Theorem sradsg 14455

Description: Distance function of a subring algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.) (Revised by AV, 29-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
srapart.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
srapart.ex	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
sradsg	⊢ (𝜑 → (dist‘𝑊) = (dist‘𝐴))

Proof of Theorem sradsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srapart.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
2		srapart.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
3		srapart.ex	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
4		dsslid 13293	. 2 ⊢ (dist = Slot (dist‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ∈ ℕ)
5		slotsdnscsi 13299	. . . 4 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))
6	5	simp1i 1030	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
7	6	necomi 2485	. 2 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
8	5	simp2i 1031	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
9	8	necomi 2485	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
10	5	simp3i 1032	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
11	10	necomi 2485	. 2 ⊢ (·𝑖‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
12	1, 2, 3, 4, 7, 9, 11	sralemg 14445	1 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑊) = (dist‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400   ⊆ wss 3198  ‘cfv 5324  ndxcnx 13072  Basecbs 13075  Scalarcsca 13156   ·_𝑠 cvsca 13157  ·_𝑖cip 13158  distcds 13162  subringAlg csra 14440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-7 9200  df-8 9201  df-9 9202  df-n0 9396  df-z 9473  df-dec 9605  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-sets 13082  df-iress 13083  df-mulr 13167  df-sca 13169  df-vsca 13170  df-ip 13171  df-ds 13175  df-sra 14442

This theorem is referenced by:  rlmdsg  14470