Theorem sradsg 14397

Description: Distance function of a subring algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.) (Revised by AV, 29-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
srapart.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
srapart.ex	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
sradsg	⊢ (𝜑 → (dist‘𝑊) = (dist‘𝐴))

Proof of Theorem sradsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srapart.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
2		srapart.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
3		srapart.ex	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
4		dsslid 13236	. 2 ⊢ (dist = Slot (dist‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ∈ ℕ)
5		slotsdnscsi 13242	. . . 4 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))
6	5	simp1i 1030	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
7	6	necomi 2485	. 2 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
8	5	simp2i 1031	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
9	8	necomi 2485	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
10	5	simp3i 1032	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
11	10	necomi 2485	. 2 ⊢ (·𝑖‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
12	1, 2, 3, 4, 7, 9, 11	sralemg 14387	1 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑊) = (dist‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400   ⊆ wss 3197  ‘cfv 5314  ndxcnx 13015  Basecbs 13018  Scalarcsca 13099   ·_𝑠 cvsca 13100  ·_𝑖cip 13101  distcds 13105  subringAlg csra 14382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-5 9160  df-6 9161  df-7 9162  df-8 9163  df-9 9164  df-n0 9358  df-z 9435  df-dec 9567  df-ndx 13021  df-slot 13022  df-base 13024  df-sets 13025  df-iress 13026  df-mulr 13110  df-sca 13112  df-vsca 13113  df-ip 13114  df-ds 13118  df-sra 14384

This theorem is referenced by:  rlmdsg  14412