𝑥 + 1)))
13	12	eleq1d 2300	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑥 + 1) → ((𝐹‘𝑎) ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ 𝐷))
14		seqovcd.f	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷)
15	14	ralrimiva 2606	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))(𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷)
16		fveq2 5648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑎))
17	16	eleq1d 2300	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘𝑎) ∈ 𝐷))
18	17	cbvralv 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))(𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷 ↔ ∀𝑎 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))(𝐹‘𝑎) ∈ 𝐷)
19	15, 18	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))(𝐹‘𝑎) ∈ 𝐷)
20	19	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → ∀𝑎 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))(𝐹‘𝑎) ∈ 𝐷)
21		eluzp1p1 9826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
22	1, 21	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝑥 + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
23	13, 20, 22	rspcdva 2916	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ 𝐷)
24		oveq12 6037	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝑦 ∧ 𝑏 = (𝐹‘(𝑥 + 1))) → (𝑎 + 𝑏) = (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))))
25	24	eleq1d 2300	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝑦 ∧ 𝑏 = (𝐹‘(𝑥 + 1))) → ((𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐶 ↔ (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∈ 𝐶))
26	25	rspc2gv 2923	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐶 ∧ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ 𝐷) → (∀𝑎 ∈ 𝐶 ∀𝑏 ∈ 𝐷 (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐶 → (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∈ 𝐶))
27	2, 23, 26	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (∀𝑎 ∈ 𝐶 ∀𝑏 ∈ 𝐷 (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝐶 → (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∈ 𝐶))
28	11, 27	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∈ 𝐶)
29		fvoveq1 6051	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝐹‘(𝑧 + 1)) = (𝐹‘(𝑥 + 1)))
30	29	oveq2d 6044	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))) = (𝑤 + (𝐹‘(𝑥 + 1))))
31		oveq1 6035	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 + (𝐹‘(𝑥 + 1))) = (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))))
32		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝐶 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1)))) = (𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝐶 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))
33	30, 31, 32	ovmpog 6166	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶 ∧ (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∈ 𝐶) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝐶 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) = (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))))
34	1, 2, 28, 33	syl3anc 1274	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝐶 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) = (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))))
35	34, 28	eqeltrd 2308	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝐶 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028   ∈ cmpo 6030  1c1 8076   + caddc 8078  ℤ_≥cuz 9799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800

This theorem is referenced by:  seqf2  10776  seq1cd  10777  seqp1cd  10778